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标题 从思维生长角度看属性下的概念教学
范文

    徐仙

    

    

    

    【摘要】在数学教学中,概念教学的重要性毋庸置疑.属性下概念教学的关键是通过问题情境,让学生运用归纳思维,抽象出概念的数学属性.在这一过程中,学生能感受到概念的生长过程,感受到建立此概念的必要性和必然性.

    【关键词】初中数学;概念教学;思维生长

    数学概念指运用定义的形式揭示数学的某一本质特征,是数学学习的核心.数学概念教学承载着学生数学学习经验的积累、数学思想方法的渗透的任务.李邦河院士说:“数学是玩概念的.”很多学生在解题过程中遇到困惑的本质原因是对概念理解不到位.因此,数学概念教学十分重要.数学概念的种类很多,如何进行属性下的概念教学呢?笔者以“二次函数”概念教学为例,以思维生长角度为基本思路,进行了如下教学设计.

    一、属性下的概念理解

    将同一类对象的本质属性抽象出来,就形成了概念.属性是固有的、不变的、不以人的意志为转移的.研究事物的过程就是揭示相关事物属性的过程,因此属性下概念教学的核心就是通过问题情境,让学生发现问题,思考问题,抽象出概念的数学属性.在这一过程中,学生感受建立此概念的必要性、必然性.教师通过这一过程培养学生的数学核心素养和关键能力.

    二、教学设计与说明

    环节1:类比归纳 新知初探

    师:老师给出以下问题,请你用函数表达式表示问题中两变量之间的关系.

    ①一辆汽车从丹阳开往江都,速度是80 km/h,求行驶的路程s(km)与时间t(h)之间的关系.

    ②丹阳到江都全程约90 km,求汽车行驶全程所用的时间t(h)与速度v(km/h)之间的关系.

    ③长方形的周长为16 m,长为 x m,宽为y m,求长方形的长与宽之间的关系.

    ④一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,求扩大后波纹(圆)的面积s与半径r之间的关系.

    ⑤用总长为16 m的篱笆围成长方形的生物圈,饲养小兔,求生物圈的面积y(m2)与长 x(m)之间的关系.

    ⑥计划修建一条长500 km的高速公路,求完成该项目的天数a (天)与每天完成的量b(km)之间的关系.

    ⑦一面长宽之比为2∶1的矩形镜子,四周镶有边框,已知镜面的价格是每平方米120元,边框价格是每米30元,额外加工费是45元,求总费用w(元)与镜面宽x(米)之间的关系.

    (学生自行解决,教师在黑板上板书答案:

    ①s=80t ②t=90[]v ③y=8-x ④s=πr2

    ⑤y=-x2+8x ⑥a=500[]b ⑦w=240x2+180x+45)

    问题1 你能将上述关系式分类吗?说一说你的分类结果.

    (①③为一次函数;②⑥为反比例函数;④⑤⑦没学过)

    问题2 对于已经学过的一次函数、反比例函数,你还记得老师是怎样研究它们的吗?都研究了哪些方面?(学生先说,教师后呈现下表)

    师生共同小结回顾:我们根据一次函数、反比例函数等号右边代数式的特征,分别得出了它们的定义;通过列表、描点、连线画出了它们的函数图像;再通过研究图像得出了这两种函数的性质;最后用它们解决实际生活中的问题.

    说明1:问题是一切科学探究的起点,一个不会发现问题的人是无法真正参与探究活动的.爱因斯坦说过:“发现和提出一个问题比解决一个问题更重要.”因此渗透分类思想、将众多问题进行分类梳理、梳理旧知、发现新知的过程符合学生的认知规律,符合学生学习知识的生长规律,是培养学生关键能力与必备品格的过程.从知识层面复习一次函数、反比例函数的学习过程,可以为二次函数的学习打下基础.

    问题3 除了我们熟悉的函数外,剩下的④⑤⑦这些函数表达式有什么共同特征呢?它们与一次函数、反比例函数表达式有什么区别呢?

    (学生观察,讨论,交流:

    1.等号右边的代数式都是整式,与反比例函数不同,与一次函数相同;

    2.等号右边的代数式都含二次项,与一次函数不同.)

    问题4 你能再举出一些这类函数的例子吗?

