实际问题中的“角”
孟坤
运用直角三角形的知识解决实际问题的应用题是近几年来中考的热点题型，在这些题目中，有许多都与“角”有着密不可分的关系. 举例说明如下.1仰角和俯角
在进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角（如图1）.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可记为“上仰下俯”.
例1（2015年青岛）如图2，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m.试问热气球离地面的高度.（结果保留整数，参考数据：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710）
解析作AD⊥CB的延长线于点D.
由题知：∠ACD=35°，∠ABD=45°.
在Rt△ACD中，因为∠ACD=35°，
所以tan 35°=ADCD≈710，所以CD=107AD.
在Rt△ABD中，因为∠ABD=45°，tan 45°=ADBD=1，
所以BD=AD，因为BC=CD-DB=100，
所以107AD-AD=100，解得AD≈233m.
答：热气球到地面的距离约为233米.
点评本题主要考查了解直角三角形的应用——俯角（仰角）问题，解题的关键是能够借助俯角（仰角）构造直角三角形，同时结合三角函数等有关知识解直角三角形.2方向角图3
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.例如，图3中“北偏东30°”是一个方向角，又如“西北”即指“北偏西45°”.
例2（2015年辽宁营口）如图4，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北15海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值.
（参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43）图4
解析（1）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥CG于点F，
由题意知BC=30×12=15.
在Rt△CBG中，因为∠CBG=30°，所以CG=12BC=75.
因为∠DAG=90°，所以四边形ADFG是矩形，
所以GF=AD=1.5，所以CF=CG-GF=75-15=6.
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，因为∠DCF=53°，cos∠DCF=CFCD，
所以CD=CFcos 53°=635=10（海里）.
答：CD两点距离为10海里.
（2）设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合.
由题意知CE=30t，DE=15×2×t=3t，∠EDC=53°.
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，
因为sin∠EDH=EHED，所以EH=EDsin 53°=3t×45=125t，
所以在Rt△EHC中，sin∠ECD=EHCE=125t30t=225.
点评此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，有关“角”的实际问题，通过建立数学模型，在图形中准确地识别是解题的关键，同时还要注意数形结合思想的应用.3坡角
如图5，坡面与水平面的夹角（用α表示）叫做坡角；我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，即i=hl=tan α，坡度一般写成1∶ m的形式（比的前项为1，后项可以是小数），坡度不是一个角的度数，而是一个比值.图5图6
例3（2015年重庆）某水库大坝的横截面是如图6所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.已知坝高24m，坝长100m，背水坡AD的坡度i=1∶025.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝加宽3m，背水坡FH的坡度变为i=1∶15，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的15倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan 31°≈060，sin 31°≈052）
解析过点F作FM∥AD交AH于点M，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N，
则四边形DFMA为平行四边形，∠FMA=∠DAB，DF=AM=3m，FN=24m.
由题意：tan∠FMA=tan∠DAB= i =1∶025=4，
tan∠H= i =1∶15=23.
在Rt△FNH中，NH=FNtan∠H=2423=36（m），
在Rt△FNM中，MN=FNtan∠FMA=244=6（m）.
所以HM=HN-MN=36-6=30m，
所以AH=AM+HM=3+30=33m.
S梯形DAHF=12×FN×（DF+AH）=12×24×（3+33）=432（m2）.
故需要填筑的土石方共V=SL=432×100=43200（m2）.
设原计划平均每天填筑xm3，则原计划43200x天完成；
增加机械设备后，现在平均每天填筑32xm3.
根据题意列方程，得12x+（43200x-12-20）×1.5x=43200. 解得：x=600.
经检验：x=600是原分式方程的解，且满足实际意义.
答：该施工队原计划平均每天填筑600 m3的土石方.
点评本题是三角函数与分式方程的综合应用题，解题的关键是通过作辅助线，构造直角三角形，进而运用坡度及三角函数等知识求出填筑大坝需要的土石方，最后再寻找等量关系列出方程.
