构造图形智解应用问题
石才英
通常我们可以应用算术方法或者代数方法去解应用问题.然而对于有些实际应用问题，我们还可以通过变换思维，利用构造图形，采取数形结合的方法去巧思妙解.这类素材较少，今补充数例，供中学师生教与学时参考.
1关于丢番图的“生平”应用问题
例1希腊数学家丢番图（公元3—4世纪）墓碑上的记载：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.求出丢番图结婚的年龄、开始当爸爸的年龄、他儿子死时的年龄以及他去世时的年龄.
代数解法设丢番图生活的年岁为x，则x=16x+112x+17x+5+12x+4，整理此方程，得984x=9，x=84（岁）.所以，丢番图活了84岁.
构图解法画一个长方形，用构图法.图1
因为[6，12，7，2]=84，把这个长方形分成84个格，划去14格（即16），7格（即112），12格（即17）和42格（一半）后还剩下9格，占整个长方形的984，而9÷984=84.
由此可知，丢番图活到84岁，21岁结婚，38岁做父亲，80岁时死了儿子.
点评显然两种解法中，构图法别致巧妙，富有风味，耐人细细品鉴.
2关于托尔斯泰的“割草”问题
列夫·托尔斯泰（1828—1910）是俄罗斯文学家，是《战争与和平》、《安娜·卡列尼娜》、《复活》等世界文学名著的作者，据说列夫·托尔斯泰在文学工作之余对数学也很感兴趣，他喜欢这样一道算术题：
例2割草队要收割两块草地，其中一块比另一块大一倍，全队在大块草地上收割了半天之后，分为两半，一半继续留在大块草地上，另一半转移到小块草地上.留下的人到晚上就把大草地全收割完了，而小块草地上还剩一小块未割.第二天，这下剩的一小块，一个人花了一整天时间才割完.问割草队中共有几人？
托尔斯泰是怎样解这道数学题的呢？
代数解法已知大片草地是小片草地的2倍，所以小片草地占两片草地总和的13.设这组割草者共有x人，则两片草地由x人割了一天，又由一个人割了一天.若由一个人割这两片草地，则需（x+1）天，一个人割完小片草地的草需x+13天；另一方面，小片草地由x2人割了半天后还需一人割一天，相当于一个人割了（x4+1）天，因而可得方程x+13=x4+1.解得x=8（人）.所以割草队共有8人.图2
构图解法先观察图2：它表示的是整个草地的大小，从图中很容易分析出割草队总人数为：13+13+13+1316=4316=8人.所以这组割草队共有8人.
点评此题源自于托尔斯泰的秘书B·布尔卡柯夫的《列夫·托尔斯泰晚年的生活》一书，由上述构图解法不难看出：构图解法不仅数形结合，直观明了，而且通俗易懂，简洁新颖，值得重视.
3关于斯图姆的“轮船相遇”问题
例31838年瑞士数学家斯图姆（C.-F. Sturm，1803～1855）参加国际会议遇到此问题，是来自美国哈佛的朋友向他提出的：每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行7天7夜.问某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前的途中能遇上几艘从纽约开来的轮船？
算术解法设每艘轮船的速度是x海里/昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程，即为x海里.因此，同下一艘轮船相遇的时间应是x÷（x+x）=0.5（昼夜），也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘迎面驶来的轮船.那么，七昼夜一共可以遇到从对面开来的轮船7×2=14（艘），加上出港时遇到的1艘，一共有15艘轮船从对面开来.
构图解法 斯图姆用运行图巧妙地解决了这一问题，如图3所示的每条线段分别表示每条船的运行情况，加粗的线表示从哈佛开出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情形.由此可知该轮船能与对面开来的15艘轮船相会.这种运行图曾一度在运输问题中大显神通.图3
点评算术法显得简单，只要一个式子就解决问题了，但对题目意义的理解要求很高，只有充分理解题意，才能列出正确算式，否则很容易出错.然而应用了构图解法却“柳暗花明又一村”.不仅方法匠心独具，而且内涵深邃，由此可启迪学生发掘他们智慧的火花，借以点燃学生们头脑思维的火焰.
4关于“溶液”问题
例4（2014年贵州省安顺市中考题）一容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，加水充满.第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升，求每次倒出酒精的升数.
分析此题为浓度问题，加水充满表示容器中酒精溶液永远是63升，酒精溶液中含纯酒精的升数在每次倒出后都要改变.
