从“法则是无用的”说开去
蒲大勇
近日，我们在以人教版数学七年级“有理数的减法”为课例的“运算能力”研讨活动上，一位教师谈了自己的观点：法则是无用的，并强调法则教学用不着那么“劳神费力”.他曾做过试验：教学前，用“7-5=？”作测试题，班上所有学生都做对了，但是在教学有理数减法法则后，再次把此题作为测试题，结果有近20%的学生出错，包括个别优生，当然更有中等生.他分析认为：学生未学有理数减法法则前，直接用小学的方法解决，用不着“转化”，对学生而言，这是非常简单的.而学习有理数的减法法则后，计算“7-5=？”要经历三步，第一步，用有理数减法法则把减法转化为加法，即7-5=7+（-5）；第二步，用有理数加法法则，先判断结果的符号，这里用“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号”，即7-5=7+（-5）=+（ ）；第三步，继续用有理数加法法则，“用较大的绝对值减去较小的绝对值”，即7-5=7+（-5）=+（7-5）=2；在这个过程中，学生经历了“减法改为加法，判断结果的符号，再回到减法”的过程，可以说整个计算过程由于意义抽象、程序复杂、步骤繁琐，加上符号干扰，导致学生把以前做得对的简单题做错了，这样看来“法则是无用的”.
我们姑且不讨论“法则是否有用”“法则的用处有多大”等问题，先看看什么是法则？在讨论法则之前，我们不可回避地说说什么是运算，何谓运算？数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量.运算的本质是集合之间的映射.比如，减法就是从一个数量中减去另一个数量的运算；或者说，已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算.又如，乘法是求几个相同加数的和的简便运算.再来看看何谓法则？法则是道家哲学术语，《黄帝四经》中说：“道生法.”按照《现代汉语词典》的解释，法则是规律，规则；具体到运算的法则，是指从运算意义出发，通过一系列具体实例，抽象概括出具有一般性的、合理的、简便的运算规律或运算规则.法则一般是用文字概括说明运算的方法及步骤，是运算的根据和操作指令.比如，减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，规定了在进行减法运算时，所要遵循的一般性规则.可以说，运算解决“是什么”的问题，法则解决“怎么办”的问题.进一步地说，法则是一种规则，它体现某种运算的规律；法则是一种方法，它体现进行某种运算的具体操作指令；法则是一个结论，它是运算规律的深化；法则是一个过程，它规定着运算过程的程序与步骤.那么，法则在运算过程中有怎样的地位与作用呢？首先，法则是运算的依据.在具体运算过程中，这一步为什么要这样算，而不能那样算，算了这一步，接下来又该怎么算，这背后的根据就是运算法则.只有学生理解、掌握了法则，才能做到算得“有理有据”.其次，法则可以简化运算过程.法则是一种操作指令.学生运算时只要按照这个指令具体操作，不用多思考，就能立即作出正确的反应，所以，法则可以简化运算过程.学生对运算法则掌握得越牢固，运用得越熟练，运算的正确率就越高，速度就越快，因此，运算法则可以说是运算的法宝.第三，法则是学生运算能力发展的基础.《数学课程标准（2011年版）》指出：运算能力主要是能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.因此，法则是是学生运算能力发展的基础.学生只有在理解、掌握了法则后，才可能正确灵活地进行运算.第四，法则是提升学生数学素养的有效载体之一.数学素养是数学知识、数学思维、数学能力、数学思想、数学方法的综合体.法则本身包含数学知识，展现数学方法，隐含数学思想，过程体现数学思维，学生应用法则的过程就是发展思维能力、语言表达能力和提高运算能力的过程.
如何进行法则教学呢？从课堂观察看，法则教学有三重境界，这三重境界可以用一段充满禅机的语言来概括：看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山还是山，看水还是水.
