导体棒在匀强磁场中运动模型分析与拓展应用

    焦伟

    

    

    

    [摘要]导体棒在磁场中的运动问题是高中物理的重要內容，內容比较抽象，相关题型可以涉及的知识很多，题型变化多样，能很好地考查学生的综合能力，长期受到高考命题者的青睐。在近几年的高考物理压轴题中，导体棒在磁场申的运动问题较少出现，按高考重点知识轮回的可能性，导体棒在磁场中的运动问题值得关注。

    [关键词]导体棒，运动模型，拓展应用

    [中图分类号]G633.7[文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）11-0031-04

    在电磁感应现象中，导体棒切割磁感线会产生电动势，当形成闭合电路时，回路中有感应电流，通电导体棒会受到安培力作用。当导体棒所处的物理环境发生改变时，导体棒的运动形式具有明显的差异性，形成不同的物理模型。这些不同的物理模型蕴含着丰富的物理思想与方法，可以相应地运用动力学、动量、能量等方面知识来解剖模型的结构，进而对模型进行拓展与重组。

    一、导体棒在磁场中运动模型分析

    1.模型构成

    如图1所示，两平行光滑的金属导轨ef、gh位于同一水平面上，相距L，左端与一电阻R相连;整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。一质量为m的导体棒cd置于导轨上，其电阻为r，在滑动过程中始终与导轨垂直并保持接触良好。重力加速度大小为g，导轨的电阻和空气阻力可以忽略。

    2.模型基本分析思路

    在处理这类物理模型时，需要将电磁感应定律、电路规律与动力学规律相结合，按照一定的顺序进行动态分析，具体如图2所示。

    导体在安培力或其他外力作用下，运动状态可以分为两类，其一为非平衡态向平衡态的动态转化，其二为非平衡状态，可能为匀变速直线运动、简谐运动等。

    3.模型分析

    第一类运动状态：由非平衡态向平衡态转化

    导体棒在磁场中由非平衡态向平衡态转化的问题涉及的知识较多，分析解答这些问题时，需要根据具体问题，运用相应的知识规律进行分析解答。

    （1）用动力学知识分析

    问题1.若给导体棒施加一个水平向右的恒力F，使之由静止开始沿导轨运动，则导体棒的加速度怎么变化？

    分析：假设导体棒速度为v时，产生的电动势为E=BLv，方向由d→c，形成如图3所示的等效电路。

    这类问题除了可以用上述动力学观点分析外，还可以用动量观点分析。

    （2）用动量知识分析

    问题2.在问题1中，假设经过一段时间t，导体棒的速度为v（vmax），那么通过导体棒的电荷量g为多少？導体棒运动的位移。为多大？

    分析：对导体棒，取运动方向为正方向，由动量定理可知：

    第二类状态：非平衡态

    导体棒处于非平衡态时，涉及的知识点也很多，题型变化很多，与上面的第一类状态相比，处于非平衡态的导体棒运用问题（如导体棒一直做变加速运动、简谐振动等），数学计算要求更高一些，试题的难度更大。

    问题4.若给导体棒施加一个水平向右的力F，使之由静止开始沿导轨做匀加速运动，加速度为a，则力F随时间怎样变化？导体棒的动量与能量如何变化？

    问题5.若使导体棒做简谐振动，周期为T，偏离平衡位置的最大位移为xmax，则速度v随时间怎样变化？力F随时间怎样变化？产生的电流i随时间怎样变化？

    这表明F是一个周期性变化的外力，周期也为T。

    二、导体棒在磁场中运用模型拓展应用

    导体棒在磁场中的运动问题是高中物理的重要内容，也是高考考查的热点，在2014-2019年，各地高考物理试题均涉及单导体棒模型。各地高考题在考查该模型时，一般是通过对基本模型的适当改变，要求考生从多角度分析导体棒的力学与电学特征，进而深度考查考生的力电综合分析能力。

    关于第一类状态问题，有一些试题是模型的直接应用，如2014年北京卷、2015年北京卷;有一些试题则是设置不同的物理条件，如在2015年海南卷中改变恒力的来源;2014年江苏卷与2015年四川卷中使导轨倾斜或竖直放置;2016年全国卷Ⅱ中设置导轨有摩擦;2018年江苏卷中改变磁场的空间位置;2014年山东卷中改变磁场的大小;等等。还有一些试题改变研究对象，如在2014年上海卷、2015年安徽卷、2015年广东卷中，使导体棒切割磁感线的有效长度发生改变;2017年新课标全国卷Ⅱ与2019年北京卷中不同导体棒切割磁感线，2016年全国卷I中多个导体棒形成连接体;等等。而在2017年江苏卷中，则是把常见的电磁阻尼转化为电磁驱动。

    关于第二类状态问题，试题主要是考查图像问题，如在2016年四川卷中，涉及v-t图像、F-t图像、i-t图像、U-t图像、P-t图像，在2019年新课标全国卷Ⅱ中有多个i-t图像。

    实际上，还可以将这类电阻一导体棒模型拓展到其他模型，如电源一导体棒模型，电容器一导体棒模型、双导体棒模型等。

    1.含电源模型

    [例1]如图5所示，水平放置的光滑导轨MN、PQ上放有长为L、电阻为R、质量为m的导体棒ab，与导轨左端接有内阻为r、电动势为E的电源组成回路，整个装置放在竖直向下的匀强磁场B中，导轨电阻不计且足够长，并与开关S串联。当闭合电键后，试分析导体棒的运动情况与能量的转化情况。

    分析：

    （1）运动情况

    2.含电容模型

    [例2]光滑U型导轨宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现用平行导轨的水平恒力F拉动导体棒，使棒沿框架由静止开始运动，如图6所示，导体棒的电阻不计。试分析导体棒的运动情况与能量转化情况。

    3.双导体棒模型

    [例3]两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图7所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，试分析两棒运动情况。

    在2017年北京卷中，试题将电阻一导体棒与电源一导体棒模型进行对比，分析电动机与发电机的工作原理。而在2016年天津卷中，试题重在分析电容器的充放电问题，并由此分析导体棒的运动问题与能量问题。另外，还有不少试题研究了双导体棒问题，如2014年天津卷、2018年全国卷Ⅱ、2019年新课标全国卷Ⅱ、2019年新课标全国卷Ⅲ、2019年天津卷等，试题大多属于综合类问题，有的是图像问题，有的是动力学问题，有的是动量与能量问题。

    三、高考考查预测

    由上述分析可以推测，对于导体棒模型，今后可能考查的方向有以下几点：

    （1）改变磁场，让其方向不再拘泥于竖直方向，强化学生对空间受力的分析能力，或者设置有间隔的匀强磁场，组合成多种运动，强化学生分析复杂运动的能力。

    （2）改变导体棒，从单个到多个，从伪双导体棒到真双导体棒，强化学生对研究对象的选择能力，促进学生分析研究对象之间的关联，强化事物之间的相互关系意识。

    （3）数形结合，用图像来表达物理信息，增强形象性与直观性，强化学生的看图、识图、用图的意识，提升学生解决问题与表达问题的能力。