代数解法设每次倒出x升，第一次倒出后剩下纯酒精（63-x）升，加水充满后酒精溶液的浓度是63-x63，第二次倒出纯酒精63-x63·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）-63-x63·x升.依题意得：（63-x）-63-x63·x=28，即（63-x）2=28×63，
（63-x）2=22×32×72，所以63-x=±42，所以x1=21，x2=105>63不合题意，舍去.答：每次倒出酒精21升. 图4
构图解法构造边长为（x+y）的正方形，如图4所示，易知S1=S3=xy，S2=x2，S4=y2，用正方形面积（x+y）2表示容器的容积，第一次倒出酒精的体积为S1+S2=x（x+y）.接着用水加满后，S1+S2表示水，此时容器中纯酒精与水的比为y∶x，则第二次倒出的纯酒精为S3=xy，水为S2=x2，再用水加满，最终容器里剩下的纯酒精为S4=y2=28.所以S1+S2=x（x+y）=（x+y）2-y（x+y）=63-63·28
=63-7×9×7×4=63-42=21，故每次倒出纯酒精21升.
点评此题列一元二次方程求解，方法较难，理解困难，运算量也较大.
然而构图解法却新颖别致，从解法之中可给学生们带来心智的启迪，精神的愉悦.
5关于“年龄”问题
例5我现在的岁数是我弟弟当年岁数的2倍，但我当年的岁数却与弟弟现在的岁数一样，我们两人现在的年龄之和是63岁.请问，我和弟弟现在各是多少岁？图5
构图解法如图5所示，BE是两人年龄之差.当年，我的年龄是AE时，他的年龄是CG，很明显，BE=DG，而BDGE是一个平行四边形.
由题意可以知道，CG=12AB，所以AF=CG=12AB.由于BE=DG，EF=DG，所以BF=2BE.于是AB=4BE，而CD=3BE，所以AB+CD=7BE，即63=7BE所以BE=9（岁）.因此，我和弟弟的年龄分别是36岁和27岁.
点评本题如用算术法和代数法求解均不容易，然而巧用构图法求解却别有洞天，值得欣赏和重视.
6关于“优惠”问题
例6一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游.甲旅行社说：“如父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅游算集体票，按23的原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.图6
构图解法设该家庭有x个小孩，甲、乙两旅行社的收费总金额为y甲和y乙，全票价为a，那么y甲=a+12（x+1）a（x为正整数），y乙=23（x+2）a（x为正整数），故y甲-y乙=a+12a（x+1）-23（x+2）a，所以y甲-y乙=a6（1-x），故当x>1时，y甲y乙，乙旅行社更优惠（见图6）.
点评注意自变量x的实际意义，本题中自变量x表示小孩的个数，应为自然数，所以函数图像应为离散的点而不是一条直线.这种构图法与一次函数相结合，紧扣教材，符合新课程改革的理念要求.
7关于“等分蛋糕”问题
例7（2014年浙江省温州市中考题）有一块三角形的蛋糕要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，你有办法达到要求吗？试把你的方案画出来，并加以说明.
分析实际上就是在一个三角形中作三条线段将其分成面积相等的6份.因为三角形的中线可以将原三角形分成面积相等的两部分，故本题应从三角形中线入手寻找解法.图7
构图解法如图7所示，设△ABC为一块蛋糕，在△ABC中，AE、BF、CD分别是三边上的中线，O点为中线CD、AE、BF的交点，则此时，S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.理由如下：因为AD=BD，所以
S△ACD=S△BCD，S△ADO=S△BDO.所以S△AOC=S△BOC，同理，△AOB和△BOC，△AOB和△AOC的面积也相等，又因为S△BEO=S△CEO，S△CFO=S△AFO，所以S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.即只要沿三角形蛋糕的三边中线切3刀就可达到要求.
点评将实际问题抽象成几何模型，即要求“在三角形内作三条线段，将其分成6个面积相等的部分.”由于“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分，”所以我们可以从画三角形的中线入手，充分利用“三角形等底等高必等积”进行分析和说明.
8关于“坐小火车又划船人数”问题
例8六年级学生90人去公园夏令营.53人到湖中划船，82人坐小型火车，有6人既没划船，也没坐火车.问坐小火车又划船的是多少人？图8
解析图8中构造的这两个圈分别表示划船，坐火车人数.中间重复的部分表示既划船又坐火车人数，53+82=135（人），在这135人中既包括参加坐船或做小火车一项活动人数，又包括两项都参加了的人数且重复算了这部分人数两次，而90-6=84（人）是只参加划船或坐小火车一项以及两项运动都参加了的人数的总和.所以，两项都参加的人数等于135与84的差.算式：（53+82）-（90-6）=51（人）
答：既坐小火车又划船的是51人.
点评图解方法是数和形的结合.有些应用题设置情景较为复杂，或者条件不太明显，于是，我们分析应用题时，利用直观生动的几何图形，使题中的数量关系显得具体形象，从而得出解题方法，这就是图解方法.总之，应用构图法解实际应用问题，完全符合新课程改革的理念精神，对于启迪学生思维，拓宽视野，巩固“双基”，提高综合分析问题和解决实际问题的能力大有裨益.
