| 标题 | 高中三角函数的应用问题 |
| 范文 | 李琪 【摘要】三角函数是高中数学的一个重要部分，对于学生而言具有一定难度.本文就最近几年全国范围内数学高考题中，考查三角函数知识的应用题类型进行分析，并对这些问题的一些常见解题技巧进行阐述，希望能够为学生真正掌握三角函数知识、顺利通过高考提供有益的帮助. 【关键词】高中数学；三角函数；应用问题 高考中的三角函数应用题，具有一定的难度，并且对学生数学知识的综合应用能力也有很高的要求.所以针对最近几年全国范围内高考数学题中三角函数应用题的出题趋势进行分析，了解这些问题的一些常见解答技巧，对于高考应试成绩提升，具有十分重大的意义. 一、将三角函数转化成y=Asin（ωx+φ）的形式 例我国某一沿海港口在每年九月份的潮水都存在以下规律：相邻两次潮水出现的时间间隔为740 min，在低潮期水位深度为2.8 m；高潮期水位深度为8.4 m.如果某次高潮出现的时间为9月3日2：00.若从9月3日0：00进行计时，可以使用三角函数d=Asin（ωt+φ）+kA>0，ω>0，-π2<φ<π2 来对该港口的水深与时间进行近似性的描述.基于此，请回答以下三个问题：① 试求出该函数的表达式；② 试求出9月5日4：00该港口的水深度；③ 如果一艘轮船的吃水深度为5 m，该港口的运行条例当中要求，轮船和海底的最小安全距离为1.5 m，那么在9月3日的12：00—16：00该轮船是否能够进入此港口？（可提供的参考信息：cos4π37≈0.9，cos29π74≈928）. 分析通过题干信息并进行阅读，可知该港口的海潮周期具有规律性.因此这道问题直接给出实际问题的三角函数的一次函数模型，在解答这一问题的过程中，只需要基于所给出的条件，便能够确定A，ω，φ，k的大小. 解答① 通过题目条件可知：A+k=8.4，-A+k=28，因此A=2.8，k=5.6；又因为周期T=T=1213=2πω，得出ω=6π37，在t=2时，ωt+φ=π2，于是有6π37×2+φ=π2，φ=13π74，由此得出其函数表达式为d=2.8sin6π37t+13π74+5.6. ② 将相关数字代入d=2.8sin6π37t+13π74+5.6，可得出d=2.8sin6π37×52+13π74+5.6=2.8cos4π37+5.6=2.8×0.9+5.6=8.12. ③ 因为d=2.8sin6π37t+13π74+5.6≥5.6，所以sin6π37t+13π74≥928=cos29π74=sin4π37. 在12 点评在这道问题当中，大家首先需要计算出三角函数的一次函数模型，并了解到函数的变化幅度和A之间关系，也就是A=ymax-ymin2；函数的周期与ω的值有关，也就是ω=2πT；函数的初相与φ有关. 二、将三角函数转化成分式函数模型 例某地区设立有三家化工企业.从地形图上进行观察，它们分别位于一个矩形的ABCD的两个顶点和CD之间的中点P上，已知AB=20 km，BC=10 km，为了能够让这三家化工企业的废水得到妥善的处理，需要在该矩形的范围内（包括边界），切合A，B等距的一点O处，构建一所污水处理站，同时搭建三条污水排放管道，分别为AO，BO，PO.并将所铺设管道的总长度设为y km.① 若∠BAO=θ，试用y来表示成θ的函数；② 确定本题中污水厂的最佳建立位置，即让铺设的水管长度最小. 分析实际上，在这道问题当中，已经设立好了辅助角，在解答这一问题的过程中，只需要基于辅助角顺藤摸瓜进行解答即可. 解答基于矩形特征，可知PQ为AB的中垂线，如果∠BAO=θ，于是有OA=AQcosθ=10cosθ.因此OB=10cosθ.又因为OP=10-10tanθ，因此y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ-10tanθ. 综上，可以得出需要的函数关系式为y=20-10sinθcosθ+100θπ4，此时可使用导数进行最值的求取.此时P点的位置在AB的中垂线上，在矩形区域当中并且距离AB边3310 km位置. 点评在这道问题当中，可以凭借设角，基于图形的基本特征，使用θ角来对问题中各个量之间的关系进行表达，构建三角函数的分式函数模型.在进行最值求取时，通常凭借导数的方法就能够得出正确答案.这道问题的难点，是很多学生不能正确使用θ来表示各种数量之间的关系，导致迟迟不能够找到问题的突破口.针对这一问题，学生必须要建立起应有的数学意识，对问题进行正确的分析. 三、转变为自变量角θ与三角函数组成的超越模型 例存在一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA和OB为半径的扇形湖面AOB，想要在圆弧AB上取一个不同于A点和B点的C点，使用渔网顺着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB之上）、半径OC与线段CD（其中CD和OA相互平行），在这个扇形湖面当中建立2个养殖区域，分别设为养殖区Ⅰ和养殖区Ⅱ，如果OA=1 km，∠AOB=60°，∠AOC=θ.试求出需要渔网的长度（也就是弧AC、半径OC与线段CD长度的总和）的取值范围. 分析解答这一道问题的关键，我们必须要对问题的含义进行了解，这道问题当中所需要求出的渔网的长度，实际上就是三段的总长度，因此需要使用θ来对三段的总长度进行分别表示，并使用导数的方法求出取值范围. 解答所求的渔网长度，实际上就是三段的总长度，分别使用θ来表示弧AC、半径OC以及线段CD的长度. 可以设渔网长度为f（θ），因为CD∥OA，∠AOB=60°，∠AOC=θ，可推断出∠OCD=θ，∠ODC=120°，∠COD=60°，在△OCD中，通过正弦定理可以得出CD=23sinπ3-θ，θ∈0π3.所以f（θ）=θ+1+23sinπ3-θ，因此f（θ）=1-23sinπ3-θ，因为θ0π3，所以π3-θ∈0，π3，令f（θ）=0.可得cosπ3-θ=32，因此π3-θ=30°，θ=30°. 综上，f（θ）∈2π+6+236，所以需要的取值范围为2，π+6+236. 点评在针对涉及三角函数与角度结合的函數模型分析时，通常可使用导数的方式进行问题的解答.我们在解答此类三角函数应用题时，往往会因为自身知识掌握的不牢固或者对数学知识的综合应用能力不足，而无法找到这道问题的突破口.因此，拥有足够牢固的知识积累和综合应用能力是解答这一问题的关键. 四、结束语 整体来讲，解答在高考背景下的高中三角函数应用题，我们学生必须要科学进行变量的选择，并由此构建和三角函数相关联的函数模型，凭借对三角函数性质的灵活使用，构建相关的不等式.由此使得问题得到有效的解决，从而让学生在高考中取得好的成绩. 【参考文献】 [1]吴雨卓.浅析高中数学三角函数的学习心得[J].教育现代化，2017（2）：253-254. |
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