| 标题 | 一类具有Dirichlet边界条件的半正问题正解的研究 |
| 范文 | 摘?要：本文利用上下解法，研究了半正问题：-Δu=λm（x）（f（u）-k）+n（u）， u=0，x∈Ω， x∈Ω，正解的存在性问题，其中ΩRN（N1）是光滑有界的，m：Ω→R是可变号的函数，n：[0，+SymboleB@ ）→（-SymboleB@ ，0]，参数λ，k>0，f在无穷远处满足次线性条件且f（0）=0，证明了对于某些范围的λ，只要M的负部适当的小，则该方程存在一个正解。 关键词：上下解法;半正问题;正解;Dirichlet边界 中图分类号：O175.25??文献标识码：A 1?绪论及主要结果 本文研究了半正问题： -Δu=λm（x）（f（u）-k）+n（u）， u=0，?x∈Ω， x∈Ω，（1.1） 其中ΩRN（N1）是光滑有界的，参数λ，k>0，且m：Ω→R是可变号的函数，n：[0，+SymboleB@ ）→（-SymboleB@ ，0]，这里我们讨论这种情况：f∈C（[0，+SymboleB@ ）），f（0）=0，f0。 半正问题的应用非常广泛，见文献[1—4]及其参考文献，通过阅读参考文献我们发现证明方程（1）正解的存在性是很不容易的，由于强极值原理在这里是不适用的。事实上，即使是通过标准的变分法理论研究方程（1）的非负解也是不清楚的，即使要求m0。 而对于m≡1的情况，我们可以参考文献[1]、[5]。另一方面，在文献[6]中，U.kaufmann和H.Ramos?Quoirin利用上下解法研究了方程： -Δu=λm（x）（f（u）-k）， u=0，?x∈Ω， x∈Ω，（1.2） 得到了几个比较重要的定理。本人在阅读相关参考文献的过程中，发现我们可以将方程（1.2）的形式推广到方程（1.1），这在我们的实际生活背景中有着更加实际的物理背景，尤其是在物理机械系统，控制理论等方面，因此研究这个方程是有意义且必要的。通过对方程（1.1）的研究，我们得到了下面的定理。 记P0为C10（Ω）中正锥的内部，即： P0：=u∈C1（Ω）|u>0（x∈Ω），u=0且uν<0（x∈Ω） 其中ν是指向Ω的单位外法向量。 记M（x，u（x））：=m（x）+n（u（x）），M+：=max（M，0），M-：=max（-M，0）则有M=M+-M-。 下面给出我们的主要结论： 定理?1.1令M∈LSymboleB@ （Ω），f：[0，SymboleB@ ）→[0，SymboleB@ ）是连续函数且有f（0）=0，n：[0，SymboleB@ ）→（-SymboleB@ ，0]。 假设对一些0 f（s）sp=1，那么当‖M-‖LSymboleB@ （Ω）充分小时，存在λ0>0，使得对λλ0，方程（1.1）有一個正解uλ∈P0。此外，limλ→SymboleB@ x∈Ωuλ（x）=SymboleB@ 。 更具体来说，定理1.1中M-足够小的条件应该保持在M+上，它必须使得，对一些δ>0，方程： -Δω=（1-δ）M+（x，u）ωp-M-（x，u）ωp， ω=0，?x∈Ω， x∈Ω，（1.3） 有一个解ω∈P0。值得注意的是，由椭圆正则性理论知，上述定理的解u∈W2，q（Ω）（q>N），因此u∈C1，θ（Ω）（0<θ<1）。 其次，我们要求M-足够小，以便方程 -Δu=M（x，u）， u=0，?x∈Ω， x∈Ω，（1.4） 有唯一解u∈P0，关于这个问题见参考文献[6]备注25。 通过研究，我们发现找到方程（1.1）的一个正解是比较困难的，虽然已经有了一些关于m>0的相关结论，但在本文中，我们采用了一种新的方法将m推广到符号可改变的情形。 2?主要结果的证明 给定M（x，u）∈Lq（Ω），q>N，取u∈W2，q（Ω）∩W1，q0（Ω）是方程（1.4）的唯一正解，令T：Lq（Ω）→W2，q（Ω）是相应的解算子，即T（M）：=u。 引理?2.1令M，h∈Lq（Ω），q>N，h0且h不恒等于0，假设对一些δ>0，方程（1.3）有一个解ω∈P0，那么存在β0>0，使得对β∈（0，β0]，方程 -Δu=M（x，u）up-βh（x）， u=0，?x∈Ω， x∈Ω，（2.1） 存在解uβ∈P0。 证明：第一步，寻找上解。 若取φ：=T（M+）∈P0且t‖φ‖p1-pSymboleB@ ，那么tφ是方程（2.1）的一个上解。