线段和最值问题解法探讨

    唐巧莉

    

    

    [摘要]线段和最值问题是中考常见的问题类型.其中“a+k·b”型属于较为复杂的一种，由于系数的存在，解析时需要对其适度变形，转化为一般的线段最值问题，然后按照常规方法来突破.

    [关键词]线段;最值;模型

    [中图分类号]G633.6? [文献标识码]A? [文章编号]1674-6058（2020）02-0018-02

    中考题中经常会出现一些线段最值问题，包含单线段最值和多线段最值问题.有的还涉及系数的线段和最值.问题的类型不同，在探究分析时使用的问题模型、方法和策略也不相同.下面笔者对其中的一类问题加以探究.

    一、问题呈现，思路突破

    [题目]（2019年江苏南通市中考数学卷第18题）如图1所示，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，点P是边CD上的一个动点，试求的最小值.

    分析：此题以平行四边形为背景，求线段和的最小值.主要考查平行四边形的性质和线段最值的转化，属于涉及系数的线段和最值问题，即“a+k·b”型的线段最小值问题.求解时需要对其中的进行转化，然后利用共线原理确定动点位置，从而完成求解.

    解：对进行转化.依托边PD构造直角，延长边AD，过点P作AD边上的垂线，垂足为点Q，如图2所示.分析可知∠QDP=60°，所以.因此可以将问题转化为求解PB+PD的最小值.显然当点B、P、Q三点共线时，可以取得最小值，此时线段BQ⊥AD，则最小值为，即的最小值为.

    二、问题溯源，模型提炼

    1.问题溯源

    实际上，上述考题源自于苏教版教材八年级下册中的“胡不归”问题：从前有一个在A地当学徒的小伙子，得知家乡B地年老的父亲病危的消息后，便向掌柜请假启程赶回家.如图3所示，AC是一条驿道，而驿道靠近目的地B的一侧是沙砾地带，由于急切回家，小伙选择了全是沙砾的直线路径AB.由于他认为走近路必然可以省时间，当他赶回家时，父亲刚刚过世.邻居告诉他，他的老父亲在弥留之际，不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？……”邻居用很可惜的语气问道：“你为什么不先沿驿道走一段呢？”这就是“胡不归”问题.

    针对上述问题，有如下思考：应该怎么选择才可以更快到家？由该问题可以生成如下数学问题：设他在驿道上行走的速度为?1，在沙砾上行走的速度为?2，且两者之间有?1=2?2关系.如图4所示.设由点A到点B用时为t1，由点A到点C再到点B用时为t2，则，则问题转化为比较t1和t2的大小，对于后者需要分析的最小值，当取得最小值时，t2必然取得最小值.

    的最小值求解，涉及A、B、C三点，需要对其中的进行转化.可以联想直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，作∠DAD'=30°，然后构造直角三角形ACE，如图所示，则，问题转化为求CE+BC其中点C是AD上的一个动点.显然当E，C，B三点共线，且BE垂直于AD'时，CE+BC取得最小值.

    2.模型提炼

    从上述问题突破的策略中可以形成如下“胡不归问题”数学模型.如图5所示，点P是线段AD上的一个动点，点B是直线外的一个定点，试求PB+k·PA的最小值（0

    三、问题拓展，深度探究

    1.“胡不归”问题

    “胡不归”问题出现的形式是多样的，除了上述的纯几何形式外，还常结合函数出现.

    [例1]在如图6所示的直角坐标系中，抛物线的解析式为，与x轴相交于B和C，与y轴相交于点A.已知点N（-2，）是抛物线上的一点.试分析在x轴上是否存在一点Q，使得可以取得最小值.若存在，请求出点Q的坐标以及最小值.

    解析：在y轴上取一点F，使得∠OCF=30°，然后过点N作CF的垂线，垂足为点H，如图7所示，则.则当点N、Q、H三点共线，且NH⊥CF时，可取最小值.利用点坐标可求出直线CF和NH的解析式，联立可求得交点，且NH=3，即当点Q的坐标为（-1，0）时，可取得最小值3.

    2.“阿氏圆”问题

    形如“a+k·b”型的线段最小值问题，在初中数学中较为常见.除了上述所提到的“胡不归”问题外，还有“阿氏圆”问题.该问题的突破需要利用阿氏圆定理，其中动点P的运动轨迹为圆或圆弧.

    [例2]如图8-1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，与线段BC相切，已知点P是圆上的一个动点，现连接PB、PC，试求的最小值.

    解析：点P的轨迹为圆，需要对其中的进行转化.分析可知，的半径为，在AB上取一点Q，如图8-2，从而构造△APQ?△ABP，根据相似性质可得，进一步可得出AQ=1，可定位点Q的位置.连接CQ，与的交点就为取得最小值时的点，设为P'，在Rt△AQP'中，AQ=1，AC=2，所以，即的最小值为.

    总结：上述是“阿氏圆”问题的解析过程，对于该类问题的求解可以按照如下步骤进行.求图8-3中“PC+k·PD”的最小值，首先确定动点的运动轨迹，连接线段两

    个端点与圆心，即图中的OP和OD，并计算两者的长度，以及线段比，然后在OD上取一点M使得，从而完成线段的长度转化.连接CM，则与圆O的交点就为取得最小值时点P的位置.从整个转化过程来看，利用到了三角形相似的性质.

    四、解后反思

    上述是以一道“胡不归”问题为例，对涉及系数的线段和最小值问题進行探究，并对两种问题模型进行了总结归纳，其解析思路具有一定的参考价值.

    1.问题溯源，重视数学教材

    “胡不归”问题属于几何最值综合题，从其设计思路以及突破方法来看，严格遵循教材的考查要求和思想.即以教材内容为基础，开展例题的变式拓展，注重基础知识和综合应用能力的考查.新课标特别强调在教学中引导学生进行知识应用和变式探究.因此开展考题探究，应首先追溯问题本源，结合教材例题来提炼问题模型及解法思路，从而使学生对考题的图形结构、数学原理有一个充分的了解.另外，以教材习题为基础开展考题探究，可以充分发挥教材的核心价值，完善学生的知识结构.

    2.类型变式，提升数学思维

    开展考题探究的意义是为了实现“解一题，通一类即通过对典型考题的结构分析、模型提炼、思路总结，提升学生的理解能力，让学生掌握类型考题的解法，并促进其思维的发展.因此，在实际教学中，教师要进一步引导学生总结该类型考题的解题思想、方法步骤，实现问题的模式化、系统化，从而帮助学生建立直达问题本质的思维通道，提升学生的解题能力.

    3.渗透思想，提高数学素养

    上述开展线段和最值问题的探究中使用到了线段等长转化的方法，实际上其突破过程还利用了众多的数学思想，如化归转化、数形结合和模型思想.正是在数学思想的指导下完成了分析、求解.因此，在平时的教学中，教师要有意识地渗透数学的思想方法，让学生感悟数学思想的内涵和价值，逐步掌握数学思想方法，促进学生数学素养的提升.

    [参考文献]

    [1]卢燕.解读模型原理，感悟线段最值[J].数学教学通讯，2019（11）：81-82.

    [2]周丽芳.建立数学模型思想，提升问题解决能力：以初中数学线段和的最值问题为例[J].中学数学，2018（16）：88-90.

    [3]张娟飞.把握结构特征探究本源解法：初探线段与k倍线段的和的最小值问题[J].中学数学教学参考，2017（18）：33-35.