课堂“数学思维”的概念分析与训练方法注
【摘要】数学教学的核心是促进学生思维的发展.教学中，教师要全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来.课堂教学中充分有效地进行思维训练，是数学教学的核心，它不仅符合素质教育的要求，也符合知识的形成与发展以及人的认知过程，体现了数学教育的实质性价值.
【关键词】课堂教学；数学思维；训练方法
依据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》和上海市二期课改精神，倡导“以学生为中心，以教师为主导”作用的教育理念，在数学课堂教学中，可以适当地放手让学生动手实践、自主探索、合作交流，在这种轻松的学习过程中，培养学生的创新意识和创新能力.可见，教学的主要任务不仅仅是传授知识给学生，更重要的是要发展学生的思维.我们必须在课堂教学活动中，创设有效的思维情境，营造和谐的教学氛围，使教学内容触及学生的情绪和意志领域，促使学生把学习活动变成自己的精神需要，从而达到培养学生品质，发展学生思维能力的目的.
数学思维训练教学模式探索关于数学思维训练的课堂教学，目前还处在实验探索中.但根据思维训练的目标与指导思想，以及广大教师多年来的探索研究，以问题为中心、以教材内容为素材、以思维训练为主线的课堂教学结构已初具雏形.依据数学思维的问题性特征，我们可将数学思维训练的课堂教学的基本模式概括为提出问题、展示新课、思维扩展.在这一模式中，教师是问题暴露、思维点拨、启迪和诱导者，学生是思维的主体，是知识的探索、发现和获取者.
1数学思维及数学思维能力
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动.其能力主要是：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质.数学思维论是思维科学的一个重要分支，它是构成数学课程论、学习论的灵魂.数学教材是以逻辑思维为主线，贯穿各个知识点.教学中培养学生能力的基础是发展学生思维，发展思维不可能脱离教学内容独立进行.因此，我们可以有理由认为，在数学教学中实施思维训练是教学思维论在教学实践中的体现.
2学生数学思维受阻的两大常见原因
2.1数学思想方法缺乏.
由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在.在教学中发现，学生一遇到从来没有看到过的题目，就傻眼了，不会运用以往学过的知识去解决新的问题，因此永远只是会解决旧问题，而不会解决新问题.
2.2思维惰性造成思维模糊.
思维模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性.学生往往遇到难题，不是等着老师讲解、就是请教家长和同学，就是不愿去独立思考，这是学生思维障碍的最普遍原因.
3数学思维训练的若干方法
学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和判断.这就要求教师在教学中关注学生思维能力的训练，可以从以下五种方法入手.
方法1情境引入法
创设问题情境，要具备有效性.问题是数学的“心脏”，是思维的起点.有问题才会有思考，思维是从问题开始的，但在创设中不要过于牵强附会，如一位青年教师在执教“平行四边形的判定”公开课时，设计了如下的引入：“同学们，唐僧师徒经过九九八十一难取得真经后，佛祖要奖励他们，在奖励之前，佛祖再考悟空.题目是：已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.你能替悟空解决这个问题吗？”，很明显，这位教师的情景创设，与问题本身毫无关联、牵强附会，是不妥的.巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情境，能够迅速集中学生注意力，激发学生的兴趣和求知欲.问题的提出，首先要从教材入手，寻找思维素材.其次是通过对教材内容的再加工，设计一些具有疑问性、思维性、说理性、扩散性等特点的问题，使学生产生认知冲突，进入思维角色，成为思维的主体.
方法2概念剖析法
在概念教学中，要体现训练思维的深刻性.思维的深刻性是指思维的抽象程度和逻辑水平及思维活动的深度，它集中表现在对事物的深刻理解和善于抓住事物的本质规律，它要求学生在思维活动中，能深入细致地考虑问题，探索解决问题的途径.如在双曲线的概念教学过程中，学生在已有椭圆概念的基础上，对双曲线的定义：“在平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于这两个定点间的距离）的动点的轨迹叫作双曲线.”的理解时，可提出：
1.定义中“平面内”可以去掉吗？（不可以，若去掉就在空间上考虑了）
2.如果把定义中“绝对值”三字去掉，其轨迹又是怎样呢？（双曲线的一支）
3.定义中括号内的条件“小于”改成“等于”，这时点的轨迹是什么呢？（两条射线）；若改成“大于”，这时点的轨迹又是什么呢？（无轨迹）
4.若定义中常数为0，则点的轨迹是什么呢？（线段的垂直平分线）.
这样，对概念多提几个问题，既帮助学生全面而准确地掌握概念，克服思维的表面化，又能引导学生善于观察问题和深刻地思考问题，从而实现思维的深化.