的确如此，-Δ（tφ）=tM+（x，u），由于t‖φ‖p1-pSymboleB@ t1-pp‖φ‖SymboleB@ t1pt‖φ‖SymboleB@ t（t‖φ‖SymboleB@ ）p，因此-Δ（tφ）（t‖φ‖SymboleB@ ）pM+（x，u）M（x，u）（tφ）pM（x，u）（tφ）p-βh（x），在Ω中。 第二步，寻找下解。 另一方面，取v：=T（h）且固定δ>0，ω∈P0是方程（1.3）的一个解，那么存在β0>0，使得对β∈（0，β0]，有βv<δω，即有0<（1-δ）ωSymbolcB@ ω-βv，在Ω中。（2.2） 现在，对于这样的β，我们有 -Δ（ω-βv）=（1-δ）M+（x，u）ωp-M-（x，u）ωp-βh（x） SymbolcB@ （1-δ）pM+（x，u）ωp-M-（x，u）（ω-βv）p-βh（x） 將2.2代入，得到SymbolcB@ M+（x，u）（ω-βv）p-M-（x，u）（ω-βv）p-βh（x）=M（x，u）（ω-βv）p-βh（x）。 即，ω-βv是方程（2.1）的一个下解。因此，结合上下解理论及参考文献[7]中的定理4.9，我们得到一个解u∈H10（Ω）∩LSymboleB@ （Ω）。此外，由标准的正则化理论我们可以推出u∈W2，q（Ω），q>N，又因为下解ω-βv∈P0，因此有u∈P0。 定理?2.2令M∈LSymboleB@ （Ω），f：[0，SymboleB@ ）→[0，SymboleB@ ）是一个连续函数，满足lims→SymboleB@ f（s）sp=1，其中0 -Δω=M（x，u）ωp-β， ω=0，?x∈Ω， x∈Ω， 有一个正解ω∈C（Ω），那么存在λ0>0，当λλ0时，方程（1.1）有一个正解uλ∈W2，q（Ω），q>N。此外，我们还有limλ→SymboleB@ x∈Ωuλ（x）=SymboleB@ 。 证明：第一步，寻找下解。 设u-λ：=λ11-pω，则有-Δu-λ=λ11-pMx，λ11-pωωp-β，因此u-λ是方程（1.1）的一个下解，当且仅当λ11-p（M（x，λ11-pω）ωp-β）SymbolcB@ λm（x）（f（λ11-pω）-k）+n（λ11-pω），而λM（x，λ11-pω）（f（λ11-pω）-k）=λm（x）（f（λ11-pω）-k）+λn（λ11-pω）（f（λ11-pω）-k），取λ充分大时，有λm（x）（f（λ11-pω）-k）+λn（λ11-pω）（f（λ11-pω）-k）SymbolcB@ λm（x）（f（λ11-pω）-k）+n（λ11-pω），因此当： λ11-p（M（x，λ11-pω）ωp-β）SymbolcB@ λM（x，λ11-pω）（f（λ11-pω）-k）（2.3） 时，u-λ为方程（1.1）的一个下解。而不等式（2.3）等价于： βωpM（x，λ11-pω）1-f（λ11-pω）（λ11-pω）p+kM（x，λ11-pω）（λ11-pω）p（2.4） 令ε：=infx∈Ωβω（x）p，由于lims→SymboleB@ f（s）sp=1，则存在s0>0，使得当s>s0时，有1-f（s）sp<ε2‖M‖SymboleB@ ，ksp<ε2‖M‖SymboleB@ 。 因此，对于x∈Ω，使得λ11-pω（x）>s0，则有： Mx，λ11-pω1-f（λ11-pω）（λ11-pω）p+kM（x，λ11-pω）（λ11-pω）p<εSymbolcB@ βωp 对于这样的x，有（2.4）成立。 现在令S：=sup0SymbolcB@ sSymbolcB@ s0sp-f（s）且固定λ0>0，使得对x∈Ω，若λλ0，则有λp1-pβ-kM（x，u-λ）>S‖M（x，u-λ）‖SymboleB@ 。因此，若λλ0且x∈Ω，使得λ11-pω（x）SymbolcB@ s0，则有： M（x，u-λ）（（u-λ）p-f（u-λ））SymbolcB@ S‖M（x，u-λ）‖SymboleB@ <λp1-pβ-kM（x，u-λ） 去掉绝对值，两边再同乘λ，则等价于： λ11-p（M（x，u-λ）ωp-β）<λM（x，u-λ）（f（u-λ）-k） 即得到（2.3）成立，因此当λλ0时，u-λ为方程（1.1）的一个下解。 