基于“中巧说”的初中数学习题教学研究
刘辰 陈永明
【摘 要】 基于张景中院士提出的“中巧说”，在中学数学习题教学研究中，通过显性化、算法化的途径，帮助学生们进行习题分类，认知建构，从而落实解题的基本训练，提高习题教学的有效性.
【关键词】 “中巧”说；习题教学；解题模块；命题联想系统
习题是学生进行有效学习的重要载体，故数学习题教学自然成为数学教学中的一个重要组成部分.我国拥有一个富有创造力的教师团队，在具体落实双基的同时，一直以来积极致力于研究习题教法，也积累了许多习题教学的经验.随着波利亚的《怎样解题》传入中国后，具有中国特色的五大数学习题教学流派逐一显现，亦是各有所长，各领风骚.
1 当代中国特色数学习题教学的五个流派 [1]
当代中国特色数学习题教学的这五个流派分别是：
中巧说. 张景中院士对解题有着精辟形象的看法，他说：“练武功的上乘境界是‘无招胜有招，但武功仍要从一招一式入门.解数学题也是如此……我想所谓‘无招胜有招的境界，就是‘大巧吧！但是，小巧固不足取，大巧也确实太难.对于大多数学子，还要重视有章可循的招式……大巧法无定法，小巧一题一法.中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目.也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法.”他认为“这是我国古代数学的特点和优秀传统[2].”我们把张景中院士的这个观点称之为“中巧说”.“中巧说”的核心是有章可循，主张运用我国数学研究的传统——算法思想来总结规律、指导解题.
反应块思想. 华南师范大学傅学顺教授的“反应块”思想强调积累，识记.在解题调用时，产生“一看到……就想到……”的反应.
变式训练. 顾泠沅教授主持的上海青浦实验关注“变式训练”，在于通过一个个变式创造，为学生的思维发展提供一个个阶梯，使之构建完整、合理的新知识.
数学素质论. 徐利治教授提出的“数学素质论”，倡导在教学中关注数学思想方法的提炼渗透，逐渐培养形成学生的辩证思想.
孙维刚风格. “孙维刚风格”的核心是主张发散思维和收敛思维相结合，进行一题多解、多解归一、多题归一.
我们认为，“中巧说”适合大多数学子；“反应块思想”对全体学生也都有效，但对中等以上的学生可能更有施展的余地；“变式训练”、“数学素质论”早已为广大教师所接受，并已经广泛使用；“孙维刚风格”是一线教师学习的榜样，但由于他宽阔的知识面和独特的个人魅力，以及他留下的经验的操作性不强，广大教师学习起来有一定的困难.根据当前我国教育的现状，学习和研究适合大多数学子的，可操作的“中巧说”，可能更为重要.
2 “中巧说”对中学数学习题教学的现实意义
作为“教育数学”的创始人，张景中院士通过改造数学而推进教育，致力于“把数学变得容易一点”.张景中院士提出教育数学要研究有效而易学的解题方法，要提供中巧.“中巧说”对中学数学习题教学的现实意义包括：体现了教学模式观和算法思想；顺应了学生心理迁移的认知规律；符合基础数学的教育目标；是克服题海战术的良方.
基于“中巧说”的现实意义，我们一直在寻找数学工作者思维的特点，即具有内部规律的数学知识的整体结构.正如“中巧说”所希望的，我们在习题教学中所摸索出来的，将解题经验显性化、算法化，能帮助学生建立优良的有数学特色的认知结构，提高习题教学的有效性.
3 “中巧说”与中学数学习题教学的认知建构
就数学解题而言（不是整个数学），目前我们认为有两个（不敢说没有其他的）显性化、算法化的途径，一个是解题模块，另一个是命题联想系统.
3.1 解题模块
解题模块是指针对解决某类数学问题而形成的方法结构.这种显性化的概括归纳，使得一类题的解决有章可循，易于迁移、应用.解题模块有三个特点：针对性、可操作性、简洁性.解题模块从无序的习题中被提炼、概括出来，有助于帮助学生整理知识，“举三反一”，总结可操作的规律，训练收敛思维指导下的发散思维.下面举例说明.
比如，在条件求值类问题中提出的解题模块如图1所示.
