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标题 射影几何观点下的椭圆蝴蝶定理对合证明的讨论
范文

    王婷 赵临龙

    

    摘 要:利用射影几何的对合交比不变量关系,给出二次曲线的蝴蝶定理证明,并且利用中心投影和仿射变换,证明椭圆蝴蝶定理。

    关键词:射影几何;对合;交比;不变量;蝴蝶定理;证明

    《高等几何》在几何问题研究中,发挥重要的工具作用。如利用对合“交比”研究“蝴蝶定理”的证明,可以给出有趣的证明方法。

    1 交比概念

    1.1 点列交比[1]

    设A、B、C、D为一直线点列中的四点,则有交比(AB;CD)=AC·BDAD·BC。式中线段都为有向线段,其中A、B称为基点偶,C、D分点偶。

    1.2 线束交比[1]

    设a、b、c、d为一点为线束中的四条直线,则有交比(ab;cd)=sin(a,c)·sin(b,d)sin(a,d)·sin(b,c)。式中角度为两直线夹角,其中a、b称为基点偶,c、d分点偶。

    交比有如下性质:交换基点偶和分点偶的位置,交比不变。[1]

    点列交比与线束交比有关系:[1]

    (1)若线束中的四条直线a、b、c、d被任意一直线s截于A、B、C、D四点,则(ab;cd)=(AB;CD)。

    (2)二次曲线上的两线束的交比为不变量。

    1.3 射影对合[1]

    非恒等的一维射影变换,若任意一对对应的元素都交互对应,则该射影变换称为对合变换(简称对合)。

    对合有如下性质:[1] 对合式可以写成下列两种范式之一:(1)μμ'=k(常数,且k≠0);(2)μ+μ'=0。

    2 蝴蝶定理介绍

    蝴蝶定理 如图1.设O为圆内弦MN的中点,过O作弦AB和CD。设AD和BC各相交MN于点P和Q,则O是PQ的中点。

    图1图2 图3

    蝴蝶定理最早出现在1815年在英国的一份通俗杂志《先生日记》(Gentleman's Diary)征解栏内刊出,不知是编辑大意还是其它原因,未能提供命题人的姓名。1944年第2期的《美国数学月刊》,由其外形结构将它称为“蝴蝶定理”。[2]

    在蝴蝶定理中,如去掉“中点”的条件,结论变为一个一般关于有向线段的比例式。它最早于1896年,由A.L.Candy给出。

    Candy蝴蝶定理[3] 如图1设O为圆内弦MN上任意一点,过O作弦AB和CD。设AD和BC各相交MN于点P和Q,则1OM+1ON=1OP+1OQ,其中等式中线段均为有向线段。

    1995年,赵临龙给出蝴蝶定理蝶心Q离开MN的有趣结论。

    广义蝴蝶定理[4] 如图1过二次曲线Γ弦MN外一点O引Γ的两弦AB,CD分别交弦MN于G、H,AD、BC分别交MN于P、Q,则1PG+1QH=GQHQ1MG+HPGP1NH,其中等式中线段均为有向线段。

    “蝴蝶定理”所反映的二次曲线割线线段度量关系,引起人们的极大兴趣,直到今日人们从未间断对它的讨论,近3年就要文献。[5-12]

    3 二次曲线蝴蝶定理证明

    现在给出二次曲线蝴蝶定理的射影几何对合证明。

    3.1 射影方法证明

    如图1,若将点A、C看成二次曲线Γ上的2个对应线束,则

    (MPON)∧=A(MDBN)∧-C(MDBN)∧=(MOQN)=(NQOM)

    即有射影对应关系:M→N,N→M,P→Q,O→O。

    由于这是一个交互对应,即为对合射影对应。于是,由于对应点M、N关于点O为对称,即为对合范式(1),则对应点P、Q关于点O也为对称。即OP=OQ。

    当二次曲线Γ为圆⊙O时,蝴蝶定理相应结论成立。

    3.2 中心投影方法证明

    如图3,在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心,用平行于直线M'N'的平面截影,则圆O'被射影为椭圆O''(图2),线段M'N'被射影为与之平行的M''N'',根据中心投影关系,得到对应线段P''O''= Q''O''。即椭圆蝴蝶定理相应结论成立。

    3.3 仿射方法证明

    如图2,将图2的椭圆仿射为圆(图1),由仿射不变性知P''O''= Q''O''。

    (致谢:感谢张鸽同学对本文所提供的研究思路材料)

    参考文献:

    [1]周振荣,赵临龙.高等几何[M].华中师范大学出版社,2014.

    [2]Leon,Bankoff文,蒋声,译.蝴蝶定理的演变[J].美国数学月刊,1987.10:195-210.

    [3]赵临龙.蝴蝶定理的最终形式[J].数学教师,1995.4:27.

    [4]赵临龙.“三割线定理”的新认识[J].甘肃科学学报,2015,27(01):41-45.

    [5]成开华.探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题[J].中学数学研究,2015(06):28-29.

    [6]赵临龙.蝴蝶定理的再推广及其应用——数学问题2109和2137的统一解决[J].河南科学,2015,33(06):899-903.

    [7]赵临龙.“广义蝴蝶定理”的本质结构及新的不变量关系[J].河南科学,2015,33(12):2071-2074.

    [8]曹嘉兴.蝴蝶定理的新证法[J].中學数学杂志,2016(06):38+28.

    [9]朱先东.蝶翩跹 思飞扬——一节关于“蝴蝶”的数学综合实践课[J].中学数学杂志,2016(12):27-30.

    [10]黄一德,田秀蓉.蝴蝶定理在仿射几何中的推广[J].赤峰学院学报(自),2017,33(04):4-5.

    [11]赵临龙.蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨[J].中学数学教学,2018(05):73-76.

    [12]金彪,邹生书.蝴蝶翩翩进考苑 魅力四射迷人眼[J].河北理科教学研究,2018(04):7-9.

    指导教师:赵临龙。

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更新时间:2025/3/15 14:18:08