标题 | 一类向量最值问题的求解策略 |
范文 | 钱丽谈 曹关明 【摘要】 在平面向量這一章的学习中,经常会遇到一类以 a =λ b +μ c 为条件求最值的问题,本文借助A,B,C三点共线的充要条件是:有唯一实数对λ,μ,使OC =λOA +μOB ,其中λ+μ=1.得到了以下引理:给定三个不共线的平面向量OA ,OB ,OC ,满足OC =λOA +μOB ,OA =mOA′ ,OB =nOB′ (m,n∈ R ),直线OC与直线A′B′交于点C′,则mλ+nμ= |OC | |OC′ | ,若|OC |为定值,则当|OC′ |最大时,mλ+nμ取得最小值,当|OC′ |最小时,mλ+nμ取得最大值.从而快速地解决了上述平面向量最值问题. 【关键词】 平面向量;三点共线;最值;求解策略 一、问题的提出 在学习高中数学必修4平面向量时,遇到这样一个问题: 如图1所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量AC =λDE +μAP (λ,μ∈ R ),则λ+μ的最小值为(? ). A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 解法1? 如图2所示,建立直角坐标系, 设正方形ABCD的边长为1,P(cosθ,sinθ), 则AC =λDE +μAP =? 1 2 λ+μcosθ,-λ+μsinθ =(1,1), 解得λ= 2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ ,μ= 3 2cosθ+sinθ , ∴λ+μ= 3+2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ =-1+ 3(sinθ+1) 2cosθ+sinθ , 由题意,0≤θ≤ π 2 , ∴0≤cosθ≤1, 0≤sinθ≤1,(λ+μ)′= 6+6sinθ-3cosθ (2cosθ+sinθ)2 >0, ∴λ+μ在θ∈ 0, π 2? 上是增函数, ∴θ=0时,(λ+μ)min= 1 2 . 评注:上述解法思路清晰自然,但解答过程过于烦琐,计算量太大,这时我们思考能否借助向量的几何意义来给出问题的解答呢? 二、问题的探究 条件AC =λDE +μAP 是平面向量的线性表示,其几何背景是平面向量基本定理:如果 e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a =λ1 e 1+λ2 e 2.与此定理有关的一个重要结论是三点共线的向量表示:A,B,C三点共线的充要条件是:有唯一实数对λ,μ,使OC =λOA +μOB ,其中λ+μ=1.由此,我们考虑构造一个三点共线的图形,得到以下新的解法: 解法2? 如图3所示,将DE 平移至AF ,则AC =λAF +μAP , 两边同时除以λ+μ,得 1 λ+μ AC = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP , 设AC′ = 1 λ+μ AC , 则AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP , 由 λ λ+μ + μ λ+μ =1知,C′,F,P三点共线, 又λ+μ= |AC | |AC′ | ,而|AC |= 2 ,所以当|AC′ |最大时,λ+μ取得最小值, 观察图像可知:当点P与点B重合时,|AC′ |max=2 2 ,故(λ+μ)min= 1 2 . 评注:与解法1相比,此法简洁明了,且更具一般性. 三、解法的推广 变式? 将上述问题变为“求λ+2μ的最小值”. 解? 如图4所示,设点P′为以A为圆心,AE为半径的圆弧上的任意一点,则AP =2AP′ , 所以AC =λAF +2μAP′ , 两边同时除以λ+2μ, 得 1 λ+2μ AC = λ λ+2μ AF + 2μ λ+2μ AP , 设AC′ = 1 λ+μ AC , 则AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP , 由 λ λ+2μ + 2μ λ+2μ =1知,C′,F,P′三点共线, 观察图像可知:当点P与点E重合时(λ+2μ)min=2. 评注:利用三点共线的几何意义,问题还可以进一步推广到求mλ+nμ(m,n∈ R )的最值,给出引理. 引理? 如图5所示,给定三个不共线的平面向量OA ,OB ,OC ,满足OC =λOA +μOB ,OA =mOA′ ,OB =nOB′ (m,n∈ R ),直线OC与直线A′B′交于点C′,则mλ+nμ= |OC | |OC′ | ,若|OC |为定值,则当|OC′ |最大时,mλ+nμ取得最小值;当|OC′ |最小时,mλ+nμ取得最大值. 证明? OC =λOA +μOB =mλOA′ +nμOB′ , 两边同时除以mλ+nμ, 得 1 mλ+nμ OC = mλ mλ+nμ OA + nμ mλ+nμ OB , 设OD = 1 mλ+nμ OC ,由 mλ nλ+nμ + nμ mλ+nμ =1知,A,B′,D三点共线, 又因为OD ∥OC ,所以D点与C′点重合, 所以mλ+nμ= |OC | |OC′ | , 因为|OC |为定值,所以当|OC′ |最大时,mλ+nμ取得最小值,当|OC′ |最小时,mλ+nμ取得最大值. 四、引理的應用 运用以上引理,我们可以轻松解决一类向量最值问题的求解: 例1?? (2009年安徽)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120°,如图6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB 上变动.若OC =xOA +yOB ,其中x,y∈ R ,则x+y的最大值是 . 解析? 如图7所示,设直线OC与直线AB交于点C′,则x+y= |OC | |OC′ | . 由图得,当OC ⊥AB 时,|OC ′|min= 1 2 , 所以x+y的最大值为2. 改编? 如图8所示,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的一个动点.若OC =xOA +yOB ,则x+3y的取值范围是 . 解析? 如图9所示,在线段OB上取一点B′,使OB =3OB′ ,设直线OC与直线AB′交于点C′,则x+3y= |OC | |OC′ | ,由图得,当点C与点A重合时,|OC′ |max=1,x+3y取得最小值1;当点C与点B重合时,|OC′ |min= 1 3 ,x+3y取得最大值3,所以x+3y∈[1,3]. 例2?? (2012年杭州二模)如图10所示,A,B,C是圆O上三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D,若OC =mOA +nOB (m,n∈ R ),则m+n的取值范围是(? ). A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0) 解析? OC =mOA +nOB (m,n∈ R ), 两边同时除以m+n,得 1 m+n OC = m m+n OA + n m+n OB , 设OC′ = 1 m+n OC , 则OC′ = m m+n OA + n m+n OB , 由 m m+n + n m+n =1知,C′,A,B三点共线, 又因为OC′ ∥OC ,所以D点与C′点重合, 又因为点D是CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的一点, 所以m+n=- |OC | |OD | ∈(-1,0). |
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