又如，求点的坐标的常用解题策略有“线段法”和“方程法”：
“线段法”的解题步骤如图2所示：
“方程法”的解题步骤如图3所示：
我们可通过下表比较“线段法”和“方程法”的优劣：
3.2 命题联想系统
通过联想把相关命题联系形成认知结构，经实践研究，有三类命题联想系统对于中学习题教学十分重要.
（1）等价命题系统
命题A与命题B，C，D，…条件、结论的本质均相同，命题B，C，D，…便形成了命题A丰富的等价命题系统.
譬如，看到“直线y=kx+3过点A（1，2）”想到“点A（1，2）在直线y=kx+3上”，两者属于同意反复，涉及的对象没有变化，利用命题的等价关系进行同质变形.若联想到“x=1，y=2适合方程y=kx+3”，则形成了从几何到代数的“问题系统”变化，利用命题的等价关系实现数形转换.
再如，针对“点A（a，2a+1）不可能在哪一个象限内”的问题，则可以把点A看作是直线y=2x+1上的任意一点，实现等价转化，由于该直线只经过第一、二、三象限，所以点A不可能经过第四象限.
等价命题系统在改变题的表征方面作用很大，以上做法就是将“几何的点”与“函数解析式”巧妙勾连，把未知问题化归到在已有知识范围内简化求解.
（2）下游命题系统
我们已经有了命题A，可以推得命题B，我们把这些命题B叫做命题A的“下游命题”，研究从A可以推出些什么命题（B，C，D，…），这就得到命题A的下游命题系统. 例如，在如图4所示的锐角△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E.BD与CE相交于点O，连接DE，则图4中有几对相似三角形？
很多老师引导学生利用边角关系，寻得了其中的8对相似三角形，并将其命名为“双高图”.
①前6对：△BOE∽△COD∽△CAE∽△BAD，共6对相似三角形；
②第7对：△EOD∽△BOC；
③第8对：△ADE∽△ABC.
利用“双高图”的下游命题系统，很多较为复杂的综合题迎刃而解.
比如，在原题设下，
④增加条件：若∠A=60°，则DE∶BC= （答案： 1 2 ，利用△ADE∽△ABC或△EOD∽△BOC的联想命题可以解决）；
⑤增加条件：若C△AED=8，C△ABC=24，则sinA= （答案： 2 3 2 ，利用△ADE∽△ABC以及相似三角形周长比等于相似比的联想命题可以解决）.
若改变图形：
⑥如图5，EC⊥EB，BD⊥DC，BD和EC相交于点O.若S△EDO=8，S△BCO=16，则∠BOC= （答案：135°，利用△EOD∽△BOC以及相似三角形面积比等于相似比平方的联想命题可解决）. 图5
代数公式性质、几何定理或基本图形的积累（又如“一线三等角”“子母型”等），往往会形成知识跨度较大的下游命题系统.对于结论探索型问题，我们常常会由因导果，进行推断、归纳出结论.而下游命题系统在此时会起到很好的助推作用，达到“柳暗花明又一村”的效果.
（3）上游命题系统
为了得到命题A，寻找命题B，即由命题B可推得命题A，我们把命题B叫做命题A的“上游命题”，如果命题B，C，D，…都可以推得命题A，这就得到命 题A的上游命题系统.
比如怎样证明两线段相等，我们粗略统计就有以下定理、性质：全等三角形的对应边相等；三角形中等角对等边；等腰三角形的顶角平分线是底边上的中线；等腰三角形底边上的高是底边上的中线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分……类似的，还有证明两角相等，两线平行，线段或角的和差倍分的证法都应该及时复习总结，构成相应的上游命题系统.
前辈数学教育家写过《金品几何》《许莼舫初等几何四种》，屡屡再版，这些书都是利用怎样证两线相等，怎样证两角相等……来编排几何证明的.
所以说，总结上游命题系统是前辈优秀数学教师的经验，尤其对于条件型探索题，由假设结论出发倒溯，由果索因，逆推顺证，设想出合乎要求的一些条件，逐一筛选.事实证明，这是有效的方法.
