例析构造全等三角形解题技巧

    何蕾

    

    

    [摘要]全等三角形是初中数学的重要知识，研究全等三角形的构造，运用全等三角形解题，能够拓展学生知识面，提高学生的解题能力。

    [关键词]全等三角形;解题技巧;构造

    [中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0024-02

    全等三角形是初中数学的重要知识，研究构造全等三角形的解题技巧非常必要。

    一、构造全等三角形的解题思路

    构造全等三角形的解题思路是根据“全等三角形对应边相等、对应角相等”这一性质，结合SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角）等判定定理，从题设条件中提取所需内容，进行合理论证。

    二、构造全等三角形的解题原则

    1.熟悉化原则

    构造全等三角形解题需要在明确题设条件的基础上，寻找已知数据与未知量间的联系，观察题设条件及所给图形的特征，分析结论与条件间的联系。

    2.等价性原则

    构造全等三角形解题，首先需要根据题设条件提取与三角形知识相关的问题，利用代数方法，将其转换为一种与其等价的新的表现形式。

    3.相似性原则

    相似性原则要求学生主动寻找、挖掘与结论相关的条件，并借鉴以往熟悉的式子，产生联想，并在两者间建立联系，通过一系列思维活动，获得恰当的全等三角形的图形模型。

    三、构造全等三角形的解题技巧

    1.中线法构造全等三角形

    中线法构造全等三角形主要是通过一条中线，构造全等三角形，并将条件转化至一个三角形内，简化解题步骤，保证全等三角形问题的有效解决。

    2.利用平行线构造全等三角形

    在解题过程中，有时为证明线段、角相等，会先证明其所在三角形全等，由于多数题目题设条件较分散，无法确定题设条件与问题的联系，此时，可以利用平行线构造全等三角形，降低题目解析难度。

    3.对称法构造全等三角形

    对称法是构造全等三角形的一种常用方法，主要是利用角平分線所在直线作对称轴，沿对称轴进行三角形翻折，从而获得全等三角形，常用的构造方法有补短法和截长法。

    四、拓展应用

    在构造全等三角形的基础上，由三角形判定条件——平行于三角形一边的直角截三角形的两边或延长线获得的三角形，与所截取的三角形相似，根据三角形中位线，或者直接添加平行线的方式，可以构造相似三角形。

    [例3]在圆内接四边形BCDF中，证明BC·DF+CD·BF=BD·CF。

    分析：这是典型的线段等式证明题，一方面，可以依据代数恒等式证明方式，利用加法构造的方式，从左至右进行推导论证，即设置左边两项含有公因子线段_厂，则可设BC·DF=fx，CD·BF=fy，且fx+fy=fe，因此，e=x+y，由上述式子可将线段e划分为x、y两段，随后通过判定内分点Ⅳ在线段e中未知，可以得出BC·DF=fx，BC/f=x/DF，依据上述比例式，可以通过构造以BC、x两线段构成三角形及以f、DF构成的三角形相似，结合相似三角形性质，可以确定内分点Ⅳ位置，随后直接得出上述比例式相等。