设置自然教学情境培养数学建模素养
【摘要】数学建模是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程.在教学中设置自然的情境，引导学生分析表达现实问题，解决问题，是数学建模的应然选择，是培养学生数学建模素养的重要途径.自然的情境让学生感悟模型思想，让学生成为主动建构者，利于模型化和数学思维的发生.
【关键词】教学情境；数学建模；不等式
数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概况地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构.而数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程.《数学课程标准（2011版）》从义务教育数学课程的实际出发，将数学建模的过程简化为这样的三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”.然后用“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律”.这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概况、选择、判定等数学活動，完成模式抽象，得到模型.最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义[1]. 在教学中结合学生实际，设置自然的教学情境，引导学生分析表达现实问题，解决问题，是数学建模的应然选择，是培养学生数学建模素养的重要途径，更是我们至高的追求.笔者曾参加了一次以“生活中的不等式”为课题的同课异构活动，听了2节课并参加评议，引发了一些在数学建模过程中教学情境设置的思考，不足之处，敬请指正.1案例呈现
案例1
1.情境创设：
（1）情境1：小磊和妈妈的体重分别为30kg、55kg，他们去公园游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？为什么？
（2）情境2：天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平向左倾斜，设每个乒乓球的重量为x g，怎样表示x与5之间的关系？
（3）情境3：一辆48座的客车载有游客x人，到一个站又来2个人，车内仍有空位，怎样表示x，2，48之间的关系？
（4）情境4：根据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000 ℃.设太阳表面的温度为t ℃，怎样表示t与6000之间的关系？
（5）情境5：公路上有一交通图标表示该路段行驶的最高时速不得超过100km/h，如果一辆汽车的行驶速度是akm/h，怎样表示a与100之间的关系？
（6）情境6：小梅的年龄不是3岁，那么表示小梅年龄的字母x的值与3之间有什么关系？
2.探究交流：
（1）议一议：以上式子，它们有什么特点？
（2）你还能举出其它具有不等关系的实例吗？
（3）师生总结：像以上这些用不等号表示不等关系的式子叫不等式.
3.应用巩固：……
案例2
1.课前准备：
（1）比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空：
①-3 -2； ②-π-3.5；③-a2 0； ④若x≠y，则-x -y.
（2）思考：什么样的数是正数、负数、非正数和非负数？
（3）思考：一般地，两个数量a，b会有怎样的关系？（“不大于” ，“不小于”的学习铺垫.）
2.情境引入：
（1）展示一天平，左盘中有三个重量都为x克的小球，右盘放5克砝码，天平平衡，如何用数学式子表达？在学生用方程表达的基础上，引导学生回顾一元一次方程的知识结构.
（2）操作：从天平左盘中拿去一个小球，使天平发生倾斜.
提问：天平为什么失去了平衡？通过学生的回答自然引出不等关系2x<5.
3.问题思考：
如果继续进行实验，向左盘中加一个重m克的物体，在下列可能情况下，如何用数学式子表达？ （引导学生利用“>”、“<”、“≤” 、“≥” “≠”表示.）
（1） 天平向左倾斜；（2） 天平向右倾斜；（3） 天平平衡或向右倾斜；
（4） 天平平衡或向左倾斜；（5） 天平不平衡.
4. 探究交流：
（1）议一议：以上式子，它们有什么特点？
（2）引导学生对照以上五种情况举出生活中存在着的不等关系实例.
（3）师生总结：像以上这些用不等号表示不等关系的式子叫不等式.
（4）编一道包含不等关系的实际问题，列出相关不等式.
（5）根据列出的不等式，你还能给它赋予另外一个背景吗？
5.应用巩固：……2案例分析
以上两个案例都设置了丰富的问题情境，让学生体会到了不等式知识的发生、发展过程，内容的选择和呈现都关注了现实意义和学生的兴趣，学生经历了不等式知识形成的过程，模型化的味道较浓，也符合课标对数学建模教学的要求.