参考文献
[1] 陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M].上海：上海教育出版社，2014
[2] 张景中.几何新方法和新体系[M].北京：科学出版社，2009
【摘 要】 基于张景中院士提出的“中巧说”，在中学数学习题教学研究中，通过显性化、算法化的途径，帮助学生们进行习题分类，认知建构，从而落实解题的基本训练，提高习题教学的有效性.
【关键词】 “中巧”说；习题教学；解题模块；命题联想系统
习题是学生进行有效学习的重要载体，故数学习题教学自然成为数学教学中的一个重要组成部分.我国拥有一个富有创造力的教师团队，在具体落实双基的同时，一直以来积极致力于研究习题教法，也积累了许多习题教学的经验.随着波利亚的《怎样解题》传入中国后，具有中国特色的五大数学习题教学流派逐一显现，亦是各有所长，各领风骚.
1 当代中国特色数学习题教学的五个流派 [1]
当代中国特色数学习题教学的这五个流派分别是：
中巧说. 张景中院士对解题有着精辟形象的看法，他说：“练武功的上乘境界是‘无招胜有招，但武功仍要从一招一式入门.解数学题也是如此……我想所谓‘无招胜有招的境界，就是‘大巧吧！但是，小巧固不足取，大巧也确实太难.对于大多数学子，还要重视有章可循的招式……大巧法无定法，小巧一题一法.中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目.也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法.”他认为“这是我国古代数学的特点和优秀传统[2].”我们把张景中院士的这个观点称之为“中巧说”.“中巧说”的核心是有章可循，主张运用我国数学研究的传统——算法思想来总结规律、指导解题.
反应块思想. 华南师范大学傅学顺教授的“反应块”思想强调积累，识记.在解题调用时，产生“一看到……就想到……”的反应.
变式训练. 顾泠沅教授主持的上海青浦实验关注“变式训练”，在于通过一个个变式创造，为学生的思维发展提供一个个阶梯，使之构建完整、合理的新知识.
数学素质论. 徐利治教授提出的“数学素质论”，倡导在教学中关注数学思想方法的提炼渗透，逐渐培养形成学生的辩证思想.
孙维刚风格. “孙维刚风格”的核心是主张发散思维和收敛思维相结合，进行一题多解、多解归一、多题归一.
我们认为，“中巧说”适合大多数学子；“反应块思想”对全体学生也都有效，但对中等以上的学生可能更有施展的余地；“变式训练”、“数学素质论”早已为广大教师所接受，并已经广泛使用；“孙维刚风格”是一线教师学习的榜样，但由于他宽阔的知识面和独特的个人魅力，以及他留下的经验的操作性不强，广大教师学习起来有一定的困难.根据当前我国教育的现状，学习和研究适合大多数学子的，可操作的“中巧说”，可能更为重要.
2 “中巧说”对中学数学习题教学的现实意义
作为“教育数学”的创始人，张景中院士通过改造数学而推进教育，致力于“把数学变得容易一点”.张景中院士提出教育数学要研究有效而易学的解题方法，要提供中巧.“中巧说”对中学数学习题教学的现实意义包括：体现了教学模式观和算法思想；顺应了学生心理迁移的认知规律；符合基础数学的教育目标；是克服题海战术的良方.
基于“中巧说”的现实意义，我们一直在寻找数学工作者思维的特点，即具有内部规律的数学知识的整体结构.正如“中巧说”所希望的，我们在习题教学中所摸索出来的，将解题经验显性化、算法化，能帮助学生建立优良的有数学特色的认知结构，提高习题教学的有效性.
3 “中巧说”与中学数学习题教学的认知建构
就数学解题而言（不是整个数学），目前我们认为有两个（不敢说没有其他的）显性化、算法化的途径，一个是解题模块，另一个是命题联想系统.
3.1 解题模块
解题模块是指针对解决某类数学问题而形成的方法结构.这种显性化的概括归纳，使得一类题的解决有章可循，易于迁移、应用.解题模块有三个特点：针对性、可操作性、简洁性.解题模块从无序的习题中被提炼、概括出来，有助于帮助学生整理知识，“举三反一”，总结可操作的规律，训练收敛思维指导下的发散思维.下面举例说明.
比如，在条件求值类问题中提出的解题模块如图1所示.