方法3空间模型法
探索研究的关键是学生的参与，思维操作的关键是激励学生进入积极的思维状态.如：立体几何的入门教学时，可以这样提问学生：6支长短相同的笔能摆成4个三角形吗？同学们试试看！由于学生受思维定势的影响，仅局限在一个平面内，无论如何也摆不出来.这时，他们就会产生疑问，真能组成4个三角形吗？从学生的眼神中可以看到他们强烈的求知欲望.这时教师可予启发：如果这6支笔不一定放在同一个平面内，竖起几支试试看，从而把学生的思维推向空间，很快就获得了成功.接着教师给出正四面体模型，引导学生认真观察.通过这样的入门设计，能有效地打破已有的只在一个平面上思维的界限，从而激发学生学习立体几何的欲望.
方法4过程渗透法
教学过程是知识的形成阶段，要关注学生思维的扩展.数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成的.学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往往会成为新知识思维形式的障碍，因此，教师首先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质变过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除思维活动的障碍，渡过思维操作的“关卡”，以实现思维发展.教师要切忌用自己的思维取代学生思维，要正确处理知识与思维的关系，即：“已有知识——思维——新知识”.知识是思维的基础，知识有助于思维，但不能取代思维.在这一环节的教学中，要注重学生思维潜力的挖掘，发挥其既是知识的产物、又是知识媒介的双重作用.
方法5信心激励法
增强学生学习恒心，有助于数学思维持续、稳定发展.恒心表现为学生是否具有坚定的意志和毅力，它是学生成才的关键，放弃就意味着失败，在新的课程中提出自主探索是一种重要的学习方式，让学生自觉地独立地应用已知的条件、思考存在的问题，找出解决问题的途径和方法，提出独特见解，使数学思维训练得以持续发展.这样学生学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、解决问题的过程.在这个过程中学生不断产生各种疑问、困难、障碍和矛盾，学生又不断发挥自己的聪明才智，克服困难、障碍，获取成果与方法.学生在反复地强化训练中，不断锻炼出自己良好的思维品质，为数学思维训练提供精神支持.
总之，学生思维能力的培养是一个长期的复杂过程，需要我们数学教师在日常的教学中精心设计，适时组织，充分发扬教学民主，才能取得一些成效.同时，我们中学教师要更新教育观念，在数学教学的意识上要重视学生的思维训练，在教学方法上要有利于学生创新思维能力的形成和发展，适应新的课程改革，使思维模式从求同转向求异，从单向转向多向，从单一转向综合，从封闭转向开放.因此，我们必须重视思维训练，为学生提供自由和谐、互相尊重的气氛，把学生培养成为具有创造性思维能力的开拓型人才.
作者简介邵红能，华东师大研究生毕业.已在科普人文期刊及专业期刊发表近100篇文章.参编《名校名师名卷：高考必考题型突破》、《高考1号：高三数学理科总复习》.多篇文章被中国人民大学书报资料中心《成长读本》、《高中数学教与学》全文转载，被武汉《情感读本》
【关键词】课堂教学；数学思维；训练方法
依据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》和上海市二期课改精神，倡导“以学生为中心，以教师为主导”作用的教育理念，在数学课堂教学中，可以适当地放手让学生动手实践、自主探索、合作交流，在这种轻松的学习过程中，培养学生的创新意识和创新能力.可见，教学的主要任务不仅仅是传授知识给学生，更重要的是要发展学生的思维.我们必须在课堂教学活动中，创设有效的思维情境，营造和谐的教学氛围，使教学内容触及学生的情绪和意志领域，促使学生把学习活动变成自己的精神需要，从而达到培养学生品质，发展学生思维能力的目的.
数学思维训练教学模式探索关于数学思维训练的课堂教学，目前还处在实验探索中.但根据思维训练的目标与指导思想，以及广大教师多年来的探索研究，以问题为中心、以教材内容为素材、以思维训练为主线的课堂教学结构已初具雏形.依据数学思维的问题性特征，我们可将数学思维训练的课堂教学的基本模式概括为提出问题、展示新课、思维扩展.在这一模式中，教师是问题暴露、思维点拨、启迪和诱导者，学生是思维的主体，是知识的探索、发现和获取者.
1数学思维及数学思维能力
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动.其能力主要是：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质.数学思维论是思维科学的一个重要分支，它是构成数学课程论、学习论的灵魂.数学教材是以逻辑思维为主线，贯穿各个知识点.教学中培养学生能力的基础是发展学生思维，发展思维不可能脱离教学内容独立进行.因此，我们可以有理由认为，在数学教学中实施思维训练是教学思维论在教学实践中的体现.
2学生数学思维受阻的两大常见原因
2.1数学思想方法缺乏.
由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在.在教学中发现，学生一遇到从来没有看到过的题目，就傻眼了，不会运用以往学过的知识去解决新的问题，因此永远只是会解决旧问题，而不会解决新问题.
2.2思维惰性造成思维模糊.
思维模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性.学生往往遇到难题，不是等着老师讲解、就是请教家长和同学，就是不愿去独立思考，这是学生思维障碍的最普遍原因.
3数学思维训练的若干方法
学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和判断.这就要求教师在教学中关注学生思维能力的训练，可以从以下五种方法入手.
