| 标题 | 例析函数连续及一致连续的判别 |
| 范文 | 段炼 方贤文 摘要：连续及一致连续是高校数学分析和高等数学中重点和难点之一，且对其他课程教学及应用中具有重要的地位，对培养本科生的分析能力和学习后继课程具有重要作用。本文主要通过具体实例分析介绍几种关于函数连续及一致连续的判别方法如判定左右连续法、放缩法等，并通过具体实例分析了这些方法在数学分析及高等数学教学中的应用，对帮助学生有效学习行列式知识具有一定指导作用。 关键词：连续;一致连续;判别 中图分类号：O13文献标识码：A 1 绪论 函数的连续性和一致连续性[1]是高校分析课程教学中重要内容，分别反映了函数的局部和整体性质，不仅有利于刻画函数的变化趋势和性质，同时与后继知识如含参变量积分、函数项积分等诸多重要的微积分中的概念具有密切的联系，具有承上启下的作用，又由于其高度的抽象性，称为教学中的重点和难点之一，也得到了诸多学者关于其教学方面的研究，如文献[24]。而在有关的习题中，关于连续性和一致连续性的判别有许多方法，最基本的方法之一是根据其定义进行思考。本文将介绍其他判别方法如判定左、右连续法，放缩法，利用Lipschitz条件等，并举例说明其求解方法和技巧。 2 判定左、右连续法 众所周知，函数在某一点连续，当且仅当函数在该点既左连续又右连续，判别函数在区间端点的连续性时，也往往按左、右连续来确定。 例1设 试研究f（x）在x=0的连续性。 解 所以，函数f（x）在x=0处不连续。 该方法对于判别分段函数在分段点处的连续性具有一般性，往往借助于求出函数在该点处的左右极限，进而判别函数的连续性。 3 放缩法 放缩法在微积分教学中具有重要的地位，对于解决极限、函数项级数等问题具有重要的作用。此处，将通过两个例题来介绍放缩法在判别函数连续及一致连续性时也具有独到之处。 例2讨论函数 f（x）x（1-x），x为有理数，x（1+x），x为无理数， 的连续性与可微性。 解先证f（x）在x=0处连续。对于任意ε>0，当|x|<δ时，则有1+|x| 因此取δ<εc，即有|f（x）-f（0）|<ε. 再证f（x）在任何非零点x0均不连续。分别取有理数rn收敛于x0，再取无理数αn收敛于x0，则 若f（x）在x0处连续，则有x0（1-x0）=x0（1+x0），得到x0=0，这与x0非零是矛盾的。由于f（x）在任意非零点处不连续，从而也不可微。 最后证明：f（x）在x=0处可微。 所以 因此 ， 即 所以f′（0）=1 放缩法在证明函数一致连续性时也具有独特之处，为判别某些具有特定性质的函数的一致连续性带来方便，下面举一例说明。 例3 设函数f（x）在[0，+∞）满足Lipschitz条件，即存在m>0，对任意x′，x″[0，+∞），有 |f（x′）-f（x″）|≤m|x′-x″|。證明：f（xα）（0<α<1为常数）在[0，+∞）上一致连续。 证首先证明g（x）=xα在[0，+∞）上一致连续，因为g（x）在[0，1]上连续，从而一致连续。 下证在[1，+∞）上g（x）=xα一致连续。 对于任意ε>0，考虑x1，x2[1，+∞），且x1 因此取，则当|x1-x2|<δ时，由上式可得， 从而g（x）=xα在[1，+∞）上一致连续，进而在[0，+∞）上是一致连续的。 结合f（x）满足Lipschitz条件，即证得f（xα）（0<α<1为常数）在[0，+∞）上一致连续。 4 利用Lipschitz条件 Lipschitz条件是一个比通常连续更强的光滑性条件，具备LIPSCHITZ条件的函数往往具有更为优越的性质。例如如果函数在某区间上满足LIPSCHITZ条件，那么该函数在此区间上是一致连续的。基于此事实，下举一例函数在开区间上一致连续的应用。 例 4 设函数f（x）在开区间（a，b）上有连续的导函数，且与均存在有限。 试证：f（x）在（a，b）上一致连续。 证：由假设条件可知，f′（x）在（a，b）上连续，定义 从而F（x）在[a，b]上连续。因此，F（x）在[a，b]上一致连续，进而F（x）在[a，b]上有界，即存在C>0，使得|F（x）| 这说明f（x）在开区间（a，b）上满足Lipscitz条件，进而f（x）在（a，b）上一致连续。 5 结语 函数的连续性与一致连续性是数学分析和微积分的一个重要内容，关于这些内容的判别方法众多，本文主要介绍了一些常用并且具有一定技巧性和灵活性的判别方法，并通过例题分析，从而达到有效判别函数连续与一致连续的目的，提高了学生学习连续函数性质的积极性，改善了教学效果，提高了教学质量。 参考文献： [1]华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]宋文檀.函数一致连续的充要条件及其应用[J].江西科学，2009，27（4）：490492. [3]李江华.关于一致连续的判定与应用[J].赤峰学院学报，2015，31（11）：12. [4]曾庆红，李祥.连续与一致连续的应用[J].萍乡学院学报，2016，33（3）：13. 基金项目：安徽省重大教学改革研究项目（2013ZDJY082），安徽省质量工程项目（2013SXZX012，2013SJJD008，2014ZY028，2015JYXM136，2015CKJH015），安徽省重大教学改革研究项目（2016JYXM0254） 作者简介：段炼（1984），男，安徽理工大学数学与大数据学院，副教授，从事教学科研。 |
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