    问题5 这样的例子太多了,你能设计出一个一般形式来表示这类函数吗?(学生尝试设计,交流)

    问题6 类比一次函数、反比例函数的定义,请你试着给这类函数下定义.(学生尝试,交流)

    教师总结:这样的函数,我们称为“二次函数”.(板书)一般的,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)

    的函数叫二次函数,其中x是自变量,y是x的函数.

    说明2:类比是由于两类对象在某些方面相似,得出它们在其他方面也可能相似的结论.类比是一种创造性的数学思想方法.类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视作用.类比是学生正确理解概念的方法之一,通过类比一次函数、反比例函数,学生可以用已有的经验与方法研究未知问题.

    环节2:全面剖析 深入新知

    通过前面的探索,认真分析二次函数的定义,这一定义告诉了我们哪些本质的东西?你是怎样理解二次函数概念的?

    1.“形如”即用形来定义函数的名称.

    2.二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0).

    3.a≠0,b、c可以为0,y=ax2+c.

    特殊情况:当b=0时(a≠0),y=ax2+bx;

    当c=0时,y=ax2(a≠0);

    当b=0、c=0时,(a≠0).

    4.定义有双重性:

    若y是关于x的二次函数,则y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0);如果y、x满足y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0),则y是關于x的二次函数.

    4.对照一般形式介绍二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项;以黑板上的式子⑦w=240x2+180x+45为例,介绍相关项与系数.

    5.观察⑦w=240x2+180x+45,思考:

    ①x取任何值,y是否都有唯一的值与之相对应?

    ②二次函数自变量x的取值范围是什么?(任意实数)

    ③若放在具体的总费用w(元)或镜面宽x(米)等实际问题中,自变量x还能取任意实数吗?(在实际问题中,自变量的取值要考虑实际意义)

    说明3:对于属性下的概念教学,教师要理清概念的属性,才能根据属性构建学习活动,让学生抽象出概念的属性.构建学习活动的目的是让学生建立概念、理解概念、应用概念,经历“给例子—找属性—举例子—下定义—再辨析”的过程.这一过程体现了建立概念的必要性、必然性,同时把新概念的本质属性推广到同类事物,使学生掌握概念的本质,延伸思考,从感性思维层面上升到理性思维层面.

    环节3.内化新知 初步运用

    判断下列函数哪些是关于x的二次函数,如果不是请说明理由.

    教师总结关键点:表示函数的自变量代数式是二次整式.

    说明4:辨析概念的关键词,以正例、反例为载体,用变式促进学生对概念的理解,不必辨析每个概念的内涵与外延,只有核心概念、可定义的概念需要辨析.通过辨析,学生会掌握判断二次函数的方法,进一步理解二次函数的概念.

    环节4:应用新知 提高能力

    例1 当k为何值时,函数y=(k-1)xk2+k+1为关于x的二次函数?

    例2 如图1,矩形纸片长为30 cm,宽为20 cm,剪去一个边长为x cm的正方形,请回答:图1

    (1)写出剩余部分的面积s(cm2)与x(cm)之间的函数关系式;

    (2)当x=5时,求s的值;

    (3)求自变量x的取值范围.

    说明5:通过上述两道例题,学生深入理解了二次函数的概念,同时学习用所学知识解决实际问题.這两道例题体现了数学从生活中来,但最终服务于生活.

    环节5:回顾总结 巩固提高

    1.我们共同初步学习了一种新的函数模型——二次函数.

    2.我们一起类比一次函数、反比例函数,定义了二次函数.

    3.经历了数学建模的过程,学生加深了对二次函数的认识.

    4.学生提升了对数学思想方法的理性认识,回归现实,用二次函数思想认识生活.

    说明6:教师的小结不仅体现了知识点的回归,还渗透了数学思想方法.这是学习方法的总结,是对学生思考、推理建模过程的总结.

    三、感悟与反思

    概念教学的关键在于揭示概念形成的必要性、必然性、合理性,让学生经历概念的自然生长过程.教师通过问题情境、思路归纳,让学生发现概念的属性,提炼出本质属性,概括形成概念,并用定义表示.属性下的概念教学应该与概念形成的方式接近,概念教学不是“死教”概念,而是让学生心里自然“生长”出概念.

    【参考文献】

    [1]卜以楼.生长数学:卜以楼初中数学教学主张[M].西安:陕西师范大学出版社,2018.

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更新时间:2025/3/14 6:07:26