| 标题 | 函数概念与映射概念的先后顺序分析 |
| 范文 | 邱琳琳 【摘要】在高等数学的教学过程中，学生们首先要学习的概念就是关于函数与映射的概念，两者之间的联系十分密切，同时又存在着某些不同.为了研究函数概念与映射概念的先后顺序问题，本文深入研究两者的含义并且通过例题来阐释，得到了论据较为充实、论点较为合理的结论. 【关键词】函数概念；映射概念；先后顺序 一、引言 在高等数学中，有很多专业术语之间存在概念交叉、同义异名等现象，对于高等数学教学者及学习者来说，能够正确理清高等数学中的各种概念名词对于他们的后期学习非常重要.高等数学中涉及最多的便是各种各样的函数关系.但在面对函数概念时，学生通常会对函数（function）及映射（mapping）的概念模糊不清，再加上不同版本的教科书对函数及映射的概念定义有所差异，进一步加大了学生对函数概念及映射概念的学习难度[1].为了让学生在学习函数与映射这部分内容的时候，能够清晰地分辨出函数概念与映射概念的先后顺序，本文对此进行了深入的研究. 二、函数、映射概念及先后关系分析 映射这一概念在数学教材中表达得十分清晰，就是两个非空集合之间一一对应的关系，在教科书中这样描述映射这一概念：存在两个非空集合满足某一种法则f，法则f使得其中一个非空集合X中的所有元素，在另外一个非空集合Y中都存在唯一的元素与之对应，两个非空集合之间的这种法则就称为X到Y的映射[2].通过了解映射概念的具体含义，我们可以得出这样的结论：一是映射所描述的对象是非空集合，并且非空集合X中的所有元素都应该在Y中找到对应元素；二是非空集合Y中的元素不一定都是X中元素的对应元素，即可以存在某些剩余元素；三是非空集合X中的元素与Y中元素的对应关系只能是“一对一”或者“多对一”的关系. 虽然函数的应用在数学问题中经常见到，但是函数的概念在很多数学资料中的定义并不能达到统一.在普通高等院校的教材中对于函数的定义是：存在两个非空数集，如果两个非空数集之间存在某一对应关系，使得其中一个非空数集X中的每一个元素都能够在另一个非空数集Y中找到唯一对应的元素，那么这种对应关系f则称为集合X到集合Y的一个函数.而《中国大百科全书》称映射与函数之间的关系为两者本质相同，但是概念上存在差异.《数学大辞典》称函数与映射的概念与本质都是一样的，两者描述的是同一类型的对应关系[3]. 关于函数概念与映射概念之间的关系，本文认为可以这样理解：函数描述的对象是非空数集，而映射描述的对象是非空集合，函数与映射之间的关系是属于与被属于的关系，函数一定是映射的一种，但是映射不一定就是函数[4].函数概念与映射概念之间的先后顺序问题是一个值得研究的问题，能够帮助学生更好地理解函数与映射之间的区别与内在联系.通过上面对函数概念与映射概念的分析，可以得出这样的结论：函数属于映射的一种，映射却不一定是函数，因此，映射概念要先于函数概念，函数概念是对映射概念的一种延伸与推广. 三、相关实例分析 关于函数概念与映射概念，本文采用以下例题进行详细阐释. 例设A={（x，y）∣x∈R，y∈R}.如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素（y-1，x+2）和原象集合中的元素（x，y）对应，那么象（3，-4）的原象是（）. A.（-5，5） B.（4，-6） C.（2，-2） D.（-6，4） 分析由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f：（x，y）→（y-1，x+2），问题即：当点（y-1，x+2）是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由y-1=3，x+2=-4， 可以得出x=-6，y=4， 即象（-3，4）的原象是（-6，4），选D. 在这道例题中，对应法则f就属于映射概念的体现，但是却不属于函数的一种，因为在两个非空集合当中的元素并不是数字，无法形成有效的函数关系，也就是y=f（x）这样的函数表达形式. 四、结语 函数概念的提出有助于学生对数学问题的研究变得更加方便快捷，很多数学问题的解决都需要函数方面的知识进行解决，学生在学习函数概念的时候要提前对映射概念进行一定程度的了解与学习，只有真正了解映射的概念含义，才能对函数的学习起到事半功倍的促进作用.函数概念与映射概念之间的先后顺序问题并不是为了将两者之间的界限变得更加分明，而是为了使得函數与映射之间的关系变得更加紧密，学生通过学习其中一种概念就可以更轻松地理解另外一种概念. 【参考文献】 [1]刘金婷，刘嘉瑞.浅议映射与函数及相关概念的异同[J].中国科技术语，2015（6）：50-52. [2]额布日力吐，阿拉坦仓.高等数学中映射与函数概念的教学[J].大学数学，2014（3）：117-121. [3]李瑞军.关系—映射—反演方法在高等数学问题解决中的应用[J].菏泽学院学报，2012（2）：15-19. [4]张新村.高中新课程标准下“函数概念”的教与学[D].苏州：苏州大学，2010. |
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