在高中数学中渗透“解题差异论”的实践研究
罗增儒教授在文[1]中提出了“解题差异论”，他认为解题的过程就是消除已知（条件）与未知（结论）之间差异的过程.消除的方向可以是化已知（条件）为未知（结论），也可以是化未知（结论）为已知（条件）.消除的内容，宏观上包括：消除一般与特殊之间的差异，消除整体与局部之间的差异，消除数与形之间的差异，消除动与静之间的差异，消除曲与直之间的差异，消除高与低之间的差异，消除多与少之间的差异等等；微观上包括：消除题目中所出现元素的差异，消除元素间所存在的数量特征的差异，消除数学对象的关系特征、位置特征的差异等.[1]
在三角函数的实际教学中我们发现，虽然公式多，知识点也多，但课本里的知识点是不难的，很多学生听得懂，看得懂，就是不会做.曾有学生说，自己已经这么用功了，公式也记得很熟了，但在解题时，就是不会，不知公式该如何用.常常拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，在考试中有些学生虽然最终做出了，但是在思考的时候走了弯路花费了大量时间，这显然不利于时间紧迫的数学考试.笔者认为主要原因是不会找种种差异，或见到差异不能作出反应.或是不善于把目标差异的逼近积累起来.
笔者结合理论在高三复习中进行实践，收到了比较好的效果，下面通过归类说明如何在三角函数中渗透“解题差异论”.
1辨析边角的差异
例1（2016年高考全国卷乙）△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.（1）求C；
分析我们可以观察到已知的等式中有边有角，为了消除这种差异，我们可以尝试化边为角，当然也可以化角为边.
解法一：由已知及正弦定理得，
2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
2cosCsin（A+B）=sinC，故2sinCcosC=sinC.
可得cosC=12，所以C=π3.
法二：由余弦定理可得，2a2+b2-c22ab（aa2+c2-b22ac+bc2+b2-a22cb）=c，
化简整理得，a2+b2-c2=12ab，即C=π3.
评注按照“解题差异论”的观点是消除差异，具体到题目中我们可以把式子统一化为角或者边.
例2（2011年高考全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A-C=90°，a+c=2b.求C.
分析题目条件中有边a，b，c，和角A，B，C，而目标只有C，所以消除题设与目标的边角差异是解题关键，为此先化边为角再消去A，B.
解因为A-C=90°，所以sinA=sin（90°+C）=cosC，因为a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，sinA+sinC=2sin（A+C），cosC+sinC=2sin（90°+2C），即cosC-π4=cos2C.因为A，B，C是△ABC的内角，A-C=90°，所以0°0，所以C-π4=2C或C-π4=-2C，所以C=π12.
评注今年的高考题这种类型很多，如果考生脑海中有这种理论作为指导，则可以大大缩短思考时间，迅速解题.如：
（2016年四川理科）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa+cosBb=sinCc.
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2-a2=65bc，求tanB.
（2016年浙江）（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b+c=2acosB.
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=a24，求角A的大小.
2辨析函数名的差异
例3（2015年广东）已知tanα=2.
（1）求tan（α+π4）的值；
（2）求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.
分析我们只研究第二问.
（2）已知的是正切，而要求的是正、余弦，按照“解题差异论”的观点是消除差异，具体到题目中我们可以把所求的式子统一化为正切，然后代入已知即可.或者把已知化为正余弦的关系式，然后代入所求即可.于是就马上得到了两种解法.
解法一：sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1
可得
4cos2α4cos2α+2cos2α-2cos2α=44=1.
评注已知是正切，目标是关于正余弦的齐次式，就可以利用“弦化切”或者“切化弦”的消除差异的方法来求解.能识别这种差异，常常有助于找到问题的切入口，迅速解题.
例4（2016年江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为
分析不少学生拿到这题，不知从哪里下手，完全没有思路.事实上，我们观察到已知与所求中函数名的差异，可以尝试消除这种差异.
解由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（1），由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0，cosC>0，在（1）式两侧同时除以cosBcosC可得
tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=
-tanB+tanC1-tanBtanC（2），则tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得
tanAtanBtanC=-2（tanBtanC）21-tanBtanC，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，由（2）得1-tanBtanC<0，解得t>1.
tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t，1t2-1t=1t-122-14，由t>1得0>1t2-1t≥-14，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+2，tanC=2-2，tanA=4（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角.
评注目前高考中此类题型很多，如：
（2016年高考全国卷丙）若tanα=34，则cos2α+2sin2α=（）
A.6425B.4825C.1D.1625
（2016年山东理科）（16）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA，
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值.
3辨析角的差异
例5（2012年江苏卷）设α为锐角，若cosα+π6=45，则sin2α+π12的值为.