第二步，寻找上解。 令e：=T（1），即-Δe=1。定义u-λ：=t（e+1）（t>0），则u-λ是方程（1）的一个上解，当且仅当 -Δu-λλm（x）（f（u-λ）-k）+n（u-λ） 即-Δ[t（e+1）]λm（x）（f（t（e+1））-k）+n（t（e+1）） 又因为： λm（x）（f（t（e+1））-k）λm（x）（f（t（e+1））-k）+n（t（e+1）） 所以当tλm（x）（f（t（e+1））-k）（x∈Ω）时，即 1λm（x）f（t（e+1））-kt（e+1）（e+1），（2.5） u-λ是方程（1.1）的一个上解。由于f在无穷远处满足次线性性条件，则lims→SymboleB@ f（s）s=0，即对给定的ε>0，存在s1>0，使得对s>s1，有f（s）-ks<ε。特别地，由于e（x）∈P0，则e（x）>0，若t>s1，则有t（e（x）+1）>t>s1，f（t（e+1））-kt（e+1）<ε。因此，当t充分大时，我们可以得到（2.5）成立，若有必要，我们选择更大的t，使得λ11-pωSymbolcB@ t（e+1），即u-λSymbolcB@ u-λ（x∈Ω）。 我们可以得到，对于λλ0，方程（1.1）有一个正解uλ满足u-λSymbolcB@ uλSymbolcB@ u-λ。特别地，对x∈Ω，有uλ（x）u-λ（x）=λ11-pω（x），即limλ→SymboleB@ x∈Ωuλ（x）=SymboleB@ ，得证。 参考文献： [1]D.Costa，H.Tehrani，J.Yang，On?a?variational?approach?to?existence?and?multiplicity?results?for?semipositone?problems，Electron.J.Differential?Equations?2006，No.11，10p. [2]E.N.Dancer，J.Shi，Uniqueness?and?nonexistence?of?positive?solutions?to?semipositone?problems，Bull.London?Math.Soc.38（2006），10331044. [3]A.Castro，C.Maya，R.Shivaji，Nonlinear?eigenvalue?problems?with?semipositone?structure，Electron.J.Differ.Conf.5（2000），3349. [4]E.Lee，R.Shivaji，J.Ye，Subsolutions：a?journey?from?positone?to?infinite?semipositone?problems，Electron.J.Differ.Equ.Conf.17（2009），123131. [5]A.Castro，J.B.Garner，R.Shivaji，Existence?results?for?classes?of?sublinear?semipositone?problems，Results?Math.23（1993），214220. [6]U.Kaufmann，H.R.Quoirin.Positive?solutions?of?indefinite?semipositone?problems?via?subsuper?solutions，Differential?and?Integral?Equations.31（7/8）（2018），497506. [7]Y.Du，Order?structure?and?topological?methods?in?nonlinear?partial?differential?equations.Vol.1.Maximum?principles?and?applications，World?Scientific?Publishing?Co.Pte.Ltd.，Hackensack，NJ，2006. 作者簡介：符谦（1994—?），男，汉族，四川达州人，硕士研究生，主要从事偏微分方程研究。 |
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