通常我们可以应用算术方法或者代数方法去解应用问题.然而对于有些实际应用问题，我们还可以通过变换思维，利用构造图形，采取数形结合的方法去巧思妙解.这类素材较少，今补充数例，供中学师生教与学时参考.
1关于丢番图的“生平”应用问题
例1希腊数学家丢番图（公元3—4世纪）墓碑上的记载：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.求出丢番图结婚的年龄、开始当爸爸的年龄、他儿子死时的年龄以及他去世时的年龄.
代数解法设丢番图生活的年岁为x，则x=16x+112x+17x+5+12x+4，整理此方程，得984x=9，x=84（岁）.所以，丢番图活了84岁.
构图解法画一个长方形，用构图法.图1
因为[6，12，7，2]=84，把这个长方形分成84个格，划去14格（即16），7格（即112），12格（即17）和42格（一半）后还剩下9格，占整个长方形的984，而9÷984=84.
由此可知，丢番图活到84岁，21岁结婚，38岁做父亲，80岁时死了儿子.
点评显然两种解法中，构图法别致巧妙，富有风味，耐人细细品鉴.
2关于托尔斯泰的“割草”问题
列夫·托尔斯泰（1828—1910）是俄罗斯文学家，是《战争与和平》、《安娜·卡列尼娜》、《复活》等世界文学名著的作者，据说列夫·托尔斯泰在文学工作之余对数学也很感兴趣，他喜欢这样一道算术题：
例2割草队要收割两块草地，其中一块比另一块大一倍，全队在大块草地上收割了半天之后，分为两半，一半继续留在大块草地上，另一半转移到小块草地上.留下的人到晚上就把大草地全收割完了，而小块草地上还剩一小块未割.第二天，这下剩的一小块，一个人花了一整天时间才割完.问割草队中共有几人？
托尔斯泰是怎样解这道数学题的呢？
代数解法已知大片草地是小片草地的2倍，所以小片草地占两片草地总和的13.设这组割草者共有x人，则两片草地由x人割了一天，又由一个人割了一天.若由一个人割这两片草地，则需（x+1）天，一个人割完小片草地的草需x+13天；另一方面，小片草地由x2人割了半天后还需一人割一天，相当于一个人割了（x4+1）天，因而可得方程x+13=x4+1.解得x=8（人）.所以割草队共有8人.图2
构图解法先观察图2：它表示的是整个草地的大小，从图中很容易分析出割草队总人数为：13+13+13+1316=4316=8人.所以这组割草队共有8人.
点评此题源自于托尔斯泰的秘书B·布尔卡柯夫的《列夫·托尔斯泰晚年的生活》一书，由上述构图解法不难看出：构图解法不仅数形结合，直观明了，而且通俗易懂，简洁新颖，值得重视.
3关于斯图姆的“轮船相遇”问题
例31838年瑞士数学家斯图姆（C.-F. Sturm，1803～1855）参加国际会议遇到此问题，是来自美国哈佛的朋友向他提出的：每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行7天7夜.问某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前的途中能遇上几艘从纽约开来的轮船？
算术解法设每艘轮船的速度是x海里/昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程，即为x海里.因此，同下一艘轮船相遇的时间应是x÷（x+x）=0.5（昼夜），也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘迎面驶来的轮船.那么，七昼夜一共可以遇到从对面开来的轮船7×2=14（艘），加上出港时遇到的1艘，一共有15艘轮船从对面开来.
构图解法 斯图姆用运行图巧妙地解决了这一问题，如图3所示的每条线段分别表示每条船的运行情况，加粗的线表示从哈佛开出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情形.由此可知该轮船能与对面开来的15艘轮船相会.这种运行图曾一度在运输问题中大显神通.图3
点评算术法显得简单，只要一个式子就解决问题了，但对题目意义的理解要求很高，只有充分理解题意，才能列出正确算式，否则很容易出错.然而应用了构图解法却“柳暗花明又一村”.不仅方法匠心独具，而且内涵深邃，由此可启迪学生发掘他们智慧的火花，借以点燃学生们头脑思维的火焰.
4关于“溶液”问题
例4（2014年贵州省安顺市中考题）一容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，加水充满.第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升，求每次倒出酒精的升数.
分析此题为浓度问题，加水充满表示容器中酒精溶液永远是63升，酒精溶液中含纯酒精的升数在每次倒出后都要改变.
