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标题 不定积分分部积分法研究
范文

    邓琴

    

    【摘要】 在不定积分的计算方法中,分部积分法是最重要的方法之一,也是最常见的方法之一.本文主要介绍不定积分分部积分法的具体方法、技巧及其应用,提高学生对不定积分分部积分法的学习能力.

    【关键词】 不定积分;分部积分法;函数

    一、分部积分法的介绍及技巧

    分部积分法是不定积分的计算方法中最重要的方法之一,也是最常见的方法之一.设函数u=u(x)及v=v(x)具 有连续导数,则乘积的求导法则为(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),移项得u(x)v′(x)=(u(x)v(x))′-u′(x)v(x), 两边积分就得到下面这个分部积分公式:

    ∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x).

    在进行分部积分时,把被积表达式中的哪一部分取作u,dv是任意的,但是如果u和dv的选取不恰当,往往会使问题变得更复杂.选择的原则是:(1)v容易求得;(2)∫v(x)du(x)比∫u(x)dv(x)容易求.其一般规律符合LIATE选择法:让L代表对数函数,I代表反三角函数,A代表代数函数,T代表三角函数,E代表指数函数,被积函数如遇到其中任何两种函数的乘积,选先出现在LIATE中的函数为u,剩下的为v′.

    二、应用举例

    例1 ??求∫xcosxdx.

    解 ?令u=x,dv=cosxdx,則du=dx,v=sinx.所以,原式=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.

    例2 ??求∫xexdx.

    解 ?原式=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+C.

    例3 ??求∫(lnx)2dx.

    解 ?原式=x(lnx)2-2∫lnxdx=(xlnx)2-2xlnx+2∫dx=(xlnx)2-2xlnx+2x+C.

    例4 ??求∫excosxdx.

    解 ?原式=∫cosxdex=excosx+∫sinxdex=excosx+exsinx-∫excosxdx,移项可得

    ∫excosxdx= 1 2 (excosx+exsinx)+C.

    例5 ??求∫ 1+sinx 1+cosx exdx.

    解 ?原式=∫ 1+2sin x 2 cos x 2? 2 cos x 2? 2 exdx

    =∫ 1 2 cos x 2? 2 exdx+ ∫extan x 2 dx

    =∫exdtan x 2 +∫extan x 2 dx

    =extan x 2 -∫tan x 2 exdx+∫extan x 2 dx

    =extan x 2 +C.

    例6 ??求∫ xex (x+1)2 dx.

    解 ?原式=∫ x+1-1 (x+1)2 exdx

    =∫ 1 x+1 exdx-∫ 1 (x+1)2 exdx

    =∫ 1 x+1 exdx+∫exd 1 1+x

    =∫ 1 x+1 exdx+ 1 x+1 ex-∫ 1 x+1 exdx

    = 1 x+1 ex+C.

    三、小 结

    当不定积分中被积函数是两种不同类型函数乘积时,可以考虑用分部积分法来求.大部分情况下的u和dv的选择可以按照上述方法来选取,但是也有例外,比如,例5和例6,做题时一定要灵活运用.有时候还要和凑微分法和变量代换法结合在一起使用.

    【参考文献】

    [1]李伟.高等数学习题课教程[M].北京:天津大学出版社,2004.

    [2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.

    [3]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

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更新时间:2025/3/15 5:35:12