案例1中创设了6个教学情境，通过情境1引入不等的关系，后面的5个情境所列出的不等式分别对应使用“>”、“<”、“≤” 、“≥” “≠”这5种不等号.通过诸多情境的引入，学生可以深刻感受生活中的不等关系.通过列不同的不等式，对不等式的概念认识会逐渐清晰，直至在学生头脑中建立起“不等式”的模型，加之后期的应用巩固，用模型去解释、讨论它在现实问题中的意义，“不等式”建模的教学可以较好地完成.
案例2中“课前准备”的内容是学生有关“不等式”知识的储备，属于学生的“最近发展区”.学生对这些内容是熟悉的，但并不明晰，将这些内容在课前进行梳理，是为本节课的教学奠定基础，也可以认为这也是进行“不等式”模型的自然渗透.情境引入从天平平衡到天平失去平衡，看似很简单的一个变化，其实蕴涵了大千世界极深刻的自然规律，它带着学生的思维从“方程”走向“不等式”，目的在于让学生能通过类比的方式学习“不等式”的概念和模型.接着进一步进行思考，如果向左盘中加一个重m克的物体，用可能出现的5种情况研究不等式的5种表达方式，形式简单但却指向数学本质.在“探究交流”环节，学生通过类比天平的5种情况可以举出富有数学味的实例，避免所举实例仅仅是现实生活中“数量之间多与少的关系”的简单表述.“探究交流”中（4）（5）的创设有利于加深学生对“不等式”数学本质的认识，数学源于对现实世界的抽象，不同的问题背景可以用同一个“不等式”表示，相同的“不等式”也可以赋予不同的问题背景.3几点思考
课堂教学情境是指在课堂教学中，由教师、学生、教材和教育手段等因素之间相互作用所形成的教育氛围.在数学建模教学过程中为了达到既定的建模目的，从教学需要出发，教师往往要在教学过程中有目的地引入或制造一种与建模相适应的生动自然的教学场景或氛围，用以激活学生自主学习的内在潜力，帮助学生准确、迅速地理解教学内容，培养思维品质，将教学情境抽象化、符号化，从而实现最优化的教学效果.3.1自然的情境让学生感悟模型思想
生活与数学是密不可分的，但原生态的情境并不多见.在情境创设中，教师通常将生活情境进行再加工，人为地创设适应教材、学生和教法的情境.但情境必须能让学生感悟数学模型思想，情境的设置不能刻意，要有对“度”的把握，不一定“花俏”，但一定要利于学生知识学习和思维发展.自然的情境是生活化的，数学模型是形式化的，数学的形式化能从具体生活化的情境中抽象出数量关系，并用符号来表示，将问题进行一般化.一般化超越了具体问题的情境，深刻地揭示了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平[2].所以在数学建模学习中，自然地引入合情合理的教学情境，有利于教学目标的达成.教师要“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”[3].3.2自然的情境让学生成为主动建构者
建构主义认为：学习是一个积极主动的建构过程，学生不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地和有选择地感知外在信息，建构其意义.从某种意义上说.建构是心理活动的产物，是思维的结果.一个符合“目的性”和“规律性”的建构设计，应该能展示数学知识的发生、发展的过程，能够充分调动学生思维，让学生亲身经历和体验，引导他们成为主动的建构者，从而自然得到数学概念或模型 [4].
学生的数学学习是学生生活常识的系统化，离不开学生现实的生活经验.对学生来说，数学知识并不是“新知识”，在一定程度上是一种“旧知识”.课堂上的数学学习是学生生活中有关数学现象和经验的升华，每一个学生都能从自己现实情况出发，建构自己的数学知识.但模型思想要真正使学生有所感悟要经历一个长期的过程.教师要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，在教学中设置自然合理的情境，逐步渗透模型思想.
