平面几何常见添加辅助线的方法

    徐策

    

    

    [摘要]学生在几何学习中，解平面几何问题，关键是要学会添加辅助线.教师应指导学生掌握平面几何常见的添加辅助线的方法，从中找出解题规律，进而有效解决问题.

    [关键词]平面几何;辅助线;添加

    [中图分类号]G633.6? [文献标识码]A? [文章编号]1674-6058（2020）02-0023-02

    解平面几何一些比较复杂的图形题，关键是如何添加适当的辅助线.其实，辅助线的添加也是有规律可循的.教师在教学过程中，应该指导学生对几何知识点进行系统性的整理，对常见的一些例题、习题进行深入分析，找出规律，掌握辅助线的添加方法.

    一、在分界点上添加平行线

    相似形的证明在初中几何中占据重要地位.中考命题中相似性的出题概率一直呈上升趋势.因此在讲这部分内容时，教师要紧紧把握住基本概念、性质以及基本题型.

    在证明一些有关线段成比例的题型时，如果图形中没有呈现出相似三角形中的常见题型，即A字形或者X形，就可构造平行线去解决这类题目.

    [例1]如图1，D是AC的中点，EF交AB于E，与BC的延长线交点F，求证：.

    分析：假如过点A作边BC的平行线AG，那么就有.剩下的任务就是证明AG=CF，这样问题也就迎刃而解了.

    证明：过点A作BC的平行线AG，与FE的延长线相较于G点，连接GE.

    又因为AD=DC，

    这道题对初中生来说，还是比较复杂的.但是，我们通过作三角形定点的平行线这种辅助线，能轻松得到证明.

    二、梯形中辅助线的作法

    在初二的几何学习中，经常会遇到计算梯形面积的题目，课本中给出的解法中，往往是传统的“（上底+下底）x高”的做法，或者将一个梯形分解成两个三角形来计算.其实，在解有关梯形的题目中，还有以下幾种添加辅助线的方法.

    1.已知梯形上底和下底之差，通过上底的其中一个端点，作一条与腰平行的线段.这样实际上就把梯形转化成平行四边形，另外加上一个三角形，如图2-1.

    2.已知梯形的上、下底，求面积.常见的方法是在上底的两个端点处，向下底引垂线，形成高线，如图2-2.

    3.延长梯形（特别是等腰梯形）的两腰，使其相交于一点，这样可以通过相似三角形计算长度，如图2-3.

    4.已知梯形的对角线相等，或者对角线互相垂直时，可过梯形上底的一个端点，作另一条角线的平行线，使之与下底的延长线相交，如图2-4.

    5.当梯形中出现中点时，都会过其中一腰的中点，作另一腰的平行线，最后分别与上底的延长线和下底相交，如图2-5.

    6.当梯形中出现中点时，也会常常连接上底的一端点和另一腰的中点，并延长，最后与下底的延长线相交，如图2-6.

    三、运用“三线合一”性质，给等腰三角形过顶点作底边上的高线

    如果题目已知等腰三角形（或者等边三角形），并且知道其中的某一边，求面积或者证明某两条线段相等，这时，利用“三线合一”性质过三角形的顶点作底边上的高线，是最有效的办法.

    [例2]如图3，已知点D、E在三角形的底边BC上，且AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.

    分析：在本题中，呈现了两个等腰三角形，而且要证明相等的线段在等腰三角形的底边上，用等腰三角形的“三线合一”性质解决，可得线段BH=HC，DH=HE，再根据等式性质“等量减等量还是等量”，最终命题得证.

    四、截长补短法

    截长补短法常用于证明两条线段之和或者之差等于另一条线段.具体来说，有两种操作，一是截长，二是补短.

    [例3]如图4，已知在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC.

    证明：在AC上截取AF=AB，并连接DF.

    在△ABD和△AFD中，

    ∴∠B=∠AFD，BD=DF.

    又因为∠B=2∠C，

    ∴∠AFD=2∠C.

    又∠AFD=∠FDC+∠C，

    ∴∠FDC=∠C.

    ∴FD=FC（等角对等边），即AB+BD=AC.

    总之，学生想学好几何，关键要学会添加辅助线.当做完一道题目后，应及时归纳、总结相关解题方法，长此以往，便可熟能生巧，从而提高数学解题能力，提升数学核心素养.

    [参考文献]

    [1]胡飞.浅谈初中数学几何证明的三种思维[J].都市家教（下半月），2012（1）：89-90.

    [2]薛春青.浅谈初中数学教学中的“解图”与“解题”[J].新课程（教师版），2010（3）：56-57.

    [3]申忠军.重视几何典型题解题思路指导[J].湖南教育（数学），2008（8）：23-24.