正三角形性质补遗
杨云奎
如图1，△ABC为正三角形，P为其内部任一点，过点P分别向三角形的三边作垂线，垂足分别是D、E、F，连接PA、PB、PC.
文[1]通过研究得出：
（1）AF+BD+CE=FB+DC+EA；
（2）正△ABC被分成了6个直角三角形，这6个直角三角形的内切圆
半径依次记为r1、r2、r3、r4、r5、r6，则r1+r3+r5=r2+r4+r6.
笔者在文[1]研究的基础上又发现了三条新的结论，权作补遗.
性质1AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2；
性质2四边形AEPF、四边形BFPD与四边形CDPE都是圆内接四边形，且四边形外接圆圆心恰是一个正三角形的三个顶点；
性质3记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6，则S1+S3+S5=S2+S4+S6.
证明1.如图1，因PD、PE、PF分别垂直于BC、CA、AB，所以△AFP、△FBP、△BDP、△DCP、△CEP、△EAP都是直角三角形.
由勾股定理：AF2+BD2+CE2=（PA2-PF2）+（PB2-PD2）+（PC2-PE2）
=（PA2+PB2+PC2）-（PD2+PE2+PF2），①
FB2+DC2+EA2=（PB2-PF2）+（PC2-PD2）+（PA2-PE2）
=（PA2+PB2+PC2）-（PD2+PE2+PF2），②
比较①、②两式，即得：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2.图2
2.如图2，取PA的中点记为O1，因PE、PF分别垂直于CA、AB，
所以△AFP与△AEP是直角三角形.于是有O1A=O1P=O1E=O1F.
故点A、E、P、F四点在以O1为圆心，O1A长为半径的圆上.即四边形AEPF内接于⊙O1.
取PB、PC的中点O2、O3，类似地可以证得：四边形BFPD内接于⊙O2，四边形CDPE内接于⊙O3.
因O1、O2、O3分别是PA、PB、PC中点，所以O1O2、O2O3、O3O1分别是△PAB、△PBC、△PCA的中位线，所以有O1O2=12AB，O2O3=12BC，O3O1=12CA，因△ABC是正三角形，所以AB=BC=CA，从而O1O2=O2O3=O3O1，所以△O1O2O3是正三角形.图3
3.如图3，过点P分别作AB、BC、AC的平行线，与△ABC三边AB、BC、CA交点是R、M、Q、S、N、T.
记△PBQ的面积为S11，△PQD的面积为S12，△PDS的面积为S21，△PSC的面积为S22，△PCN的面积为S31，△PNE的面积为S32，△PET的面积为S41，△PTA
的面积为S42，△PAR的面积为S51，△PRF的面积为S52，△PFM
的面积为S61，△PMB的面积为S62.
显然：S1=S11+S12，S2=S21+S22，S3=S31+S32，
S4=S41+S42，S5=S51+S52，S6=S61+S62.
由MN∥BC，QT∥AB，RS∥AC知：四边形MBQP、NPSC、ARPT
都是平行四边形，因平行四边形的对角线平分其面积，于是有：S11=S62，S31=S22，S51=S42.
因△ABC是正三角形且MN∥BC，QT∥AB，RS∥AC易得：△PQS、△PNT、△PRM都是正三角形，而PD、PE、PF分别是正三角形△PQS、△PNT、△PRM的高，所以PD、PE、PF分别等分△PQS、△PNT、△PRM的面积.即：S12=S21，S32=S41，S52=S61.
从而S11+S12+S31+S32+S51+S52=S62+S21+S22+S41+S42+S61.
也就是：S1+S3+S5=S2+S4+S6.
参考文献
[1]吕伟波.正三角形的两个有趣性质[J].中学数学杂志，2015（6）：40.
如图1，△ABC为正三角形，P为其内部任一点，过点P分别向三角形的三边作垂线，垂足分别是D、E、F，连接PA、PB、PC.
文[1]通过研究得出：
（1）AF+BD+CE=FB+DC+EA；
（2）正△ABC被分成了6个直角三角形，这6个直角三角形的内切圆
半径依次记为r1、r2、r3、r4、r5、r6，则r1+r3+r5=r2+r4+r6.
笔者在文[1]研究的基础上又发现了三条新的结论，权作补遗.
性质1AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2；
性质2四边形AEPF、四边形BFPD与四边形CDPE都是圆内接四边形，且四边形外接圆圆心恰是一个正三角形的三个顶点；
性质3记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6，则S1+S3+S5=S2+S4+S6.
证明1.如图1，因PD、PE、PF分别垂直于BC、CA、AB，所以△AFP、△FBP、△BDP、△DCP、△CEP、△EAP都是直角三角形.
由勾股定理：AF2+BD2+CE2=（PA2-PF2）+（PB2-PD2）+（PC2-PE2）
=（PA2+PB2+PC2）-（PD2+PE2+PF2），①
FB2+DC2+EA2=（PB2-PF2）+（PC2-PD2）+（PA2-PE2）
=（PA2+PB2+PC2）-（PD2+PE2+PF2），②
比较①、②两式，即得：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2.图2
2.如图2，取PA的中点记为O1，因PE、PF分别垂直于CA、AB，
所以△AFP与△AEP是直角三角形.于是有O1A=O1P=O1E=O1F.
故点A、E、P、F四点在以O1为圆心，O1A长为半径的圆上.即四边形AEPF内接于⊙O1.
取PB、PC的中点O2、O3，类似地可以证得：四边形BFPD内接于⊙O2，四边形CDPE内接于⊙O3.
因O1、O2、O3分别是PA、PB、PC中点，所以O1O2、O2O3、O3O1分别是△PAB、△PBC、△PCA的中位线，所以有O1O2=12AB，O2O3=12BC，O3O1=12CA，因△ABC是正三角形，所以AB=BC=CA，从而O1O2=O2O3=O3O1，所以△O1O2O3是正三角形.图3
3.如图3，过点P分别作AB、BC、AC的平行线，与△ABC三边AB、BC、CA交点是R、M、Q、S、N、T.
记△PBQ的面积为S11，△PQD的面积为S12，△PDS的面积为S21，△PSC的面积为S22，△PCN的面积为S31，△PNE的面积为S32，△PET的面积为S41，△PTA
的面积为S42，△PAR的面积为S51，△PRF的面积为S52，△PFM
的面积为S61，△PMB的面积为S62.
显然：S1=S11+S12，S2=S21+S22，S3=S31+S32，
S4=S41+S42，S5=S51+S52，S6=S61+S62.
由MN∥BC，QT∥AB，RS∥AC知：四边形MBQP、NPSC、ARPT
都是平行四边形，因平行四边形的对角线平分其面积，于是有：S11=S62，S31=S22，S51=S42.
因△ABC是正三角形且MN∥BC，QT∥AB，RS∥AC易得：△PQS、△PNT、△PRM都是正三角形，而PD、PE、PF分别是正三角形△PQS、△PNT、△PRM的高，所以PD、PE、PF分别等分△PQS、△PNT、△PRM的面积.即：S12=S21，S32=S41，S52=S61.
从而S11+S12+S31+S32+S51+S52=S62+S21+S22+S41+S42+S61.
也就是：S1+S3+S5=S2+S4+S6.
参考文献
[1]吕伟波.正三角形的两个有趣性质[J].中学数学杂志，2015（6）：40.
