两个含余弦函数的三角母不等式及其推论
黄兆麟
笔者最近得到两个含余弦函数的“三角母不等式”，然后利用它们给出一些有趣的三角子不等式，供读者欣赏.
定理1在任意△ABC中，若A≥B≥C，且实数x，y，z满足x≥y≥z及y≥0，则有
x+y+z≥2（xcosA+ycosB+zcosC）（*）
证当A≥B≥C时，此时就有
12-cosA≥0，同时12-cosC≤0，
又设不等式（*）左右之差为M，那么
M=2x（12-cosA）+2y（12-cosB）+2z（12-cosC）≥2y（12-cosA）+2y（12-cosB）+2y（12-cosC）=2y（32-cosA-cosB-cosC）≥0.
即定理1成立.当且仅当A=B=C=π3时不等式取等号.
以上证明过程用到了一个熟知的不等式cosA+cosB+cosC≤32.
与定理1完全类似，我们还可轻松证明如下类似的定理2（其证明略）.
定理2在任意△ABC中，若A≥B≥C，且实数x，y，z满足x≥y≥z及y≥0，则有
x+y+z≥23（xcosA2+ycosB2+zcosC2）（*′）
以下给出两个定理的几个有趣推论.
推论1在任意△ABC中，有
sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C（1）
证当A≥B≥C时，取x=sinA，y=sinB，z=sinC，即满足定理1条件，
代入不等式（*）立得sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C，
即当A≥B≥C时不等式（1）成立，又不等式（1）是完全对称不等式，
故不等式（1）对任意△ABC均成立.
推论2在任意△ABC中，有
a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥
2a2+2b2+2c2（2）
证当A≥B≥C时，取x=1bc，y=1ca，z=1ab，即满足定理1条件，
代入不等式（*）并利用余弦定理整理可得
a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥
2a2+2b2+2c2，
即当A≥B≥C时不等式（2）成立，又不等式（2）是完全对称不等式，
故不等式（2）对任意△ABC均成立.
推论3在任意△ABC中，若指数p>0，则有
secpA2+secpB2+secpC2≥23（secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2）（3）
证当A≥B≥C且p>0时，取x=secpA2，y=secpB2，z=secpC2即满足定理2条件，
代入不等式（*′）整理即得
secpA2+secpB2+secpC2≥23（secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2），
即当A≥B≥C时不等式（3）成立，又不等式（3）是完全对称不等式，
故不等式（3）对任意△ABC均成立.
推论4（欧拉不等式的加强）
若a，b，c，Δ，R，r分别为△ABC的三边长，面积，外接圆半径和内切圆半径，则有
Rr≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2（4）
证当A≥B≥C时，取x=a，y=b，z=c，即满足定理2条件，代入不等式（*′），
且右边利用三角形面积公式
2Δ=bcsinA=casinB=absinC=（a+b+c）r整理可得a+b+c≥23（acosA2+bcosB2+ccosC2）
=23（acosA2bcsinA+bcosB2casinB+ccosC2absinC）（a+b+c）r，
上式再利用正弦定理及三元均值不等式整理可得Rr≥13（cosA2sinBsinC+cosB2sinCsinA+cosC2sinAsinB）
≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2，
即当A≥B≥C时不等式链（4）成立，又由不等式链（4）的完全对称性，知欧拉不等式加强链（4）对任意△ABC均成立.
以上证明过程用到了两个熟知的三角不等式
sinAsinBsinC≤338，sinA2sinB2sinC2≤18.
推论5（外森比克不等式）
若a，b，c，Δ分别为△ABC的三边长及面积，则有a2+b2+c2≥43Δ（5）
证当A≥B≥C时，取x=a2，y=b2，z=c2，即满足定理2条件，代入不等式（*′）并利用三元均值定理等三角公式可得
a2+b2+c2
≥23（a2cosA2+b2cosB2+c2cosC2）
=4Δ3（a2cosA2bcsinA+b2cosB2casinB+c2cosC2absinC）
≥4Δ3·3318sinA2sinB2sinC2≥43Δ，
即当A≥B≥C时不等式（5）成立，又由不等式（5）的完全对称性，知外森比克不等式（5）对任意△ABC均成立.