运用直角三角形的知识解决实际问题的应用题是近几年来中考的热点题型，在这些题目中，有许多都与“角”有着密不可分的关系. 举例说明如下.1仰角和俯角
在进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角（如图1）.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可记为“上仰下俯”.
例1（2015年青岛）如图2，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m.试问热气球离地面的高度.（结果保留整数，参考数据：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710）
解析作AD⊥CB的延长线于点D.
由题知：∠ACD=35°，∠ABD=45°.
在Rt△ACD中，因为∠ACD=35°，
所以tan 35°=ADCD≈710，所以CD=107AD.
在Rt△ABD中，因为∠ABD=45°，tan 45°=ADBD=1，
所以BD=AD，因为BC=CD-DB=100，
所以107AD-AD=100，解得AD≈233m.
答：热气球到地面的距离约为233米.
点评本题主要考查了解直角三角形的应用——俯角（仰角）问题，解题的关键是能够借助俯角（仰角）构造直角三角形，同时结合三角函数等有关知识解直角三角形.2方向角图3
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.例如，图3中“北偏东30°”是一个方向角，又如“西北”即指“北偏西45°”.
例2（2015年辽宁营口）如图4，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北15海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值.
（参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43）图4
解析（1）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥CG于点F，
由题意知BC=30×12=15.
在Rt△CBG中，因为∠CBG=30°，所以CG=12BC=75.
因为∠DAG=90°，所以四边形ADFG是矩形，
所以GF=AD=1.5，所以CF=CG-GF=75-15=6.
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，因为∠DCF=53°，cos∠DCF=CFCD，
所以CD=CFcos 53°=635=10（海里）.
答：CD两点距离为10海里.
（2）设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合.
由题意知CE=30t，DE=15×2×t=3t，∠EDC=53°.
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，
因为sin∠EDH=EHED，所以EH=EDsin 53°=3t×45=125t，
所以在Rt△EHC中，sin∠ECD=EHCE=125t30t=225.
点评此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，有关“角”的实际问题，通过建立数学模型，在图形中准确地识别是解题的关键，同时还要注意数形结合思想的应用.3坡角
如图5，坡面与水平面的夹角（用α表示）叫做坡角；我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，即i=hl=tan α，坡度一般写成1∶ m的形式（比的前项为1，后项可以是小数），坡度不是一个角的度数，而是一个比值.图5图6
例3（2015年重庆）某水库大坝的横截面是如图6所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.已知坝高24m，坝长100m，背水坡AD的坡度i=1∶025.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝加宽3m，背水坡FH的坡度变为i=1∶15，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的15倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan 31°≈060，sin 31°≈052）
解析过点F作FM∥AD交AH于点M，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N，
则四边形DFMA为平行四边形，∠FMA=∠DAB，DF=AM=3m，FN=24m.
由题意：tan∠FMA=tan∠DAB= i =1∶025=4，
tan∠H= i =1∶15=23.
在Rt△FNH中，NH=FNtan∠H=2423=36（m），
在Rt△FNM中，MN=FNtan∠FMA=244=6（m）.
所以HM=HN-MN=36-6=30m，
所以AH=AM+HM=3+30=33m.
S梯形DAHF=12×FN×（DF+AH）=12×24×（3+33）=432（m2）.
故需要填筑的土石方共V=SL=432×100=43200（m2）.
设原计划平均每天填筑xm3，则原计划43200x天完成；
增加机械设备后，现在平均每天填筑32xm3.
根据题意列方程，得12x+（43200x-12-20）×1.5x=43200. 解得：x=600.
经检验：x=600是原分式方程的解，且满足实际意义.
答：该施工队原计划平均每天填筑600 m3的土石方.
点评本题是三角函数与分式方程的综合应用题，解题的关键是通过作辅助线，构造直角三角形，进而运用坡度及三角函数等知识求出填筑大坝需要的土石方，最后再寻找等量关系列出方程.