第一重境界 “看山是山，看水是水”，即鹦鹉学舌，“就法则教学法则”，按照法则规定的步骤、程序要求学生理解法则、记忆法则、应用法则，在具体应用时要求学生原原本本、一成不变地遵循法则的操作指令进行运算.这种教学境界，学生只能从“形”——法则规定的操作指令或步骤理解、掌握法则，不能从“神”——法则本身所蕴含的数学本质理解法则，也就不能做到前后数学知识的融会贯通，更不能从数学思想的高度引导学生理解、掌握、应用法则.还是以有理数的减法法则教学为例，处于这种境界的教学，一般都会按照如下步骤进行——
活动一 导入：观察温度计上的刻度（一般一个正数，一个负数），引导学生比较正数比负数多多少.
活动二 推导：通过活动一，得到一个减法算式和一个加法算式，再通过比较减法与加法算式的异同点，特别是减法变为加法的过程.
活动三 归纳：在活动二的基础上，归纳出“减去一个数，等于加上这个数的相反数”这个法则.
活动四 理解：强调应用有理数减法法则的步骤、程序.
活动五 巩固：出示例题、练习题（一般在20个左右）反复操练法则的步骤、程序.
这种教学是一种“知识本位”，以学生“牢记法则”为目的，为达成这个目标通过“练题”来巩固法则，整个过程忽略了学生思维培养，教师牵着学生思维的鼻子亦步亦趋，学生没有思考的时间和空间，也就没有真正的思维活动.当学生再次遇见类似“7-5=？”的计算时，反而不会想起也不敢用小学的方法加以解决，只能“套用”新法则.这种割裂前后知识的联系，“只见树木，不见森林”的做法，只会让学生感到学习法则的累赘，加重了学生学习的负担.同时，这种机械模仿、套用法则的做法，也会遏制学生创新能力的发展，不利于学生的进一步发展.从这个角度来说，法则的确是无用的.
第二重境界 “看山不是山，看水不是水”，即有法之术，“法则只是个例子”，通过这个例子理清法则所涉及到的前后知识，所蕴含的数学思想.这种教学境界力求做到“形神兼备”，学生不仅从“形”上把握法则，更重要的是能从“神”上领会法则，不局限于套用法则，而是能够依据法则，灵活选用解决问题的方法.在有理数的减法法则教学中，不局限于学生对有理数减法法则的理解、掌握上，会让学生充分讨论如下问题：
问题1 减法的意义是什么？减法与加法有怎样的关系？（意图：让学生理解减法运算的本质；通过两种运算的关系让学生理解减法与加法互为逆运算）
问题2 举例解释小学学习减法的局限性.（意图：让学生理解学习有理数减法的必要性；让学生理解初中的有理数减法与小学的减法的联系与区别）
问题3 用多种方法计算“7-5=？”.（意图：通过学生尝试多种算法，引导学生理解计算方法的多样性，再通过比较几种算法，让学生选择合适、简便的算法）
这种教学以“能力立意”，以法则为链条，不仅关注法则，更重要的是从运算入手，注重从减法的意义、减法与加法的关系设计教学；注重疏通法则涉及到的小学与初中的联系；注重法则应用的优化.整个过程关注学生整体知识的建构，有利于学生认知结构的单元的形成，从而形成结构性知识.当学生再次遇见类似“7-5=？”的计算时，不仅知道应用小学的办法解决，也知道可以用初中的办法，更知道用小学的办法解决更简单.无论哪种计算方式，法则的“图式”都会在学生“脑海中”再现，这种有意无意的法则“图式”的再现，就是法则的“魅力”，从这个角度说，法则是有用的.