分析不少学生拿到题目后，直接把sin2α+π12展开或者把cosα+π6展开，然后就发现没有办法做出来.事实上，我们分析已知与所求之间角的差异，可以尝试把α+π6看成一个整体，把sin2α+π12里的2倍角提取出来消除差异，
即sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α+π6-π4.
解由条件得sinα+π6=35，从而sin2α+π6-π4=2425，cos2α+π6-π4=2×1625-1=725，
从而sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α+π6-π4=2425×22-725×22=17250.
例6[2]（2008年山东卷）已知cosα-π6+sinα=435，则sinα+7π6的值是（）.
A.-235B.235C.-45D.45
分析题目中有α-π6，α+7π6的三角形式，而要求的是α+7π6的正弦，这是差异.注意到π6，7π6都是特殊角，因此可以将α-π6，α+7π6的三角函数化成α的三角函数形式.
解cosα-π6+sinα=32cosα+32sinα=435，12cosα+32sinα=45，sinα+7π6=-sinα+π6=-32sinα+12cosα=-45.
评注通过观察差异，将α-π6，α+7π6的三角函数化成α的三角函数形式，这是求解本题的关键.
4辨析次数的差异
例7（2014年高考山东卷）函数y=32sin2x+cos2x的最小正周期为 .
解y=32sin2x+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin2x+π6+12，所以T=2π2=π.
评注我们容易观察发现函数表达式前后存在次数的差异，因此可以把前面的升幂或者后面降幂，显然后面的降幂比较容易，从而消除差异.
例8（2014年高考重庆）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=8.
（Ⅰ）若a=2，b=52，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC，且△ABC的面积S=92sinC，求a和b的值.
解析（Ⅰ）cosC=-15，我们只研究第（Ⅱ）问.
我们发现已知中sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC次数的差异，可以考虑通过降幂来消除这种差异，由sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC可得：
评注我们在分析差异时，也要考虑消除了这个差异，会不会引起新的差异？当然我们允许产生新的目标差异，但总趋势应是缩小目标差异的.
“解题差异论”可以说就从分析目标差异入手，向着减少目标差的方向前进.我们主要是从问题的条件和结论中出现的数量特征、关系特征、位置特征去寻找目标差异.一旦找出题目的目标差就主动做出减少目标差的反应，目标差随着解题的推进时刻发生着变化，因此减小目标差的调节要一次一次地发挥作用，这需要时刻去发现和寻找目标差，从而最终达到减少目标差的目的.以差异分析为钥匙，循序渐进地打开解题思路之门，真正做到让解法来的更自然些[3].
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.
[2]耿道永.运用差异分析解决三角问题[J].高中生之友，2008（11）：28-31.
[3]耿合众.差异分析：让解法来得自然些[J].中学数学教学参考，2015（29）：33-34.
作者简介李晓波，数学专业硕士研究生，广东惠州学院校外指导老师，广东教育学会会员，
在三角函数的实际教学中我们发现，虽然公式多，知识点也多，但课本里的知识点是不难的，很多学生听得懂，看得懂，就是不会做.曾有学生说，自己已经这么用功了，公式也记得很熟了，但在解题时，就是不会，不知公式该如何用.常常拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，在考试中有些学生虽然最终做出了，但是在思考的时候走了弯路花费了大量时间，这显然不利于时间紧迫的数学考试.笔者认为主要原因是不会找种种差异，或见到差异不能作出反应.或是不善于把目标差异的逼近积累起来.
笔者结合理论在高三复习中进行实践，收到了比较好的效果，下面通过归类说明如何在三角函数中渗透“解题差异论”.
1辨析边角的差异
例1（2016年高考全国卷乙）△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.（1）求C；
分析我们可以观察到已知的等式中有边有角，为了消除这种差异，我们可以尝试化边为角，当然也可以化角为边.
解法一：由已知及正弦定理得，
2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
2cosCsin（A+B）=sinC，故2sinCcosC=sinC.
可得cosC=12，所以C=π3.
法二：由余弦定理可得，2a2+b2-c22ab（aa2+c2-b22ac+bc2+b2-a22cb）=c，
化简整理得，a2+b2-c2=12ab，即C=π3.
评注按照“解题差异论”的观点是消除差异，具体到题目中我们可以把式子统一化为角或者边.
例2（2011年高考全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A-C=90°，a+c=2b.求C.
分析题目条件中有边a，b，c，和角A，B，C，而目标只有C，所以消除题设与目标的边角差异是解题关键，为此先化边为角再消去A，B.
解因为A-C=90°，所以sinA=sin（90°+C）=cosC，因为a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，sinA+sinC=2sin（A+C），cosC+sinC=2sin（90°+2C），即cosC-π4=cos2C.因为A，B，C是△ABC的内角，A-C=90°，所以0°
评注今年的高考题这种类型很多，如果考生脑海中有这种理论作为指导，则可以大大缩短思考时间，迅速解题.如：
（2016年四川理科）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa+cosBb=sinCc.
