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不定积分分部积分法研究

范文

邓琴

【摘要】在不定积分的计算方法中，分部积分法是最重要的方法之一，也是最常见的方法之一.本文主要介绍不定积分分部积分法的具体方法、技巧及其应用，提高学生对不定积分分部积分法的学习能力.

【关键词】不定积分;分部积分法;函数

一、分部积分法的介绍及技巧

分部积分法是不定积分的计算方法中最重要的方法之一，也是最常见的方法之一.设函数u=u（x）及v=v（x）具有连续导数，则乘积的求导法则为（u（x）v（x））′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x），移项得u（x）v′（x）=（u（x）v（x））′-u′（x）v（x），两边积分就得到下面这个分部积分公式：

∫u（x）dv（x）=u（x）v（x）-∫v（x）du（x）.

在进行分部积分时，把被积表达式中的哪一部分取作u，dv是任意的，但是如果u和dv的选取不恰当，往往会使问题变得更复杂.选择的原则是：（1）v容易求得;（2）∫v（x）du（x）比∫u（x）dv（x）容易求.其一般规律符合LIATE选择法：让L代表对数函数，I代表反三角函数，A代表代数函数，T代表三角函数，E代表指数函数，被积函数如遇到其中任何两种函数的乘积，选先出现在LIATE中的函数为u，剩下的为v′.

二、应用举例

例1 ??求∫xcosxdx.

解 ?令u=x，dv=cosxdx，則du=dx，v=sinx.所以，原式=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.

例2 ??求∫xexdx.

解 ?原式=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+C.

例3 ??求∫（lnx）2dx.

解 ?原式=x（lnx）2-2∫lnxdx=（xlnx）2-2xlnx+2∫dx=（xlnx）2-2xlnx+2x+C.

例4 ??求∫excosxdx.

解 ?原式=∫cosxdex=excosx+∫sinxdex=excosx+exsinx-∫excosxdx，移项可得

∫excosxdx= 1 2 （excosx+exsinx）+C.

例5 ??求∫ 1+sinx 1+cosx exdx.

解 ?原式=∫ 1+2sin x 2 cos x 2? 2 cos x 2? 2 exdx

=∫ 1 2 cos x 2? 2 exdx+ ∫extan x 2 dx

=∫exdtan x 2 +∫extan x 2 dx

=extan x 2 -∫tan x 2 exdx+∫extan x 2 dx

=extan x 2 +C.

例6 ??求∫ xex （x+1）2 dx.

解 ?原式=∫ x+1-1 （x+1）2 exdx

=∫ 1 x+1 exdx-∫ 1 （x+1）2 exdx

=∫ 1 x+1 exdx+∫exd 1 1+x

=∫ 1 x+1 exdx+ 1 x+1 ex-∫ 1 x+1 exdx

= 1 x+1 ex+C.

三、小结

当不定积分中被积函数是两种不同类型函数乘积时，可以考虑用分部积分法来求.大部分情况下的u和dv的选择可以按照上述方法来选取，但是也有例外，比如，例5和例6，做题时一定要灵活运用.有时候还要和凑微分法和变量代换法结合在一起使用.

【参考文献】

[1]李伟.高等数学习题课教程[M].北京：天津大学出版社，2004.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]刘玉莲.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

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