椭圆中的定点和定值问题

    张晓帆

    

    在椭圆问题中，部分几何量和参数无关，不会随着参数大小的改变而改变，而定点和定值这两个几何量和参数无关，这就构成了椭圆中的定点和定值问题。

    解决此类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，然后根据等式恒成立、等式变形、数式变换等寻找不受参数影响的量。解决椭圆定点定值问题不仅能培养学生科学探究和逻辑思维的能力以及科学的学习态度和坚持不懈的学科精神，也培养了学生勇于创新、求真求实的思想品质。本文给出椭圆中定点和定值问题的解题策略，希望对广大师生有所帮助。

    类型一：定点问题

    策略：合理选择参变量证明直线恒过定点问题

    评注：本题要求证明直线恒过定点问题，为了利用好两直线斜率之和为-1的条件，需设出B、C两点的坐标，从而表示出两条直线的斜率。而在设参数问题的选取上，常用的方案有两种，设直线或者设点，本题中，两者兼具，只有合理选择参数，才能减少运算量，进而求出定点的坐标。

    在本题第2小题的解题过程中，也有不少学生采用联立消去x的方法进行求解，这种方法则涵盖了斜率不存在的情况，同样值得肯定。而在课堂上，我也投影展示了这两种不同的方法，并对这两种方法进行了及时的肯定。学生在进行方法选择的同时也锻炼了自身的科学探究和逻辑思维的能力。

    反思与感悟

    要解决椭圆中的定点问题，若题设条件中给出定点坐标，则应合理选择参变量进行验证;若题设并未给出定点坐标，则首先需要确定定点的坐标，常用的方法是利用从特殊到一般的数学思想方法，先通过符合题设条件的一些特殊情况确定定点的坐标，找到这个定点，明确解决问题的方向与目标，然后再进一步探究和推导，得出一般情况下的结论。

    类型二：定值问题

    策略：用点坐标作為参变量代入化简计算定值

    例1（普陀区2018.12高三模拟）

    评注：本题探究两条直线斜率的关系，选择用椭圆上任意一点的坐标作为参变量，利用直线斜率的坐标公式，表示出两条直线的斜率，从而表示出其乘积。同时结合点坐标满足椭圆方程的条件，进而得出两条直线斜率乘积为定值的结论。解题过程中，点坐标起到了良好的过渡作用。

    本题关键在于选择点坐标作为参变量，学生也通过本题的求解锻炼了自身的科学探究和逻辑思维能力。

    反思与感悟

    定值问题的解决策略和定点问题相类似，策略是通过设参数或者取特殊情况来确定定值的大小，或者将此类问题所涉及的几何式转化成代数式抑或是三角问题，然后再进一步证明该式是恒定的。此外，定值问题和证明问题也很类似，在求证结果是定值之前，已经知道了该定值的结果。所以在进行一般推导时，应设出参数，再运用推理，而推导到最终结果时，势必会消去参数，得到需要的定值。

    编辑 谢尾合