以上证明过程用到了一个熟知的三角不等式sinA2sinB2sinC2≤18.
1938年，著名几何学家费恩斯列尔—哈德维格尔（Finsler—Hadwiger）提出并证明了如下经典不等式：设a，b，c，Δ分别为△ABC的三边长及面积，则有a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2.
本文将其加强为如下
推论6（费—哈不等式的加强式）
若a，b，c，Δ分别为△ABC的三边长及面积，则有a22sinA2+b22sinB2+c22sinC2≥43Δ+（b-c）22sinA2
+（c-a）22sinB2+（a-b）22sinC2（6）
注释注意到有
∑a2-∑（b-c）2=2∑bc-∑（b2+c2-a2）=2∑bc-∑2bccosA=4∑bcsin2A2.
即费—哈不等式有等价的三角形式
4（bcsin2A2+casin2B2+absin2C2）≥43Δ.
那么不等式（5）就对应有等价的三角形式
2（bcsinA2+casinB2+absinC2）≥43Δ（6′）
又我们可以证明4∑bcsin2A2≥2∑bcsinA2，
故不等式（6）是费—哈不等式的一种加强.下面利用定理2证明推论6的等价不等式（6′）
证当A≥B≥C时，取x=2ΔcosA2，y=2ΔcosB2，z=2ΔcosC2，即满足定理2条件，代入不等式（*′）整理即得不等式（6′），即当A≥B≥C时不等式（6′）成立，又不等式（6′）是完全对称不等式，故不等式（6′）对任意△ABC均成立，从而推论6成立.
最后读者可以自行赋予满足定理条件的x，y，z的值，得到自己喜爱的结论.
参考文献
[1]赵强，董林.与三角形相关的一个代数不等式及其若干推论[J].中学数学杂志.2016，（3）.
笔者最近得到两个含余弦函数的“三角母不等式”，然后利用它们给出一些有趣的三角子不等式，供读者欣赏.
定理1在任意△ABC中，若A≥B≥C，且实数x，y，z满足x≥y≥z及y≥0，则有
x+y+z≥2（xcosA+ycosB+zcosC）（*）
证当A≥B≥C时，此时就有
12-cosA≥0，同时12-cosC≤0，
又设不等式（*）左右之差为M，那么
M=2x（12-cosA）+2y（12-cosB）+2z（12-cosC）≥2y（12-cosA）+2y（12-cosB）+2y（12-cosC）=2y（32-cosA-cosB-cosC）≥0.
即定理1成立.当且仅当A=B=C=π3时不等式取等号.
以上证明过程用到了一个熟知的不等式cosA+cosB+cosC≤32.
与定理1完全类似，我们还可轻松证明如下类似的定理2（其证明略）.
定理2在任意△ABC中，若A≥B≥C，且实数x，y，z满足x≥y≥z及y≥0，则有
x+y+z≥23（xcosA2+ycosB2+zcosC2）（*′）
以下给出两个定理的几个有趣推论.
推论1在任意△ABC中，有
sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C（1）
证当A≥B≥C时，取x=sinA，y=sinB，z=sinC，即满足定理1条件，
代入不等式（*）立得sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C，
即当A≥B≥C时不等式（1）成立，又不等式（1）是完全对称不等式，
故不等式（1）对任意△ABC均成立.
推论2在任意△ABC中，有
a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥
2a2+2b2+2c2（2）
证当A≥B≥C时，取x=1bc，y=1ca，z=1ab，即满足定理1条件，
代入不等式（*）并利用余弦定理整理可得
a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥
2a2+2b2+2c2，
即当A≥B≥C时不等式（2）成立，又不等式（2）是完全对称不等式，
故不等式（2）对任意△ABC均成立.
