一堂“高斯算法”探究课实录与反思

    时花

    

    

    [摘要]对高斯算法进行了合理的延伸、探究，能让学生体验探究之乐，提高学生探究能力

    [关键词]高斯算法;探究课;实录;启示

    [中图分类号]

    G633. 6

    [文献标识码] A

    [文章编号] 1674-6058（2020）17-0001-02

    在日常教学中，我们发现，教师的备课不是上课的“脚本”，我们应根据学情，根据教学大纲不断调整，这样才能上出能让学生“心动”的好课，笔者就曾经遇到一回，为此撰文如下，与大家共享.

    一、问题背景

    笔者有幸听了苏教版七年级上册第一章《我们与数学同行》第1.2节《活动思考》的一节公开课.在创设情境部分，教师出示了德国数学家高斯对于正整数从1加到100的巧妙算法，学生大为惊讶，梦想自己也能有新发现.为了让学生一试身手，笔者对高斯算法进行了合理地延伸、开发，安排了一节探究课，让学生体验探究之乐.

    二、探究之旅

    第一站 高斯算法与数列

    [例1]用字母n分别表示下面各数列第n项及前n项的和：

    （I）l、3、5、7、9、…;

    （2）1、5、9、13、17、…;

    （3）1、2、4、7、11、16、….

    数列（1），学生很快发现它们全是奇数，既然是奇数，那么第n项就是2n-l.如何求前n项的和？有学生发现了以下解法：

    “还有没有其他算法呢？”笔者接着启发学生.看着学生一时找不到突破口，笔者提示：这个数列按从小到大进行排列，若将数列从大到小进行排列，找找看有什么新发现？学生很快找到以下算法：

    看着学生学习热情高涨，笔者又提出了数列（2），学生很快发现，该数列中彼此相邻的两个数的差距都是4，因此，这数列可以表示为1、l+lx4、1+2x4、1+3x4、1+4x4、…、1+4（n-l），所以第n项就是4n-3，前n项

    没有翻不过的高山，没有趟不过的大河.只要努力，就可以攻克更难的问题.接着，笔者又出示了数列（3），提问学生：你们有什么发现？师生讨论后发现相邻两数的差距依次多1，数列（3）可以分解如下：

    实际上，上述计算分别应用了倒序相加法及拆项重组法，学生在步步深入的问题中收获颇丰.

    第二站高斯算法与几何计数

    [例2]如图1，线段上有3个点时，线段共有3条;如图2，线段上有4个点时，线段共有6条;如图3，线段上有5个点时，线段共有10条.

    （1）当线段上有6个点时，线段共有多少条？

    （2）当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用n的代数式表示）

    （3）当n=100时，线段共有多少条？

    解析：當线段上有3个点、4个点、5个点时，我们可以一个一个地数出，当线段上有100个点、n个点时就不能一个一个地数出了，必须找出其中的规律来.通过下面的列表，学生发现：

    [例3]用火柴棒摆出下列一组图形：

    （1）填写下表：

    （2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形中的火柴棒数;（用含n的代数式表示）

    （3）如果某一图形共有2012根火柴棒，你知道它是第几个图形吗？

    解析：（l）第一个图形中火柴棒数=2+5=7，第二个图形中火柴棒数=2+5+5=12，第三个图形中火柴棒数=2+5+5+5 =17;故答案为：7;12;17;

    （2）由（1）的规律可知，第n个图形的火柴棒根数=2+5n：

    （3）由题意可知2012=2+5n，解得n=402，所以，是第402个图形.

    经过解决上述三个问题，学生能很快解决以下课本探究问题：

    有一批大小相同的呈正方体形的物件，按照上面少、下面多的方式，堆放于仓库的墙角处.从上至下，第一层放1件，第二层放3件，第三层放6件……各层放置的平面图形如下：

    如果这堆物件一共堆放了10层，则第10层放有

    件这样的物件;这一堆共有

    件这样的物件.

    三、教学启示

    通过系列问题的探究，一方面使学生看到了数学在计数方面独特的价值，另一方面学生在解决生活中的问题后，感到无比的快乐，增加了学生对学习数学的兴趣，这样学生学到的数学才是有价值的.进行归类教学，通过多题归宗的方法，使学生能看到问题的本质，做到触类旁通.同时，问题的设计是递进式的，符合人认识问题的规律，在问题的聚与散过程中，培养了学生的发散思维，启迪了学生的创新意识，使学生享受着数学探究带来的快乐.

    （责任编辑 黄桂坚）