方法1情境引入法
创设问题情境，要具备有效性.问题是数学的“心脏”，是思维的起点.有问题才会有思考，思维是从问题开始的，但在创设中不要过于牵强附会，如一位青年教师在执教“平行四边形的判定”公开课时，设计了如下的引入：“同学们，唐僧师徒经过九九八十一难取得真经后，佛祖要奖励他们，在奖励之前，佛祖再考悟空.题目是：已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.你能替悟空解决这个问题吗？”，很明显，这位教师的情景创设，与问题本身毫无关联、牵强附会，是不妥的.巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情境，能够迅速集中学生注意力，激发学生的兴趣和求知欲.问题的提出，首先要从教材入手，寻找思维素材.其次是通过对教材内容的再加工，设计一些具有疑问性、思维性、说理性、扩散性等特点的问题，使学生产生认知冲突，进入思维角色，成为思维的主体.
方法2概念剖析法
在概念教学中，要体现训练思维的深刻性.思维的深刻性是指思维的抽象程度和逻辑水平及思维活动的深度，它集中表现在对事物的深刻理解和善于抓住事物的本质规律，它要求学生在思维活动中，能深入细致地考虑问题，探索解决问题的途径.如在双曲线的概念教学过程中，学生在已有椭圆概念的基础上，对双曲线的定义：“在平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于这两个定点间的距离）的动点的轨迹叫作双曲线.”的理解时，可提出：
1.定义中“平面内”可以去掉吗？（不可以，若去掉就在空间上考虑了）
2.如果把定义中“绝对值”三字去掉，其轨迹又是怎样呢？（双曲线的一支）
3.定义中括号内的条件“小于”改成“等于”，这时点的轨迹是什么呢？（两条射线）；若改成“大于”，这时点的轨迹又是什么呢？（无轨迹）
4.若定义中常数为0，则点的轨迹是什么呢？（线段的垂直平分线）.
这样，对概念多提几个问题，既帮助学生全面而准确地掌握概念，克服思维的表面化，又能引导学生善于观察问题和深刻地思考问题，从而实现思维的深化.
方法3空间模型法
探索研究的关键是学生的参与，思维操作的关键是激励学生进入积极的思维状态.如：立体几何的入门教学时，可以这样提问学生：6支长短相同的笔能摆成4个三角形吗？同学们试试看！由于学生受思维定势的影响，仅局限在一个平面内，无论如何也摆不出来.这时，他们就会产生疑问，真能组成4个三角形吗？从学生的眼神中可以看到他们强烈的求知欲望.这时教师可予启发：如果这6支笔不一定放在同一个平面内，竖起几支试试看，从而把学生的思维推向空间，很快就获得了成功.接着教师给出正四面体模型，引导学生认真观察.通过这样的入门设计，能有效地打破已有的只在一个平面上思维的界限，从而激发学生学习立体几何的欲望.
方法4过程渗透法
教学过程是知识的形成阶段，要关注学生思维的扩展.数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成的.学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往往会成为新知识思维形式的障碍，因此，教师首先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质变过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除思维活动的障碍，渡过思维操作的“关卡”，以实现思维发展.教师要切忌用自己的思维取代学生思维，要正确处理知识与思维的关系，即：“已有知识——思维——新知识”.知识是思维的基础，知识有助于思维，但不能取代思维.在这一环节的教学中，要注重学生思维潜力的挖掘，发挥其既是知识的产物、又是知识媒介的双重作用.
方法5信心激励法
增强学生学习恒心，有助于数学思维持续、稳定发展.恒心表现为学生是否具有坚定的意志和毅力，它是学生成才的关键，放弃就意味着失败，在新的课程中提出自主探索是一种重要的学习方式，让学生自觉地独立地应用已知的条件、思考存在的问题，找出解决问题的途径和方法，提出独特见解，使数学思维训练得以持续发展.这样学生学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、解决问题的过程.在这个过程中学生不断产生各种疑问、困难、障碍和矛盾，学生又不断发挥自己的聪明才智，克服困难、障碍，获取成果与方法.学生在反复地强化训练中，不断锻炼出自己良好的思维品质，为数学思维训练提供精神支持.
总之，学生思维能力的培养是一个长期的复杂过程，需要我们数学教师在日常的教学中精心设计，适时组织，充分发扬教学民主，才能取得一些成效.同时，我们中学教师要更新教育观念，在数学教学的意识上要重视学生的思维训练，在教学方法上要有利于学生创新思维能力的形成和发展，适应新的课程改革，使思维模式从求同转向求异，从单向转向多向，从单一转向综合，从封闭转向开放.因此，我们必须重视思维训练，为学生提供自由和谐、互相尊重的气氛，把学生培养成为具有创造性思维能力的开拓型人才.
作者简介邵红能，华东师大研究生毕业.已在科普人文期刊及专业期刊发表近100篇文章.参编《名校名师名卷：高考必考题型突破》、《高考1号：高三数学理科总复习》.多篇文章被中国人民大学书报资料中心《成长读本》、《高中数学教与学》全文转载，被武汉《情感读本》