推论3在任意△ABC中，若指数p>0，则有
secpA2+secpB2+secpC2≥23（secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2）（3）
证当A≥B≥C且p>0时，取x=secpA2，y=secpB2，z=secpC2即满足定理2条件，
代入不等式（*′）整理即得
secpA2+secpB2+secpC2≥23（secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2），
即当A≥B≥C时不等式（3）成立，又不等式（3）是完全对称不等式，
故不等式（3）对任意△ABC均成立.
推论4（欧拉不等式的加强）
若a，b，c，Δ，R，r分别为△ABC的三边长，面积，外接圆半径和内切圆半径，则有
Rr≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2（4）
证当A≥B≥C时，取x=a，y=b，z=c，即满足定理2条件，代入不等式（*′），
且右边利用三角形面积公式
2Δ=bcsinA=casinB=absinC=（a+b+c）r整理可得a+b+c≥23（acosA2+bcosB2+ccosC2）
=23（acosA2bcsinA+bcosB2casinB+ccosC2absinC）（a+b+c）r，
上式再利用正弦定理及三元均值不等式整理可得Rr≥13（cosA2sinBsinC+cosB2sinCsinA+cosC2sinAsinB）
≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2，
即当A≥B≥C时不等式链（4）成立，又由不等式链（4）的完全对称性，知欧拉不等式加强链（4）对任意△ABC均成立.
以上证明过程用到了两个熟知的三角不等式
sinAsinBsinC≤338，sinA2sinB2sinC2≤18.
推论5（外森比克不等式）
若a，b，c，Δ分别为△ABC的三边长及面积，则有a2+b2+c2≥43Δ（5）
证当A≥B≥C时，取x=a2，y=b2，z=c2，即满足定理2条件，代入不等式（*′）并利用三元均值定理等三角公式可得
a2+b2+c2
≥23（a2cosA2+b2cosB2+c2cosC2）
=4Δ3（a2cosA2bcsinA+b2cosB2casinB+c2cosC2absinC）
≥4Δ3·3318sinA2sinB2sinC2≥43Δ，
即当A≥B≥C时不等式（5）成立，又由不等式（5）的完全对称性，知外森比克不等式（5）对任意△ABC均成立.
以上证明过程用到了一个熟知的三角不等式sinA2sinB2sinC2≤18.
1938年，著名几何学家费恩斯列尔—哈德维格尔（Finsler—Hadwiger）提出并证明了如下经典不等式：设a，b，c，Δ分别为△ABC的三边长及面积，则有a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2.
本文将其加强为如下
推论6（费—哈不等式的加强式）
若a，b，c，Δ分别为△ABC的三边长及面积，则有a22sinA2+b22sinB2+c22sinC2≥43Δ+（b-c）22sinA2
+（c-a）22sinB2+（a-b）22sinC2（6）
注释注意到有
∑a2-∑（b-c）2=2∑bc-∑（b2+c2-a2）=2∑bc-∑2bccosA=4∑bcsin2A2.
即费—哈不等式有等价的三角形式
4（bcsin2A2+casin2B2+absin2C2）≥43Δ.
那么不等式（5）就对应有等价的三角形式
2（bcsinA2+casinB2+absinC2）≥43Δ（6′）
又我们可以证明4∑bcsin2A2≥2∑bcsinA2，
故不等式（6）是费—哈不等式的一种加强.下面利用定理2证明推论6的等价不等式（6′）
证当A≥B≥C时，取x=2ΔcosA2，y=2ΔcosB2，z=2ΔcosC2，即满足定理2条件，代入不等式（*′）整理即得不等式（6′），即当A≥B≥C时不等式（6′）成立，又不等式（6′）是完全对称不等式，故不等式（6′）对任意△ABC均成立，从而推论6成立.
最后读者可以自行赋予满足定理条件的x，y，z的值，得到自己喜爱的结论.
参考文献
[1]赵强，董林.与三角形相关的一个代数不等式及其若干推论[J].中学数学杂志.2016，（3）.
