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标题 数列求和的方法及典例
范文

    吴爱国

    

    【摘要】 本文对数列求和的常用六种方法进行了归纳总结.

    【关键词】 数列;错位相减;裂项相消;前n项和

    数列是高中数学中的重要内容,数列求和是最为常见的题型之一,是历年高考考查的热点问题.本文对数列求和方法作了归纳总结,并给出了典型例题,希望对大家有所启发.

    一、公式法

    等差数列或者等比数列求和,可以直接使用求和公式.特别地,12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1) 6 ,13+23+33+…+n3=? n(n+1) 2? 2等公式也可直接套用.

    二、错位相减法

    若{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则{anbn},? an bn? 称为差比数列,差比数列求和采用错位相减法.

    题(1):求和Sn= 1 2 + 2 22 + 3 23 +…+ n 2n .

    提示:法1: 1 2 Sn= 1 22 + 2 23 + 3 24 +…+ n 2n+1 作差得解.

    法2:2Sn= 1 20 + 2 21 + 3 22 +…+ n 2n-1 作差得解.

    结论:数列{(an+b)·qn-1}的前n项和为Sn=(An+B)·qn-B,其中A= a q-1 ,B= b-A q-1 .

    三、裂项相消法

    常见裂项类型如下:分式型裂项 1 n(n+p) = 1 p?? 1 n - 1 n+p? ;根式型裂项 1? n + n+p? = 1 p ( n+p - n );对数型裂项lg n+p n =lg(n+p)-lgn;指数型裂项aqn= a 1-q (qn-qn+1).

    题(2):求和 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 n(n+1) .

    题(3):求和 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +… 1 (2n-1)(2n+1) .

    题(4):求和 1 1×3 + 1 2×4 + 1 3×5 +…+ 1 n(n+2) .

    题(5):求和 1 1×4 + 1 2×5 + 1 3×6 +…+ 1 n(n+3) .

    题(6):求和 1 1×2×3 + 1 2×3×4 + 1 3×4×5 +…+ 1 n(n+1)(n+2) .

    四、分组求和法

    数列{cn}中,cn=an+bn,或通项公式能分段表示等情形,均可采用分组求和法.

    题(7):求和(a-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(an-n).

    题(8):求和7+77+777+…+77…7.

    题(9):求和1 1 2 +3 1 4 +5 1 8 +…+ (2n-1)+ 1 2n? .

    题(10):已知数列{an},an= 2n-1,n为奇数, 2n,n为偶数, ?求{an}的前n项和.

    五、通项分析法

    有些求和问题,必须对通项进行分析,化简,进而根据题目具体情形,问题得解.

    题(11):求和9+99+999+…+99…9.

    题(12):求和1+ 1 1+2 + 1 1+2+3 +…+ 1 1+2+3+…+n .

    题(13):求和12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2.

    题(14):求和(-1)+4+(-7)+10+…+(-1)n(3n-2).

    题(15):求和1+3+5+7+…+(2n+3).

    题(16)求和1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22+…+2n-1).

    六、倒序相加法

    某些数列第n项与倒数第n项的和为定值,此情形采取倒序相加法.

    题(17):求和sin21°+sin22°+…+sin289°.

    题(18):已知f(x)= 1 2x+ 2? ,求f(-7)+f(-6)+f(-5)+…+f(7)+f(8).

    题(19):已知f(x)= 1 4x+m (m>0),x1,x2∈ R .当x1+x2=1,f(x1)+f(x2)= 1 2 .

    (ⅰ)求m.(ⅱ)求f(0)+f? 1 n? +f? 2 n? +…+f? n-1 n? +f(1).

    【參考文献】

    [1]张永辉.新课标高考数学题型全归纳[M].北京:清华大学出版社,2011.

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更新时间:2025/3/15 2:21:39