再谈“反函数”

    白祥福

    【摘 要】初等数学中反函数的概念既重要但又不容易深入理解掌握，部分同学更是一知半解。这往往影响对函数及相关知识的深入学习。在此结合以下一些具体例子或命题，采用对比和联系的方法，再谈谈反函数。

    【关键词】函数；反函数；单调函数；一一对应；奇偶函数

    【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）04-0105-01

    1 反函数的基本知识

    1.1 反函数的定义

    设函数，它的定义域为D，值域为M，如果对于值域M中的任意一个值，都能由确定D中唯一的值与它对应，由此得到以为自变量的函数叫做的反函数，记作。在习惯上，自变量用表示，函数值用表示，所以又将它改写为。

    1.2 反函数的一些性质或结论

    （1）互为反函数，即；

    （2）的定义域D和值域M分别是其反函数的值域和定义域，通俗的说就是“交换了”；

    （3）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称；

    （4）并非所有的函数都有反函数，函数存在反函数的充要条件是：函数的定义域与值域是一一对应；简单来讲：一一对应就能确定反函數。

    （5）分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数。

    2 关于反函数，再作如下讨论

    （1）函数没有反函数。函数

    有反函数.

    说明：函数满足一一对应，有反函数。

    （2）函数有反函数

    函数有反函数。

    说明：某些周期函数，在不同的范围内，只要一一对应，都有反函数，但其反函数的解析式不同。

    （3）以下几个函数，函数及函数等都有相同的反函数，

    且其解析式都是

    说明：一些函数（主要是周期函数）虽然不同，但它们可以有相同的反函数。

    （4）单调函数一定有反函数，但不能说有反函数的函数一定单调。

    如有反函数，但函数不单调（读者思考）

    说明：单调函数的反函数也是单调函数，且它们同增同减；如果初等函数是严格单调的，就有反函数；只要函数在定义域的不同区间内是单值对应的（不一定是单调），就有反函数（这些请读者思考）

    （5）设函数有反函数那么

    1）在上成立；

    2）在上成立；

    3）在上成立。

    例子：则反函数为可验证。

    说明：若函数有反函数，则其满足置换对称性。

    （6）如果是奇函数，则其反函数也是奇函数；但与其反函数不能都是偶函数。读者可举简单例子验证。

    （7）若函数的图像与它的反函数的图像有交点，但交点不一定在直线上。

    如函数与函数互为反函数，且它们的图像有无数多个交点，但这些交点都不在上。另一方面，若函数的图像与有交点，则这些交点也都是其反函数的图像与直线的

    交点。以上讨论，读者都可以再举一些简单例子加以理解，从而加深对反函数知识的全面深入的掌握，为反函数及其在其它方面的应用打下坚实的基础。