案例1中虽然也设置了具有代表性的情境，多种情境引入让学生感受“生活中的不等式”，但情境之间没有必然的联系，是情境的简单堆砌，是一个个的独幕剧，也许从双基角度看，未见得效果有什么不好，但从学生认知角度看，这些情境出现的有些突兀.从学生对数学建模的思想体悟看，这些情境虽然起到了从现实情境到模型化的作用，但还不够深入，難以让学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识.案例2“课前准备”的内容和天平有关活动情境的引入符合学生认知特点和年龄特征，符合学生的经验（生活的、数学学习的），能激发学生学习的热情和好奇心.通过对天平的五种不同情况的思维活动，让学生合情概括“不等式”概念和一般模型，实现“特殊——一般”的转变，把学生的认识“由薄变厚”，实现了数学知识“表象——特征”的过程，达到让学生主动建构的目的.3.3自然的情境利于模型化和数学思维的发生
“不等式”的学习，过去我们强调的是定义、类型、解法、同解性等比较“纯粹”的知识技能，而现在，我们可以让学生从问题情境活动中，把现实生活中“数量之间多与少的关系”抽象成为数学中“数之间大与小的关系”，建立“不等式”模型，从而解决具体问题，实现“实践—理论—实践”这一循环.案例2的活动情境中，学生是以“思维活动”的形式介入学习，这样的情境让学生用大脑去“做数学”，去思考五种不同情形下的不等关系，从而列出不同的数学式子， 引发学生数学思维的发生，最终达到抽象建模的目的.通过学生举例的环节给了学生足够的空间，学生不但可以举出生活中不等的关系，而且可以表示这些关系，并用“不等式”的模型表达出来.因为有了天平五种情况的的探究，学生类比举出的生活中例子就会更有深度和代表性.4 结语
一个好的问题情境可以让学生自然经历数学建模的过程，有助于学生数学建模素养的培养.因此，在数学建模教学中设置自然简洁而富有数学味的问题情境是我们应然的选择.
参考文献
[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务数学课程标准（2011版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]孙晓天，张丹.新课程理念与初中数学课程改革[M].长春：东北师范大学出版社，2002.
[3]义务数学课程标准（2011版） [S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]董林伟.初中数学课堂教学有效性的设计研究 [M].南京：江苏科学技术出版社，2009.
作者简介林松，中学高级教师，江苏省优秀学科教师，扬州市数学学科带头人，省特级教师培养对象.曾获首届全国课题实验学校中小学教师优质课评选一等奖，江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比二等奖.主持研究江苏省教育科学十三五规划立项课题“农村初中生数学核心素养培养的途径与策略研究”和扬州市教育科学十一五规划立项课题“农村初中‘预习—反馈—提升循环教学模式研究”的研究.
【关键词】教学情境；数学建模；不等式
数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概况地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构.而数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程.《数学课程标准（2011版）》从义务教育数学课程的实际出发，将数学建模的过程简化为这样的三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”.然后用“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律”.这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概况、选择、判定等数学活動，完成模式抽象，得到模型.最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义[1]. 在教学中结合学生实际，设置自然的教学情境，引导学生分析表达现实问题，解决问题，是数学建模的应然选择，是培养学生数学建模素养的重要途径，更是我们至高的追求.笔者曾参加了一次以“生活中的不等式”为课题的同课异构活动，听了2节课并参加评议，引发了一些在数学建模过程中教学情境设置的思考，不足之处，敬请指正.1案例呈现
案例1
1.情境创设：
（1）情境1：小磊和妈妈的体重分别为30kg、55kg，他们去公园游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？为什么？
（2）情境2：天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平向左倾斜，设每个乒乓球的重量为x g，怎样表示x与5之间的关系？
（3）情境3：一辆48座的客车载有游客x人，到一个站又来2个人，车内仍有空位，怎样表示x，2，48之间的关系？
（4）情境4：根据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000 ℃.设太阳表面的温度为t ℃，怎样表示t与6000之间的关系？
（5）情境5：公路上有一交通图标表示该路段行驶的最高时速不得超过100km/h，如果一辆汽车的行驶速度是akm/h，怎样表示a与100之间的关系？
（6）情境6：小梅的年龄不是3岁，那么表示小梅年龄的字母x的值与3之间有什么关系？
2.探究交流：
（1）议一议：以上式子，它们有什么特点？
（2）你还能举出其它具有不等关系的实例吗？
（3）师生总结：像以上这些用不等号表示不等关系的式子叫不等式.
3.应用巩固：……
案例2
1.课前准备：
（1）比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空：
①-3 -2； ②-π-3.5；③-a2 0； ④若x≠y，则-x -y.
