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浅析导数在高中数学中的地位与应用

范文

杨志远

【摘要】导数是高中数学和高等数学间的重要纽带，其为高中数学添加了不少新的活力.高中生对导数知识进行学习，有助于其对函数性态进行理解与掌握，同时发展他们的思维能力，这对其日后学习以及发展大有裨益.基于此，本文在分析高中阶段数学教学当中导数具有的重要地位的基础上，着重对高中阶段数学教学中导数的应用展开探究，希望能对实际教学有所帮助.

【关键词】高中数学;导数;地位;应用

前言：高中阶段的数学中包含很多把高等数学有关知识当作背景的问题.在微积分中，导数属于一个核心概念，其在高中数学中具有重要作用.为此，数学教师需对导数这个知识点加以重视，帮助高中生对导数的应用进行归纳总结，进而有效提升其学习效率及解题能力.

一、高中阶段数学教学中导数具有的重要地位

（一）有助于高中生对函数性态进行理解，帮助其对函数思想加以掌握

事实上，多数数学问题很难甚至无法借助初等数学有关方法加以解决.但借助函数思想，可以把实际问题抽象为相应的数学模型，同时构建有关函数关系，之后发挥出导数具有的工具性以及应用性，这样可以对问题加以有效解决.

进行函数学习期间，高中生通过对函数值域、定义域、周期性、单调性、奇偶性以及有界性进行学习，可以对函数性态加以理解.其实，这些性态全都能在函数图像中获得.因此，数学教师可要求高中生通过描点法把函数图像准确地画出来.然而，假设涉及的函数并非初等函数，是高阶函数，那么其图像更加复杂，若单纯运用描点法进行绘图，则难以准确得到函数图像.此时，就显现出了导数具有的优点.高中生可借助函数具有的一阶导数来对函数最值与最值区间、单调性加以确定，借助二阶导数对函数拐点以及凹凸性进行判断，之后结合极限思想把水平与垂直的渐近线找出来，这样可以对函数图像进行大致绘制.

（二）有助于高中生对其他的自然学科进行学习

數学属于基础学科，具有工具性与基础性的特征，其和物理以及化学这些自然学科存在着紧密联系.实际上，导数为微积分当中的一个重要概念，研究对象为函数，把函数极限当作基础，涉及变化率这个问题，其在工程、天文、物理以及化学这些领域当中有着广泛运用.比如，当高中生对导数知识掌握以后，可以快速求出物理学中变速直线运动的瞬时速度以及瞬时加速度，快速求出化学中的冷却速度与反应速度.

（三）有助于发展高中生思维能力

在高中阶段的数学知识中，导数内容属于重要的构成部分，受到教师的高度关注.如今，新课标已经明确指出，高中阶段的数学教师需借助大量实例来让高中生认识以及理解导数知识，以此来提升其思维能力.高中生通过对导数知识进行学习，可以使其从有限、静态、常量这种数学观点逐渐过渡到无限、动态、变量的这种数学观点，这样有助于发展高中生思维能力.

二、高中阶段数学教学中导数的应用

（一）函数解题中导数的应用

1.借助导数解答函数单调性的问题.

利用导数对函数具有的单调性进行判断，主要包括4个步骤：第一，对函数f（x）的定义域加以确定;第二，求函数f（x）的导数f′（x）;第三，在函数f（x）的定义域中，解不等式f′（x）>0或f′（x）<0;第四，对f（x）具体的单调区间进行确定.如果函数式中包含字母系数，那么通常需要进行分类讨论.

例如，求f（x）=x3+3x的单调区间.

分析首先应当对函数f（x）的定义域进行确定，之后借助导数讨论函数f（x）的单调区间.

解很显然，函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），

f′（x）=3x2-3x2=3（x2+1）（x+1）（x-1）x2，

根据f′（x）>0，能够得到x<-1或x>1;又根据f′（x）<0，能够得到：-1

通过此题我们能够看到，借助导数来对函数对应的单调区间进行判断非常简单，只需要把函数f（x）对应的导数f′（x）求出来，之后解不等式f′（x）>0以及f′（x）<0即可.这样一来，高中生在解答此类问题时即可拥有非常明确的解题思路，能够快速以及准确解题.

再如，函数f（x）=x2eax，其中a≤0，求f（x）具有的单调性.

