山重水复疑无路 “边角互化”来帮助

2024.10.10

吴凯江丽莉李娇娇

[摘要]解三角形的题目是历年高考的重点内容，掌握好这一类题型的解法对于考生来讲至关重要

[关键词]边角互化;正弦定理;余弦定理;解题策略

[中图分类号]

G633. 6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（2020）17-0017-02

大家都知道，正弦定理和余弦定理是高中数学非常重要的两个定理，属于解三角形这一章节的教学内容，也是高考数学必考内容之一.但是对于很多高一学生来讲，在如何合理使用正弦定理和余弦定理解题这问题上，会有很多疑虑，到底是要“边化角”还是“角化边”呢？如何选择才能实现“边角互化”从而快速解题呢？

[引例]在三角形△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bsin 2A= asin日，求角A. `

在解三角形中，既有边又有角的表达式，我们统称为边角混合式.我们通常的方法就是利用正弦定理，实现“边角互化”，即“边化角”或“角化边”.

由正弦定理可知a= 2RsinA，b=2RsinB，∴sin Bsin 2A=sinA sinB，又∵sinB>0∴sin 2A=sinA.即2sinAcosA=sinA，又∵sinA>0，∴cosA=1/2，即A=60°.

利用“边化角”的方法，将表达式变成全角的模式，通过计算相应角度的三角函数值，从而确定其大小.

我们也可以利用二倍角公式可得2bsin AcosA=asinB，由正弦定理可知sinA=a/2R，smB=B/2R，即2bacosA=ab，则cosA=1/2，即A=60°.

这样就可以利用“角化边”达到化简的目的，殊途同归.

那么，是不是所有的题目都是可以采用两种解法来解题呢？哪种方法更加简单呢？

一、解题策略初探

[例1]在三角形△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2B=2sinAsinC，且a=b，求cosB.

分析：若用角，根据三角形内角和关系可知sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，再代入平方，运算太大，不可行.若考虑a=b得A=B，即sin A=sin日，由sin2B= 2sin Asin C可得sinB=2sin C，考虑角度关系不行.故我们考虑用边，由正弦定理得b2= 2ac，又a=b，则b=2c，再结合余弦定理，可得

此题明显“角化边”为宜，联系余弦定理求cosB，正为所求，方便有效.

分析：本题的关系式有很多解决的可能性，但如何实现“边角互化”，确实有很大的困难.

通过上述两例我们发现，解法不能固化，有时用角，有时用边.因此，我们需要根据已知条件“具体问题具体分析”，恰当选择方法解题.

二、面向高考的解题策略研究

[例3]（2016年浙江高考第18题第1问）在三角形△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB.证明：A=2B.

做到这一步，很多学生的解题思路就可能被卡住了，虽然得到了一个关于三边a，b，c的方程，但是对于要证明的结论而言好像并无必然联系.这是最直接的想法，但是也是最没有原则的想法.

对于②式的化简显然是相当烦琐的，笔者不建议大家去尝试化简它的.

思路3由正弦定理“边化角”，用角的关系来解决问题，解题的思路很自然，运算量也不大，连贯性好，这是正解.

本题主要利用正弦定理实现“边化角”，然后利用两角差的余弦公式转化为角的关系求解.

从近年的高考真题来看，“边化角”应该是占据主导型.我们可以这样认为，角的关系是高中数学的核心内容，这也应该是考试的重点考查方向.

[参考文献]

[l]曾敏“萬法归宗”：例谈三角形的边角互化问题[J]数学学习与研究，2016（5）：134

[2]陈庆宝探究边角互化在解三角形问题中的作用[J]数理化学习（高中版），2016（3）：39

（责任编辑黄桂坚）