（2）思考：什么样的数是正数、负数、非正数和非负数？
（3）思考：一般地，两个数量a，b会有怎样的关系？（“不大于” ，“不小于”的学习铺垫.）
2.情境引入：
（1）展示一天平，左盘中有三个重量都为x克的小球，右盘放5克砝码，天平平衡，如何用数学式子表达？在学生用方程表达的基础上，引导学生回顾一元一次方程的知识结构.
（2）操作：从天平左盘中拿去一个小球，使天平发生倾斜.
提问：天平为什么失去了平衡？通过学生的回答自然引出不等关系2x<5.
3.问题思考：
如果继续进行实验，向左盘中加一个重m克的物体，在下列可能情况下，如何用数学式子表达？ （引导学生利用“>”、“<”、“≤” 、“≥” “≠”表示.）
（1） 天平向左倾斜；（2） 天平向右倾斜；（3） 天平平衡或向右倾斜；
（4） 天平平衡或向左倾斜；（5） 天平不平衡.
4. 探究交流：
（1）议一议：以上式子，它们有什么特点？
（2）引导学生对照以上五种情况举出生活中存在着的不等关系实例.
（3）师生总结：像以上这些用不等号表示不等关系的式子叫不等式.
（4）编一道包含不等关系的实际问题，列出相关不等式.
（5）根据列出的不等式，你还能给它赋予另外一个背景吗？
5.应用巩固：……2案例分析
以上两个案例都设置了丰富的问题情境，让学生体会到了不等式知识的发生、发展过程，内容的选择和呈现都关注了现实意义和学生的兴趣，学生经历了不等式知识形成的过程，模型化的味道较浓，也符合课标对数学建模教学的要求.
案例1中创设了6个教学情境，通过情境1引入不等的关系，后面的5个情境所列出的不等式分别对应使用“>”、“<”、“≤” 、“≥” “≠”这5种不等号.通过诸多情境的引入，学生可以深刻感受生活中的不等关系.通过列不同的不等式，对不等式的概念认识会逐渐清晰，直至在学生头脑中建立起“不等式”的模型，加之后期的应用巩固，用模型去解释、讨论它在现实问题中的意义，“不等式”建模的教学可以较好地完成.
案例2中“课前准备”的内容是学生有关“不等式”知识的储备，属于学生的“最近发展区”.学生对这些内容是熟悉的，但并不明晰，将这些内容在课前进行梳理，是为本节课的教学奠定基础，也可以认为这也是进行“不等式”模型的自然渗透.情境引入从天平平衡到天平失去平衡，看似很简单的一个变化，其实蕴涵了大千世界极深刻的自然规律，它带着学生的思维从“方程”走向“不等式”，目的在于让学生能通过类比的方式学习“不等式”的概念和模型.接着进一步进行思考，如果向左盘中加一个重m克的物体，用可能出现的5种情况研究不等式的5种表达方式，形式简单但却指向数学本质.在“探究交流”环节，学生通过类比天平的5种情况可以举出富有数学味的实例，避免所举实例仅仅是现实生活中“数量之间多与少的关系”的简单表述.“探究交流”中（4）（5）的创设有利于加深学生对“不等式”数学本质的认识，数学源于对现实世界的抽象，不同的问题背景可以用同一个“不等式”表示，相同的“不等式”也可以赋予不同的问题背景.3几点思考
课堂教学情境是指在课堂教学中，由教师、学生、教材和教育手段等因素之间相互作用所形成的教育氛围.在数学建模教学过程中为了达到既定的建模目的，从教学需要出发，教师往往要在教学过程中有目的地引入或制造一种与建模相适应的生动自然的教学场景或氛围，用以激活学生自主学习的内在潜力，帮助学生准确、迅速地理解教学内容，培养思维品质，将教学情境抽象化、符号化，从而实现最优化的教学效果.3.1自然的情境让学生感悟模型思想
生活与数学是密不可分的，但原生态的情境并不多见.在情境创设中，教师通常将生活情境进行再加工，人为地创设适应教材、学生和教法的情境.但情境必须能让学生感悟数学模型思想，情境的设置不能刻意，要有对“度”的把握，不一定“花俏”，但一定要利于学生知识学习和思维发展.自然的情境是生活化的，数学模型是形式化的，数学的形式化能从具体生活化的情境中抽象出数量关系，并用符号来表示，将问题进行一般化.一般化超越了具体问题的情境，深刻地揭示了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平[2].所以在数学建模学习中，自然地引入合情合理的教学情境，有利于教学目标的达成.教师要“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”[3].3.2自然的情境让学生成为主动建构者
建构主义认为：学习是一个积极主动的建构过程，学生不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地和有选择地感知外在信息，建构其意义.从某种意义上说.建构是心理活动的产物，是思维的结果.一个符合“目的性”和“规律性”的建构设计，应该能展示数学知识的发生、发展的过程，能够充分调动学生思维，让学生亲身经历和体验，引导他们成为主动的建构者，从而自然得到数学概念或模型 [4].
