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论扩域中的四种代数运算

范文

张元康李静

摘?要：在高等代数中已然对域的概念有了初步介绍，域即是对加、减、乘、除四则运算全部封闭的集合，这仅是一种表面定义，本文从更深一层次对域的概念进行了更加详细的界定，从而让读者能够对域的概念有深入了解，本文另外也对扩域的概念进行了阐述，并深度剖析相关扩域典型问题以加深读者对域以及扩域的理解与掌握。

关键词：扩域;代数元;极小多项式;主理想

中图分类号：O13?文献标识码：C

域和扩域的概念皆为高等数学中比较抽象难懂的概念，较之于初等数学中的一些简单数学知识，域和扩域的概念才算涉及到数学界真正的前沿，但是由于数域的定义未免太过于广泛，所以我们在高等数学中很少用到有关数域的定义，倒是数域的一些子集例如有理数域，复数域，实数域和代数数域反倒经常被提及或使用.而扩域指的是在数域的基础上，通过某些特别规定的法则所构建出来的一种新的域，即称之为扩域.例如在域的基础上添加单个元素所构成的域即称为单扩域。下面即先介绍域和扩域的定义，之后再在实例中展开论述。

1 域的定义

在抽象代数中，交换除环即为域，在域中元素之间是可交换的，而且每个元素都存在可逆元，当然域首先得是一个环。

2 扩域的定义

一个域A是域B的扩域的充要条件是域B是域A的子域。

众所周知，实数域完全是在有理数域的基础上通过某种方式建立起来的，而复数域是在实数域的基础上通过某种方式建立起来的，所以我们发现探讨域的方法就是先从一个既定的域A出发，再在域A的基础上构建我们想要的域B。扩域大致可分为两种，一种是单扩域，一种是代数扩域。文章主要介绍单扩域，至于代数扩域会在今后进一步阐述。

3 域与扩域的四种代数运算

例1

证明：我们不妨令?E?是域?F?作成的一个扩域，并且还有?a∈F?。现在来证明?a?是?F?上的一个代数元，而且还有?F（a）=F?成立。

证明：对于?f（x）=x-a?，我们知道此式为?F（x）?的一个不等于零的多项式，除此之外我们还有结论?f（a）=0?，从而我们可以很容易得到结论：?a?一定为?F?上的一个代数元。

另一方面由于?F（a）?含有?F?和?a?，从而我们可以很容易得到结论：?FF（a）?。从另外一个层面来说，因为?F?是含有?F?和?a?的一个?E?的子域，并且我们还知道?F（a）?是含有?F?和?a?的一个?E?的最小子域，从而我们可以容易得到结论：?F（a）F?。综合以上两个方面我们可以得到结论：?F（a）=F?。证毕！

例2

不妨令?F?是有理数域，复数?i?和?2i+1i-1?在?F?上的极小多项式各是什么？另外，?F（i）?和?F（2i+1i-1）?是否同构？

解答：我们可以显然发现?2i+1i-1∈F（i）?，因而我们有结论：?F（2i+1i-1）F（i）?。而我们可以发现另一方面：

（2i+1i-1）.2=-32i+2∈F（2i+1i-1）?（1）

而且

[（-32i+2）-2] -1（-32）=i∈F（2i+1i-1）?（2）

从而我们可以得到结论：?F（i）F（2i+1i-1）?。根据此我们可以得到结论：?F（i）=F（2i+1i-1）?，从而可以得到结论：

F（i）F（2i+1i-1）?（3）

另一方面，?F?上的一次多项式?f（x）=x-a?很明显是不能满足条件?f（i）=0?的，从而可得?i?在?F?上的极小多项式绝不可能是一次的，可是另一方面?F?上的二次多項式?p（x）=x?2+1?是完全满足条件?p（i）=0?的，从而我们可以得到结论：?i?在?F?上的极小多项式一定为多项式?x?2+1?。与此同时另一方面，?2i+1i-1?在?F?上的极小多项式绝对不可能为一次的。理由是：?2i+1i-1=（2i+1）（i+1）（i-1）（i+1）=12-32i?，根据于此，我们就可以轻松得出：?2i+1i-1?在?F?上的极小多项式毫无疑问是?x?2-x+52?。

例3

求证元素?a?在域?F?上的极小多项式为?p（x）?。

证明：我们不妨令?H?为?F（x）?中一切满足条件?f（a）=0?的多项式?f（x）?作成的集合。我们知道?p（x）∈H?，从而得到结论?H?不能是空的。我们不妨假设?f（x），g（x）∈H?并且?h（x）∈F[x]?，上面这个结论完全可以使得我们轻松地得到另外一个结论：

f（a）=0，g（a）=0f（a）-g（a）=0f（x）-g（x）∈H?（1）

f（a）=0h（a）f（a）=0h（x）f（x）∈H?（2）

从而我们可以得到结论：?H?为?F[x]?的一個理想，可是另一方面由于?F[x]?为一个主理想环，从而我们可得结论：?H=（p?1（x））?。另一方面我们根据条件?0≠p（x）∈H?，从而我们可得结论?H?一定不是0理想但是?d?1（x）≠0?。我们完全可以假设?p?1（x）?的最高系数为1，可是另一方面?H?中所有?f（x）?都是完全可以整除于?p?1（x）?的，从而我们可得结论为：?p?1（x）?一定为?H?中的多项式，而且这个多项式的次数肯定很低，从而我们可以说这个多项式一定是元素?a?在域?F?上的极小多项式。

另一方面我们根据条件?p?1（x）|p（x）?，但是我们知道?p（x）?是不可约的事实，所以我们完全可以得到结论为：?p（x）=cp?1（x）?，其中条件?c∈F?，可是另一方面我们知道多项式?p（x）?和?p?1（x）?的最高系数完全一致为1，综上所述我们可得最终结论为：?p（x）=p?1（x）?，而且还有结论是多项式?p（x）?一定毫无疑问为元素?a?在域?F?上的最小多项式。

参考文献：

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