图形折叠问题分类探析

    杨姬

    

    

    [摘? ?要]折叠问题的类型多样.其中以求解点坐标、线段长和图形面积最为常见.此类问题题型新颖、结构设计独特，能够全面考查学生的空间几何观念和几何知识综合应用的能力.图形折叠过程中存在一些几何性质，这些性质是问题突破的关键.

    [关键词]图形;折叠;分类

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2019）35-0007-02

    图形折叠是图形变化的一种重要方式，图形折叠的动态过程中隐含着众多的几何性质和变化规律，这些性质和规律是几何问题分析的关键.在近几年的中考中出现了大量以图形折叠为背景，求解几何元素的问题，涉及点坐标、线段长和图形面积等.笔者下面对其归类探析.

    一、图形折叠中的点坐标确定

    求解点的坐标必然需要将图形折叠与平面直角坐标系相结合，这也是图形折叠重要的综合形式之一.坐标系中点的坐标与几何线段之间有着紧密的关联性，因此解题的关键是基于这种关联建立已知与未知之间的联系.该类折叠问题不仅可以考查学生灵活运用折叠性质的能力，还能考查学生的推理、计算能力.

    [例1]如图1所示，矩形AOCD位于平面直角坐标系中，现将其沿着直线AE进行折叠（已知点E位于边CD上），若折叠后矩形的顶点D恰好落在边OC上的点F处.如果点D的坐标为（10，8），试求点E的坐标.

    解析：本题将图形折叠与直角坐标系相结合.求解点的坐标除了需要利用图形折叠的性质，还需要利用三角形的一些性质.根据题意可知，△ADE与△AFE互为全等三角形，结合点D的坐标可知AD=OC=AF=10，DE=EF.根据矩形的性质可知OA=CD=8，在Rt△AOF中使用勾股定理可得OF2+OA2=AF2，解得OF=6，则CF=4.求点E的坐标实际上就是求线段CE的长.设CE=x，则DE=8-x，在Rt△EFC中使用勾股定理，可得CF2+CE2=EF2，即42+x2=（8-x）2，从而可解得x=3，即CE的长为3，所以点E的坐标为（10，3）.

    评注：上述为图形折叠中的点坐标分析题，实际上求解坐标系中点的坐标就是求几何线段长，解题的关键是将图形折叠的性质与坐标系中点的坐标相结合，并利用相关的几何性质构建求解未知线段的模型.而上述在求解时充分利用了图形折叠中隐含的全等三角形，结合勾股定理构建了求解关键线段的代数方程.

    二、图形折叠中的线段长度求值

    图形折叠的过程中含有众多的几何“变化”元素，但折叠过程中对应线段长度相等是其隐含的“不变”规律，也是解题突破的关键性质之一.分析图形折叠中的线段长度，前提是需要充分了解图形折叠的过程，然后在此基础上利用图形折叠的性质来分析图形折叠前后的线段关系，逐步厘清求线段长的思路.

    [例2]如图2所示，△ABC为直角三角形，∠C=[90°]，∠A=[30°]，BC=1，点D位于边AC上，若将△ADB沿着直线BD进行折叠，折叠后点A落在三角形之外的点E处，且DE⊥AD，设BE与AC的交点为点F，试求线段DE的长.

    解析：本题为图形折叠中的线段长分析题.图形折叠的过程是以BD为折痕将△ADB翻折到△EDB的位置，根据折叠的性质可知△ADB与△EDB互为全等三角形，则DE=AD，∠E=∠A=[30°].由于∠C=[90°]，DE⊥AD，则BC∥DE，进而可得∠CBF=∠E=[30°]，题干给出了△ABC的内角度数，结合三角函数可得CF= [33]，AC=[3]，tan∠E=[DFDE=33] .设DF=x，则AD=DE=[3]x，AC= CF+FD+AD = [33] +x+[3]x = [3].解得x=1-[ 33]，所以DE=[3]x=[3]-1.

    评注：上题在求解图形折叠中的线段长时充分利用了折叠的特性，即折叠前后对应线段相等.而在求未知线段时巧妙利用了直角三角形中的三角函数、勾股定理等知识，最后结合线段之间的长度关系构建了相应的代数方程，从而达到了高效求解的目的.整个解题思路采用数形结合的分析方法，利用直观的图像来辅助分析，通过代数计算完成线段求值.

    三、图形折叠中的几何面积求解

    图形的面积是数学几何重要的研究内容，也是图形折叠中常见的问题类型.分析图形折叠中的面积，除了需要熟识相关图形的面积公式，还需要把握图形折叠的实质，利用折叠特性来辅助思考，灵活运用图形的面积公式来对问题进行转化.

    [例3]如图3所示的四边形ABCD为一矩形，现按照图中所示的方式对其进行折叠，使四边形的顶点A和B分别落在点[A′]和[B′]处，其中[B′]与顶点D相重合，折痕为EF.设AB和BC的长分别为3 cm和5 cm，试求重叠部分△DEF的面积.

    解析：本题求解图形折叠后几何三角形的面积，求解△DEF的面积有两种思路.一是直接利用三角形的面积;二是通过图形割补的方式来转化.如果直接求解很难获得底边BD的长，则可以考虑利用图形割补的方式来获得，即△DEF的面积等于梯形[A′]DFE的面积减去△[A′]ED的面积，后续只需要分别求梯形[A′]DFE和△[A′]ED的面积即可.

    根据图形折叠的特性可知，梯形[A′]DFE与梯形ABFE全等，AE=[A′]E，[A′]D=AB.设AE=[A′]E=x，则DE=5-x.在Rt△[A′]ED中利用勾股定理可得ED2=[A′]E2+[A′]D2，即（5-x）2=x2+32，解得x= [85] .由于点B和点D关于折痕EF对称，所以线段EF经过了对角线BD的中点，则梯形ABFE的面积为矩形ABCD面积的一半，进一步分析可知△[A′]ED与△CFD全等.其中S梯形ABFE= [12×3×5=152] （cm2），S△CFD= [12×3×85=125? ]（cm2）， 所以S△DEF = 5.1（cm2） .

    评注：上述求解图形折叠中几何三角形的面积时采用了图形割补的方式，从而实现问题的简单转化.根据面积公式可知，实际上求解几何图形的面积的关键依然是分析线段长，同样需要充分利用图形折叠的特性来构建线段之间的联系，对于一些较为复杂的线段长，则可以通过设未知，建立方程的方式来求解.

    总之，求解折叠问题首先需要准确把握图形折叠的实质，然后综合应用常规的几何性质和折叠特性，建立折叠前后图形之间的性质联系，最后合理利用几何定理建立求解线段长的代数模型，实现问题的简单解答.另外，解答折叠问题需要学生具备一定的空间想象和逻辑推理能力，因此，在实际解题时需要教师采用合理的教学方式，全方位展示图形折叠的过程.同时，设置引导性的问题，促进学生积极思考、探索，进行推理判断，使学生体验图形折叠的魅力，掌握折叠问题的思路.

    [? 參? ?考? ?文? ?献? ]

    [1]? 徐浩.用“心”聚“折”，折出精彩：“利用勾股定理解决折叠问题”的教学策略[J].中学数学，2017（18）：12-14.

    [2]? 谢良毅.知识综合巧运用，一题多解阔思维：以一道初中平面几何题为例[J].中学数学教学参考，2018（Z3）：14-15.

    [3]? 白雪峰，张彦伶.聚焦中考折叠问题 提升数学核心素养：以中考试题中的一类折叠问题为例[J].数学教学通讯，2018（14）：78-80.

    （责任编辑 黄桂坚）