代数解法设每次倒出x升，第一次倒出后剩下纯酒精（63-x）升，加水充满后酒精溶液的浓度是63-x63，第二次倒出纯酒精63-x63·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）-63-x63·x升.依题意得：（63-x）-63-x63·x=28，即（63-x）2=28×63，
（63-x）2=22×32×72，所以63-x=±42，所以x1=21，x2=105>63不合题意，舍去.答：每次倒出酒精21升. 图4
构图解法构造边长为（x+y）的正方形，如图4所示，易知S1=S3=xy，S2=x2，S4=y2，用正方形面积（x+y）2表示容器的容积，第一次倒出酒精的体积为S1+S2=x（x+y）.接着用水加满后，S1+S2表示水，此时容器中纯酒精与水的比为y∶x，则第二次倒出的纯酒精为S3=xy，水为S2=x2，再用水加满，最终容器里剩下的纯酒精为S4=y2=28.所以S1+S2=x（x+y）=（x+y）2-y（x+y）=63-63·28
=63-7×9×7×4=63-42=21，故每次倒出纯酒精21升.
点评此题列一元二次方程求解，方法较难，理解困难，运算量也较大.
然而构图解法却新颖别致，从解法之中可给学生们带来心智的启迪，精神的愉悦.
5关于“年龄”问题
例5我现在的岁数是我弟弟当年岁数的2倍，但我当年的岁数却与弟弟现在的岁数一样，我们两人现在的年龄之和是63岁.请问，我和弟弟现在各是多少岁？图5
构图解法如图5所示，BE是两人年龄之差.当年，我的年龄是AE时，他的年龄是CG，很明显，BE=DG，而BDGE是一个平行四边形.
由题意可以知道，CG=12AB，所以AF=CG=12AB.由于BE=DG，EF=DG，所以BF=2BE.于是AB=4BE，而CD=3BE，所以AB+CD=7BE，即63=7BE所以BE=9（岁）.因此，我和弟弟的年龄分别是36岁和27岁.
点评本题如用算术法和代数法求解均不容易，然而巧用构图法求解却别有洞天，值得欣赏和重视.
6关于“优惠”问题
例6一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游.甲旅行社说：“如父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅游算集体票，按23的原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.图6
构图解法设该家庭有x个小孩，甲、乙两旅行社的收费总金额为y甲和y乙，全票价为a，那么y甲=a+12（x+1）a（x为正整数），y乙=23（x+2）a（x为正整数），故y甲-y乙=a+12a（x+1）-23（x+2）a，所以y甲-y乙=a6（1-x），故当x>1时，y甲
点评注意自变量x的实际意义，本题中自变量x表示小孩的个数，应为自然数，所以函数图像应为离散的点而不是一条直线.这种构图法与一次函数相结合，紧扣教材，符合新课程改革的理念要求.
7关于“等分蛋糕”问题
例7（2014年浙江省温州市中考题）有一块三角形的蛋糕要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，你有办法达到要求吗？试把你的方案画出来，并加以说明.
分析实际上就是在一个三角形中作三条线段将其分成面积相等的6份.因为三角形的中线可以将原三角形分成面积相等的两部分，故本题应从三角形中线入手寻找解法.图7
构图解法如图7所示，设△ABC为一块蛋糕，在△ABC中，AE、BF、CD分别是三边上的中线，O点为中线CD、AE、BF的交点，则此时，S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.理由如下：因为AD=BD，所以
S△ACD=S△BCD，S△ADO=S△BDO.所以S△AOC=S△BOC，同理，△AOB和△BOC，△AOB和△AOC的面积也相等，又因为S△BEO=S△CEO，S△CFO=S△AFO，所以S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.即只要沿三角形蛋糕的三边中线切3刀就可达到要求.
点评将实际问题抽象成几何模型，即要求“在三角形内作三条线段，将其分成6个面积相等的部分.”由于“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分，”所以我们可以从画三角形的中线入手，充分利用“三角形等底等高必等积”进行分析和说明.
8关于“坐小火车又划船人数”问题
例8六年级学生90人去公园夏令营.53人到湖中划船，82人坐小型火车，有6人既没划船，也没坐火车.问坐小火车又划船的是多少人？图8
解析图8中构造的这两个圈分别表示划船，坐火车人数.中间重复的部分表示既划船又坐火车人数，53+82=135（人），在这135人中既包括参加坐船或做小火车一项活动人数，又包括两项都参加了的人数且重复算了这部分人数两次，而90-6=84（人）是只参加划船或坐小火车一项以及两项运动都参加了的人数的总和.所以，两项都参加的人数等于135与84的差.算式：（53+82）-（90-6）=51（人）
答：既坐小火车又划船的是51人.
点评图解方法是数和形的结合.有些应用题设置情景较为复杂，或者条件不太明显，于是，我们分析应用题时，利用直观生动的几何图形，使题中的数量关系显得具体形象，从而得出解题方法，这就是图解方法.总之，应用构图法解实际应用问题，完全符合新课程改革的理念精神，对于启迪学生思维，拓宽视野，巩固“双基”，提高综合分析问题和解决实际问题的能力大有裨益.