又如，求点的坐标的常用解题策略有“线段法”和“方程法”：
“线段法”的解题步骤如图2所示：
“方程法”的解题步骤如图3所示：
我们可通过下表比较“线段法”和“方程法”的优劣：
3.2 命题联想系统
通过联想把相关命题联系形成认知结构，经实践研究，有三类命题联想系统对于中学习题教学十分重要.
（1）等价命题系统
命题A与命题B，C，D，…条件、结论的本质均相同，命题B，C，D，…便形成了命题A丰富的等价命题系统.
譬如，看到“直线y=kx+3过点A（1，2）”想到“点A（1，2）在直线y=kx+3上”，两者属于同意反复，涉及的对象没有变化，利用命题的等价关系进行同质变形.若联想到“x=1，y=2适合方程y=kx+3”，则形成了从几何到代数的“问题系统”变化，利用命题的等价关系实现数形转换.
再如，针对“点A（a，2a+1）不可能在哪一个象限内”的问题，则可以把点A看作是直线y=2x+1上的任意一点，实现等价转化，由于该直线只经过第一、二、三象限，所以点A不可能经过第四象限.
等价命题系统在改变题的表征方面作用很大，以上做法就是将“几何的点”与“函数解析式”巧妙勾连，把未知问题化归到在已有知识范围内简化求解.
（2）下游命题系统
我们已经有了命题A，可以推得命题B，我们把这些命题B叫做命题A的“下游命题”，研究从A可以推出些什么命题（B，C，D，…），这就得到命题A的下游命题系统. 例如，在如图4所示的锐角△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E.BD与CE相交于点O，连接DE，则图4中有几对相似三角形？
很多老师引导学生利用边角关系，寻得了其中的8对相似三角形，并将其命名为“双高图”.
①前6对：△BOE∽△COD∽△CAE∽△BAD，共6对相似三角形；
②第7对：△EOD∽△BOC；
③第8对：△ADE∽△ABC.
利用“双高图”的下游命题系统，很多较为复杂的综合题迎刃而解.
比如，在原题设下，
④增加条件：若∠A=60°，则DE∶BC= （答案： 1 2 ，利用△ADE∽△ABC或△EOD∽△BOC的联想命题可以解决）；
⑤增加条件：若C△AED=8，C△ABC=24，则sinA= （答案： 2 3 2 ，利用△ADE∽△ABC以及相似三角形周长比等于相似比的联想命题可以解决）.
若改变图形：
⑥如图5，EC⊥EB，BD⊥DC，BD和EC相交于点O.若S△EDO=8，S△BCO=16，则∠BOC= （答案：135°，利用△EOD∽△BOC以及相似三角形面积比等于相似比平方的联想命题可解决）. 图5
代数公式性质、几何定理或基本图形的积累（又如“一线三等角”“子母型”等），往往会形成知识跨度较大的下游命题系统.对于结论探索型问题，我们常常会由因导果，进行推断、归纳出结论.而下游命题系统在此时会起到很好的助推作用，达到“柳暗花明又一村”的效果.
（3）上游命题系统
为了得到命题A，寻找命题B，即由命题B可推得命题A，我们把命题B叫做命题A的“上游命题”，如果命题B，C，D，…都可以推得命题A，这就得到命 题A的上游命题系统.
比如怎样证明两线段相等，我们粗略统计就有以下定理、性质：全等三角形的对应边相等；三角形中等角对等边；等腰三角形的顶角平分线是底边上的中线；等腰三角形底边上的高是底边上的中线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分……类似的，还有证明两角相等，两线平行，线段或角的和差倍分的证法都应该及时复习总结，构成相应的上游命题系统.
前辈数学教育家写过《金品几何》《许莼舫初等几何四种》，屡屡再版，这些书都是利用怎样证两线相等，怎样证两角相等……来编排几何证明的.
所以说，总结上游命题系统是前辈优秀数学教师的经验，尤其对于条件型探索题，由假设结论出发倒溯，由果索因，逆推顺证，设想出合乎要求的一些条件，逐一筛选.事实证明，这是有效的方法.
参考文献
[1] 陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M].上海：上海教育出版社，2014
[2] 张景中.几何新方法和新体系[M].北京：科学出版社，2009