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2-a2=65bc，求tanB.
（2016年浙江）（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b+c=2acosB.
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=a24，求角A的大小.
2辨析函数名的差异
例3（2015年广东）已知tanα=2.
（1）求tan（α+π4）的值；
（2）求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.
分析我们只研究第二问.
（2）已知的是正切，而要求的是正、余弦，按照“解题差异论”的观点是消除差异，具体到题目中我们可以把所求的式子统一化为正切，然后代入已知即可.或者把已知化为正余弦的关系式，然后代入所求即可.于是就马上得到了两种解法.
解法一：sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1
可得
4cos2α4cos2α+2cos2α-2cos2α=44=1.
评注已知是正切，目标是关于正余弦的齐次式，就可以利用“弦化切”或者“切化弦”的消除差异的方法来求解.能识别这种差异，常常有助于找到问题的切入口，迅速解题.
例4（2016年江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为
分析不少学生拿到这题，不知从哪里下手，完全没有思路.事实上，我们观察到已知与所求中函数名的差异，可以尝试消除这种差异.
解由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（1），由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0，cosC>0，在（1）式两侧同时除以cosBcosC可得
tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=
-tanB+tanC1-tanBtanC（2），则tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得
tanAtanBtanC=-2（tanBtanC）21-tanBtanC，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，由（2）得1-tanBtanC<0，解得t>1.
tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t，1t2-1t=1t-122-14，由t>1得0>1t2-1t≥-14，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+2，tanC=2-2，tanA=4（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角.
评注目前高考中此类题型很多，如：
（2016年高考全国卷丙）若tanα=34，则cos2α+2sin2α=（）
A.6425B.4825C.1D.1625
（2016年山东理科）（16）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA，
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值.
3辨析角的差异
例5（2012年江苏卷）设α为锐角，若cosα+π6=45，则sin2α+π12的值为.
分析不少学生拿到题目后，直接把sin2α+π12展开或者把cosα+π6展开，然后就发现没有办法做出来.事实上，我们分析已知与所求之间角的差异，可以尝试把α+π6看成一个整体，把sin2α+π12里的2倍角提取出来消除差异，
即sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α+π6-π4.
解由条件得sinα+π6=35，从而sin2α+π6-π4=2425，cos2α+π6-π4=2×1625-1=725，
从而sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2α+π6-π4=2425×22-725×22=17250.
例6[2]（2008年山东卷）已知cosα-π6+sinα=435，则sinα+7π6的值是（）.
A.-235B.235C.-45D.45
分析题目中有α-π6，α+7π6的三角形式，而要求的是α+7π6的正弦，这是差异.注意到π6，7π6都是特殊角，因此可以将α-π6，α+7π6的三角函数化成α的三角函数形式.
解cosα-π6+sinα=32cosα+32sinα=435，12cosα+32sinα=45，sinα+7π6=-sinα+π6=-32sinα+12cosα=-45.
评注通过观察差异，将α-π6，α+7π6的三角函数化成α的三角函数形式，这是求解本题的关键.
4辨析次数的差异
例7（2014年高考山东卷）函数y=32sin2x+cos2x的最小正周期为 .
解y=32sin2x+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin2x+π6+12，所以T=2π2=π.
评注我们容易观察发现函数表达式前后存在次数的差异，因此可以把前面的升幂或者后面降幂，显然后面的降幂比较容易，从而消除差异.
例8（2014年高考重庆）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=8.
（Ⅰ）若a=2，b=52，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC，且△ABC的面积S=92sinC，求a和b的值.
解析（Ⅰ）cosC=-15，我们只研究第（Ⅱ）问.
我们发现已知中sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC次数的差异，可以考虑通过降幂来消除这种差异，由sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC可得：
评注我们在分析差异时，也要考虑消除了这个差异，会不会引起新的差异？当然我们允许产生新的目标差异，但总趋势应是缩小目标差异的.
“解题差异论”可以说就从分析目标差异入手，向着减少目标差的方向前进.我们主要是从问题的条件和结论中出现的数量特征、关系特征、位置特征去寻找目标差异.一旦找出题目的目标差就主动做出减少目标差的反应，目标差随着解题的推进时刻发生着变化，因此减小目标差的调节要一次一次地发挥作用，这需要时刻去发现和寻找目标差，从而最终达到减少目标差的目的.以差异分析为钥匙，循序渐进地打开解题思路之门，真正做到让解法来的更自然些[3].
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.
[2]耿道永.运用差异分析解决三角问题[J].高中生之友，2008（11）：28-31.
[3]耿合众.差异分析：让解法来得自然些[J].中学数学教学参考，2015（29）：33-34.
作者简介李晓波，数学专业硕士研究生，广东惠州学院校外指导老师，广东教育学会会员，