学生的数学学习是学生生活常识的系统化，离不开学生现实的生活经验.对学生来说，数学知识并不是“新知识”，在一定程度上是一种“旧知识”.课堂上的数学学习是学生生活中有关数学现象和经验的升华，每一个学生都能从自己现实情况出发，建构自己的数学知识.但模型思想要真正使学生有所感悟要经历一个长期的过程.教师要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，在教学中设置自然合理的情境，逐步渗透模型思想.
案例1中虽然也设置了具有代表性的情境，多种情境引入让学生感受“生活中的不等式”，但情境之间没有必然的联系，是情境的简单堆砌，是一个个的独幕剧，也许从双基角度看，未见得效果有什么不好，但从学生认知角度看，这些情境出现的有些突兀.从学生对数学建模的思想体悟看，这些情境虽然起到了从现实情境到模型化的作用，但还不够深入，難以让学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识.案例2“课前准备”的内容和天平有关活动情境的引入符合学生认知特点和年龄特征，符合学生的经验（生活的、数学学习的），能激发学生学习的热情和好奇心.通过对天平的五种不同情况的思维活动，让学生合情概括“不等式”概念和一般模型，实现“特殊——一般”的转变，把学生的认识“由薄变厚”，实现了数学知识“表象——特征”的过程，达到让学生主动建构的目的.3.3自然的情境利于模型化和数学思维的发生
“不等式”的学习，过去我们强调的是定义、类型、解法、同解性等比较“纯粹”的知识技能，而现在，我们可以让学生从问题情境活动中，把现实生活中“数量之间多与少的关系”抽象成为数学中“数之间大与小的关系”，建立“不等式”模型，从而解决具体问题，实现“实践—理论—实践”这一循环.案例2的活动情境中，学生是以“思维活动”的形式介入学习，这样的情境让学生用大脑去“做数学”，去思考五种不同情形下的不等关系，从而列出不同的数学式子， 引发学生数学思维的发生，最终达到抽象建模的目的.通过学生举例的环节给了学生足够的空间，学生不但可以举出生活中不等的关系，而且可以表示这些关系，并用“不等式”的模型表达出来.因为有了天平五种情况的的探究，学生类比举出的生活中例子就会更有深度和代表性.4 结语
一个好的问题情境可以让学生自然经历数学建模的过程，有助于学生数学建模素养的培养.因此，在数学建模教学中设置自然简洁而富有数学味的问题情境是我们应然的选择.
参考文献
[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务数学课程标准（2011版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]孙晓天，张丹.新课程理念与初中数学课程改革[M].长春：东北师范大学出版社，2002.
[3]义务数学课程标准（2011版） [S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]董林伟.初中数学课堂教学有效性的设计研究 [M].南京：江苏科学技术出版社，2009.
作者简介林松，中学高级教师，江苏省优秀学科教师，扬州市数学学科带头人，省特级教师培养对象.曾获首届全国课题实验学校中小学教师优质课评选一等奖，江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比二等奖.主持研究江苏省教育科学十三五规划立项课题“农村初中生数学核心素养培养的途径与策略研究”和扬州市教育科学十一五规划立项课题“农村初中‘预习—反馈—提升循环教学模式研究”的研究.
