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浅谈高中数列中的探索问题类型及解题策略

范文

张洁

【摘要】数学作为一门主科是高中教学中的重中之重，而数列是高中数学里的重要章节，也属于比较难掌握的内容，更是每一个高中数学教师的教学重点.本文主要以数学数列为研究方向，重点在对数列题型的分类和各种解题策略的梳理，以便帮助学生建立和数列相关题目的解题思路框架，进而提高其解题效率和质量.

【关键词】高中数学;数列;解题策略;题型分类

一、前言

数列主要特点表现在：学生难以把握解题的方向，很多学生对数列解题步骤较为生疏，以至于在做题时无从下手.其实，对数学数列问题，只要能够找到其学习精髓就可以将数列问题化繁为简.因此，在日常教学中，教師必须对数列问题进行归类，大体可分为三类，即求存在性的问题、给出条件求结论的问题和给出结论求条件的问题.

二、注意对题目主旨的分析和分类

在解答有关数列问题的数学题时，审题的质量直接决定了题目解答的效率，因此，在审题之后我们要注意对其问题类型进行分析，每一种类型的问题都有着相应的解题步骤和思路，只有学会将问题加以分类才能对症下药，寻找到适合问题本身的解答方向.

三、有关不同数列问题的解题策略的讨论

（一）涉及求常数存在性问题的解题策略

1.常数是不变的，因此，通过数列的特殊项或项数即可估算出常数的值.

例1 是否存在等差数列{an}，使它的首项为1，公差不为零，且其前3n项中，前n项的和与其后2n项的和的比值对于任意正整数n都等于常数？若存在，求出数列{an}的通项公式及常数的值;若不存在，说明理由.

解若存在这样的等差数列{an}，其公差为d，前n项和记作Sn，则其后2n项的和为S3n-Sn，由已知得SnS3n-Sn=λ（λ为常数），因Sn=n+n（n-1）2d，S3n-Sn=2n+n（4n-1）d.

令n=1，n=2，得12+3d=2+d4+14d=λ，d2-2d=0，即d=2或d=0（舍去），此时λ=18.

于是，对于任意正整数n有SnS3n-Sn=n+n（n-1）2n+2n（4n-1）=n28n2=18=λ成立，故存在等差数列{an}，其通项公式为an=2n-1，常数λ=18.

2.从一般入手，再用待定系数法.

例1也可以这样求解：由SnS3n-Sn=λ，即（λ+1）Sn=λS3n，因Sn=n2[2+（n-1）d]，S3n=3n2[2+（3n-1）d]，把他们代入上式，化简整理得：d（1-8）λn+2-4λ+（2λ-1）d=0，要使该等式成为恒等式的充要条件是：d（1-8λ）=2-4λ+（2λ-1）d=0，因d≠0，故λ=18，此时d=2，故存在这样的等差数列{an}，其通项公式为an=2n-1，常数λ=18.

3.从函数入手，注意合理转化.

例2 数列{an}的通项公式为an=（n+1）·0.9n，问：是否存在这样的正整数N，使an≤aN，对于一切正整数n恒成立？并证明你的论断.

解? 因an-an+1=（n+1）·0.9n-（n+2）·0.9n+1=09n·n-810，所以，当n<8时，an<an+1，当n=8时，an=an+1，当n>8时，an>an+1，a1<a2<…<a7<a8=a9>a10>…，故存在N=8或9，使得an≤aN对于任意正整数n恒成立.

（二）根据给出的有关条件求相应结论的解题策略

这类题目解题策略为根据题目给出的满足的条件，找到猜想规律的具体方向，推测出具体规律后，运用数学归纳法加以总结，然后进行证明求证.例如，已知数列11×4，14×7，17×10，…，1（3n-2）（3n+1），…，数列的前四项和分别为S1，S2，S3，S4，计算S1，S2，S3，S4.根据计算结果，猜想数列前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.

（三）根据给出的有关结论求相应条件的解题策略

对此类问题，解题者必须具备逆向思维，学会由果找因的解题步骤.逆向思维是一种发散性思维，是与正常思维或者习惯性思维相反的一种思维方式.逆向思维是一种拓展思路的思维方法，如果在教学中有意识地加强训练，可提高学生解决数学问题的灵活性，突破思维定式，创造性地发现解决问题的简捷、新颖、奇特的方法.例如，在求解数列通项的题目中，如果运用常规思维求解，往往计算量较大，易出现错误，如果逆用等差数列求和公式或者等比数列求和公式等，找到相关的规律，那么题目也就迎刃而解了.

四、结语

综上所述，作为一名合格的高中生，必须具备分析数列问题并有效解答的能力.对高中数学教师而言，数列的教学也是其教学能力的重要衡量指标.数列相关的题目有着非常清晰的逻辑，教师必须对学生有关数列内容的学习加以正确的引导，只有让学生学会分析数列问题的类型并掌握常见的几种解题策略，才能有效提高其数学成绩.

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