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射影几何观点下的椭圆蝴蝶定理对合证明的讨论

范文

王婷赵临龙

摘要：利用射影几何的对合交比不变量关系，给出二次曲线的蝴蝶定理证明，并且利用中心投影和仿射变换，证明椭圆蝴蝶定理。

关键词：射影几何;对合;交比;不变量;蝴蝶定理;证明

《高等几何》在几何问题研究中，发挥重要的工具作用。如利用对合“交比”研究“蝴蝶定理”的证明，可以给出有趣的证明方法。

1 交比概念

1.1 点列交比[1]

设A、B、C、D为一直线点列中的四点，则有交比（AB;CD）=AC·BDAD·BC。式中线段都为有向线段，其中A、B称为基点偶，C、D分点偶。

1.2 线束交比[1]

设a、b、c、d为一点为线束中的四条直线，则有交比（ab;cd）=sin（a，c）·sin（b，d）sin（a，d）·sin（b，c）。式中角度为两直线夹角，其中a、b称为基点偶，c、d分点偶。

交比有如下性质：交换基点偶和分点偶的位置，交比不变。[1]

点列交比与线束交比有关系：[1]

（1）若线束中的四条直线a、b、c、d被任意一直线s截于A、B、C、D四点，则（ab;cd）=（AB;CD）。

（2）二次曲线上的两线束的交比为不变量。

1.3 射影对合[1]

非恒等的一维射影变换，若任意一对对应的元素都交互对应，则该射影变换称为对合变换（简称对合）。

对合有如下性质：[1] 对合式可以写成下列两种范式之一：（1）μμ'=k（常数，且k≠0）;（2）μ+μ'=0。

2 蝴蝶定理介绍

蝴蝶定理如图1.设O为圆内弦MN的中点，过O作弦AB和CD。设AD和BC各相交MN于点P和Q，则O是PQ的中点。

图1图2 图3

蝴蝶定理最早出现在1815年在英国的一份通俗杂志《先生日记》（Gentleman's Diary）征解栏内刊出，不知是编辑大意还是其它原因，未能提供命题人的姓名。1944年第2期的《美国数学月刊》，由其外形结构将它称为“蝴蝶定理”。[2]

在蝴蝶定理中，如去掉“中点”的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式。它最早于1896年，由A.L.Candy给出。

Candy蝴蝶定理[3] 如图1设O为圆内弦MN上任意一点，过O作弦AB和CD。设AD和BC各相交MN于点P和Q，则1OM+1ON=1OP+1OQ，其中等式中线段均为有向线段。

1995年，赵临龙给出蝴蝶定理蝶心Q离开MN的有趣结论。

广义蝴蝶定理[4] 如图1过二次曲线Γ弦MN外一点O引Γ的两弦AB，CD分别交弦MN于G、H，AD、BC分别交MN于P、Q，则1PG+1QH=GQHQ1MG+HPGP1NH，其中等式中线段均为有向线段。

“蝴蝶定理”所反映的二次曲线割线线段度量关系，引起人们的极大兴趣，直到今日人们从未间断对它的讨论，近3年就要文献。[5-12]

3 二次曲线蝴蝶定理证明

现在给出二次曲线蝴蝶定理的射影几何对合证明。

3.1 射影方法证明

如图1，若将点A、C看成二次曲线Γ上的2个对应线束，则

（MPON）∧=A（MDBN）∧-C（MDBN）∧=（MOQN）=（NQOM）

即有射影对应关系：M→N，N→M，P→Q，O→O。

由于这是一个交互对应，即为对合射影对应。于是，由于对应点M、N关于点O为对称，即为对合范式（1），则对应点P、Q关于点O也为对称。即OP=OQ。

当二次曲线Γ为圆⊙O时，蝴蝶定理相应结论成立。

3.2 中心投影方法证明

如图3，在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆O''（图2），线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，根据中心投影关系，得到对应线段P''O''= Q''O''。即椭圆蝴蝶定理相应结论成立。

3.3 仿射方法证明

如图2，将图2的椭圆仿射为圆（图1），由仿射不变性知P''O''= Q''O''。

（致谢：感谢张鸽同学对本文所提供的研究思路材料）

参考文献：

[1]周振荣，赵临龙.高等几何[M].华中师范大学出版社，2014.

[2]Leon，Bankoff文，蒋声，译.蝴蝶定理的演变[J].美国数学月刊，1987.10：195-210.

[3]赵临龙.蝴蝶定理的最终形式[J].数学教师，1995.4：27.

[4]赵临龙.“三割线定理”的新认识[J].甘肃科学学报，2015，27（01）：41-45.

[5]成开华.探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题[J].中学数学研究，2015（06）：28-29.

[6]赵临龙.蝴蝶定理的再推广及其应用——数学问题2109和2137的统一解决[J].河南科学，2015，33（06）：899-903.

[7]赵临龙.“广义蝴蝶定理”的本质结构及新的不变量关系[J].河南科学，2015，33（12）：2071-2074.

[8]曹嘉兴.蝴蝶定理的新证法[J].中學数学杂志，2016（06）：38+28.

[9]朱先东.蝶翩跹思飞扬——一节关于“蝴蝶”的数学综合实践课[J].中学数学杂志，2016（12）：27-30.

[10]黄一德，田秀蓉.蝴蝶定理在仿射几何中的推广[J].赤峰学院学报（自），2017，33（04）：4-5.

[11]赵临龙.蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨[J].中学数学教学，2018（05）：73-76.

[12]金彪，邹生书.蝴蝶翩翩进考苑魅力四射迷人眼[J].河北理科教学研究，2018（04）：7-9.

指导教师：赵临龙。

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