第三重境界 “看山还是山，看水还是水”，即无法之境，“跳出法则教学法则”，心中有法则，手中无法则.这种教学境界力求做到“内外兼修”，以“育人”为目的，关注学生个体内在修养、文化内涵的提升，培养学生的创新意识和应用能力.“法则”这个知识是外在的，仅是学习的一个载体，学习空间由课内拓展到课外，学习深度由数学知识提升到数学文化，学习过程由知识的传授演变为探究数学知识的发生、发展过程.在有理数的减法法则教学中有如下创意设计：
课前：
1.上网收集、整理有关有理数减法法则的知识；
2.查阅有关文献，欣赏数学家探究有理数减法法则的发生、发展过程.
课中：
1.汇报交流课前的整理成果；
2.从有理数加法与减法的内在关系探究有理数的减法法则；
3.探究有理数减法法则涉及到的数学思想；
4.创编运用有理数减法法则解决实际问题的应用题.
课后：
1.以四人为小组合作开展有关有理数减法法则的小课题研究；
2.撰写一篇有理数减法法则的数学小论文.
此时的课堂就是“课程”，让学生充分感知、理解“为什么学、学什么、怎么学、学到什么程度”等哲学问题，学生的学习是一种“内源性”学习.这里以关注学生“素养”的提升为核心，既有对资料收集、整理等一般性素养的关照，也有现代人必备的合作交流、研究学习等核心素养的培养；既有注重学生个体的观察、辨析、抽象、归纳、推理等学科的基础性素养培养，也有注重学生追根溯源探究数学原理、应用数学知识解决实际问题等学科的发展性素养塑造.整个过程充分发挥学生的主观能动性，问题由学生发现、办法由学生提出、法则由学生归纳，教师始终是学生学习的引导者、组织者、服务者，良好学习氛围的营造者，学生是学习的主动参与者、知识的建构者、自身能力发展的进步者.此时的法则仅是实施教育教学行为的载体，从这个角度来看，法则既是无用的，也是有用的.
其实，法则教学就是要追求达到艺术境界，要出神入化、应用自如，要从“有法之术”，达到“无法之境”.
近日，我们在以人教版数学七年级“有理数的减法”为课例的“运算能力”研讨活动上，一位教师谈了自己的观点：法则是无用的，并强调法则教学用不着那么“劳神费力”.他曾做过试验：教学前，用“7-5=？”作测试题，班上所有学生都做对了，但是在教学有理数减法法则后，再次把此题作为测试题，结果有近20%的学生出错，包括个别优生，当然更有中等生.他分析认为：学生未学有理数减法法则前，直接用小学的方法解决，用不着“转化”，对学生而言，这是非常简单的.而学习有理数的减法法则后，计算“7-5=？”要经历三步，第一步，用有理数减法法则把减法转化为加法，即7-5=7+（-5）；第二步，用有理数加法法则，先判断结果的符号，这里用“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号”，即7-5=7+（-5）=+（ ）；第三步，继续用有理数加法法则，“用较大的绝对值减去较小的绝对值”，即7-5=7+（-5）=+（7-5）=2；在这个过程中，学生经历了“减法改为加法，判断结果的符号，再回到减法”的过程，可以说整个计算过程由于意义抽象、程序复杂、步骤繁琐，加上符号干扰，导致学生把以前做得对的简单题做错了，这样看来“法则是无用的”.