解先求导，f′（x）=x（ax+2）ex.

（1）当a=0时，令f′（x）=x（ax+2）ex=0，此时x=0，说明f（x）在x=0处单调性改变.

而当x>0时，f′（x）>0，说明f（x）在（0，+∞）上单调递增;

当x<0时，f′（x）<0，说明f（x）在（-∞，0）上单调递减.

（2）当a<0时，令f′（x）=x（ax+2）ex=0，此时x=0或x=-2a.

当x<0时，f′（x）<0，

说明f（x）在（-∞，0）上单调递减;

当00，

说明f（x）在0，-2a上单调递增;

当x>-2a时，f′（x）<0，

说明f（x）在-2[]a，+∞上单调递减.

2.借助导数求函数值域、最值与极值.

导数不仅可以用于对函数的单调性进行判断，还在对函数值域、极值以及定义域的求解问题中起着重要作用.导数可以对求函数极值、最值以及值域这些问题加以简化.

例如，求函数f（x）=2x+1-x+2的值域.

分析我们首先应当对函数f（x）的定义域进行确定，并且准确求出函数f（x）对应的导数f′（x），并且对f′（x）具有的正负进行判断，从而把函数f（x）的值域求出来.

解很显然，函数f（x）的定义域是-12，+∞.

f′（x）=12x+1-12x+2=2x+2-2x+12x+22x+1，而2x+2-2x+1=2x+72x+2+2x+1，

由此可见，

当x>-12时，f′（x）>0，

因此f（x）=2x+1-x+2在-12，+∞上为增函数.

又因为f-12=-62，

所以函数f（x）的值域为-62，+∞.

（二）在求曲线切线方程中导数的应用

f′（x）具有的几何意义实际上等同于曲线y=f（x）的切线斜率，则曲线在点（x0，y0）处的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.纵观近几年高考数学中的试题，我们极易发现其中含有大量的函数知识，而借助导数进行求解，能够使得问题得以简化.

比如，曲线y=x4的一条切线m与直线x+4y-5=0垂直，求直线m方程.针对此题，我们设出切点，表示出斜率，即可根据已知条件求出具体方程.

（三）探究方程根具体分布时导数的应用

设函数f（x）在（a，b）上连续，f′（x）在（a，b）上保持符號不变，如果f（a）f（b）<0，那么f（x）=0在（a，b）上存在唯一实根，如果f（a）f（b）>0，那么f（x）=0在（a，b）上无实数根.

（四）不等式证明中导数的应用

高考数学的试题中，函数经常与不等式一同考查，尤其是最近几年在核心素养及素质教育之下，数学命题更加趋向于综合化，进而使得不等式和函数的结合变得更加紧密.而对这类试题进行求解，导数是最佳的解题方法.

例如，已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0

证明先求出f′（x），其中f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

由f（x）在x=s与x=t时取到了极值，可知s，t为二次方程f′（x）=0的两个实数根，

又因为f′（0）=ab>0，f′（a）=a2-ab=a（a-b）<0，

f′（b）=b2-ab=b（b-a）>0，所以f′（x）在（0，a）和（a，b）上分别有一实数根，再由s 上述例题先运用导数方法对函数进行降幂，将问题转化成求区间上存在实数根这一问题，然后根据实数根分布相关理论，结合数形结合思想，对不等式加以证明.

结论

综上可知，在高中阶段的数学中，导数具有重要地位，对导数的学习有助于高中生对函数性态进行理解，帮助其对函数思想加以掌握，有助于高中生对其他的自然学科进行学习，并且有助于发展高中生思维能力.所以，数学教师需对导数知识加以重视，积极带领高中生对导数知识在数学解题中的应用展开探究.

【参考文献】

[1]吴沛东，潘康林.高中数学中导数问题的学习研究——以广西北海为例[J].数学学习与研究，2020（06）：140-141，143.

[2]李树凡.导数在高中数学解题中的应用分析[J].数学学习与研究，2020（04）：36.

[3]龚斌.浅析高中数学“导数及其应用”的教学策略[J].数学学习与研究，2019（23）：30.

[4]时好运.论高中数学中导数解题策略及教学方法[J].数学学习与研究，2019（20）：125.

[5]熊德忠.高中数学导数及其应用学习实践[J].华夏教师，2019（22）：38.

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