2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
甘志国
选择题共20小题.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（ ）
A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对
2.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，则下面四个结论中正确的个数为（ ）
（1）以a，b，c为边长的三角形一定存在
（2）以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在
（3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在
（4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三角形一定存在
A.2B.3C.4D.前三个答案都不对
3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（ ）
A.46B.53
C.62D.前三个答案都不对
4.函数
f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素，
0，若x为无理数，
则满足x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（ ）
A.12B.13C.14D.前三个答案都不对
5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ）
A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对
6.已知k≠1，则等比数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比为（ ）
A.12B.13C.14D.前三个答案都不对
7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（ ）
A.-116B.-132
C.-164D.前三个答案都不对
8.设a，b，c为实数，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的两个虚数根为x1，x2满足x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（ ）
A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对
9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（ ）
A.34650B.5940
C.495D.前三个答案都不对
10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.前三个答案都不对
11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（ ）
A.24 B.25 C.26 D.前三个答案都不对
12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（ ）
A.0 B.12 C.13 D.前三个答案都不对
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是（ ）
A.30 B.36 C.42 D.前三个答案都不对
14.已知正整数a，b，c，d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（ ）
A.101B.301C.401D.前三个答案都不对
15.三个不同的实数x，y，z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（ ）
A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对
16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A.[10，11）B. [11，12）
C. [12，13）D.前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的面积等于（ ）
A.83 B.93
C.123D.前三个答案都不对
18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（ ）
A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对
19.方程组x+y2=z3，
x2+y3=z4，
x3+y4=z5，的实数解组数为（ ）
A.5B.6C.7D.前三个答案都不对
20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平方和等于（ ）
A.0B.2C.4D.前三个答案都不对
参考答案
1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.又切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.
再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.又切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.
2.B.可不妨设0c.
结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.
结论（2）错误：2，3，4是一个三角形的三边长，但22，32，42不会是某个三角形的三边长.
结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.
结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1，
|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，
所以|a-b|+1≤|c-a|+1，
|b-c|+1≤|c-a|+1，
（|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.
3.解法1C.如图1所示，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得
24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，
242=r2+OE2，
把它们相加后，可求得OE=62.
4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1.
由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进而可得
x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56
所以满足题设的x的个数为11.
5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得方程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.
解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.
8.B.因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.
得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），
因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得
x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1
x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016
=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，
所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.
9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为
C412C48C443！=5775.
10.A.如图3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.
又因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得
DE·DF=AD2=BD·DC，
（5-2）（4+2）=2DC，
DC=9，
BC=BD+DC=2+9=11.
图3图411.B.如图4所示，设BK与小圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线.
由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.
又因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.
再由三角形角平分线性质，可得ALBL=AKBK，
可求得BL=25.
12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1，
得2f（0）+f（-1）=1，
2f（1）+f（0）=1，
2f（-1）+f（0）=1，
可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.
再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f（-2）=13.
图513.A.在图5所示的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三角形.
所以所求答案是3·9+93=30.
14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可.
而101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42），
所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B.
15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三个实数根.
由韦达定理，得x+y+z=3.
16.解法1C.设f（x）=4x+1，得
f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，
选择题共20小题.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（ ）
A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对
2.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，则下面四个结论中正确的个数为（ ）
（1）以a，b，c为边长的三角形一定存在
（2）以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在
（3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在
（4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三角形一定存在
A.2B.3C.4D.前三个答案都不对
3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（ ）
A.46B.53
C.62D.前三个答案都不对
4.函数
f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素，
0，若x为无理数，
则满足x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（ ）
A.12B.13C.14D.前三个答案都不对
5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ）
A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对
6.已知k≠1，则等比数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比为（ ）
A.12B.13C.14D.前三个答案都不对
7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（ ）
A.-116B.-132
C.-164D.前三个答案都不对
8.设a，b，c为实数，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的两个虚数根为x1，x2满足x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（ ）
A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对
9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（ ）
A.34650B.5940
C.495D.前三个答案都不对
10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.前三个答案都不对
11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（ ）
A.24 B.25 C.26 D.前三个答案都不对
12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（ ）
A.0 B.12 C.13 D.前三个答案都不对
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是（ ）
A.30 B.36 C.42 D.前三个答案都不对
14.已知正整数a，b，c，d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（ ）
A.101B.301C.401D.前三个答案都不对
15.三个不同的实数x，y，z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（ ）
A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对
16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A.[10，11）B. [11，12）
C. [12，13）D.前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的面积等于（ ）
A.83 B.93
C.123D.前三个答案都不对
18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（ ）
A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对
19.方程组x+y2=z3，
x2+y3=z4，
x3+y4=z5，的实数解组数为（ ）
A.5B.6C.7D.前三个答案都不对
20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平方和等于（ ）
A.0B.2C.4D.前三个答案都不对
参考答案
1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.又切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.
再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.又切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.
2.B.可不妨设0c.
结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.
结论（2）错误：2，3，4是一个三角形的三边长，但22，32，42不会是某个三角形的三边长.
结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.
结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1，
|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，
所以|a-b|+1≤|c-a|+1，
|b-c|+1≤|c-a|+1，
（|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.
3.解法1C.如图1所示，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得
24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，
242=r2+OE2，
把它们相加后，可求得OE=62.
4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1.
由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进而可得
x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56
所以满足题设的x的个数为11.
5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得方程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.
解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.
8.B.因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.
得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），
因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得
x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1
x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016
=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，
所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.
9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为
C412C48C443！=5775.
10.A.如图3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.
又因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得
DE·DF=AD2=BD·DC，
（5-2）（4+2）=2DC，
DC=9，
BC=BD+DC=2+9=11.
图3图411.B.如图4所示，设BK与小圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线.
由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.
又因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.
再由三角形角平分线性质，可得ALBL=AKBK，
可求得BL=25.
12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1，
得2f（0）+f（-1）=1，
2f（1）+f（0）=1，
2f（-1）+f（0）=1，
可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.
再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f（-2）=13.
图513.A.在图5所示的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三角形.
所以所求答案是3·9+93=30.
14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可.
而101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42），
所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B.
15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三个实数根.
由韦达定理，得x+y+z=3.
16.解法1C.设f（x）=4x+1，得
f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，