我们姑且不讨论“法则是否有用”“法则的用处有多大”等问题，先看看什么是法则？在讨论法则之前，我们不可回避地说说什么是运算，何谓运算？数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量.运算的本质是集合之间的映射.比如，减法就是从一个数量中减去另一个数量的运算；或者说，已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算.又如，乘法是求几个相同加数的和的简便运算.再来看看何谓法则？法则是道家哲学术语，《黄帝四经》中说：“道生法.”按照《现代汉语词典》的解释，法则是规律，规则；具体到运算的法则，是指从运算意义出发，通过一系列具体实例，抽象概括出具有一般性的、合理的、简便的运算规律或运算规则.法则一般是用文字概括说明运算的方法及步骤，是运算的根据和操作指令.比如，减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，规定了在进行减法运算时，所要遵循的一般性规则.可以说，运算解决“是什么”的问题，法则解决“怎么办”的问题.进一步地说，法则是一种规则，它体现某种运算的规律；法则是一种方法，它体现进行某种运算的具体操作指令；法则是一个结论，它是运算规律的深化；法则是一个过程，它规定着运算过程的程序与步骤.那么，法则在运算过程中有怎样的地位与作用呢？首先，法则是运算的依据.在具体运算过程中，这一步为什么要这样算，而不能那样算，算了这一步，接下来又该怎么算，这背后的根据就是运算法则.只有学生理解、掌握了法则，才能做到算得“有理有据”.其次，法则可以简化运算过程.法则是一种操作指令.学生运算时只要按照这个指令具体操作，不用多思考，就能立即作出正确的反应，所以，法则可以简化运算过程.学生对运算法则掌握得越牢固，运用得越熟练，运算的正确率就越高，速度就越快，因此，运算法则可以说是运算的法宝.第三，法则是学生运算能力发展的基础.《数学课程标准（2011年版）》指出：运算能力主要是能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.因此，法则是是学生运算能力发展的基础.学生只有在理解、掌握了法则后，才可能正确灵活地进行运算.第四，法则是提升学生数学素养的有效载体之一.数学素养是数学知识、数学思维、数学能力、数学思想、数学方法的综合体.法则本身包含数学知识，展现数学方法，隐含数学思想，过程体现数学思维，学生应用法则的过程就是发展思维能力、语言表达能力和提高运算能力的过程.
如何进行法则教学呢？从课堂观察看，法则教学有三重境界，这三重境界可以用一段充满禅机的语言来概括：看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山还是山，看水还是水.
第一重境界 “看山是山，看水是水”，即鹦鹉学舌，“就法则教学法则”，按照法则规定的步骤、程序要求学生理解法则、记忆法则、应用法则，在具体应用时要求学生原原本本、一成不变地遵循法则的操作指令进行运算.这种教学境界，学生只能从“形”——法则规定的操作指令或步骤理解、掌握法则，不能从“神”——法则本身所蕴含的数学本质理解法则，也就不能做到前后数学知识的融会贯通，更不能从数学思想的高度引导学生理解、掌握、应用法则.还是以有理数的减法法则教学为例，处于这种境界的教学，一般都会按照如下步骤进行——
活动一 导入：观察温度计上的刻度（一般一个正数，一个负数），引导学生比较正数比负数多多少.
活动二 推导：通过活动一，得到一个减法算式和一个加法算式，再通过比较减法与加法算式的异同点，特别是减法变为加法的过程.
活动三 归纳：在活动二的基础上，归纳出“减去一个数，等于加上这个数的相反数”这个法则.
活动四 理解：强调应用有理数减法法则的步骤、程序.
活动五 巩固：出示例题、练习题（一般在20个左右）反复操练法则的步骤、程序.
这种教学是一种“知识本位”，以学生“牢记法则”为目的，为达成这个目标通过“练题”来巩固法则，整个过程忽略了学生思维培养，教师牵着学生思维的鼻子亦步亦趋，学生没有思考的时间和空间，也就没有真正的思维活动.当学生再次遇见类似“7-5=？”的计算时，反而不会想起也不敢用小学的方法加以解决，只能“套用”新法则.这种割裂前后知识的联系，“只见树木，不见森林”的做法，只会让学生感到学习法则的累赘，加重了学生学习的负担.同时，这种机械模仿、套用法则的做法，也会遏制学生创新能力的发展，不利于学生的进一步发展.从这个角度来说，法则的确是无用的.
第二重境界 “看山不是山，看水不是水”，即有法之术，“法则只是个例子”，通过这个例子理清法则所涉及到的前后知识，所蕴含的数学思想.这种教学境界力求做到“形神兼备”，学生不仅从“形”上把握法则，更重要的是能从“神”上领会法则，不局限于套用法则，而是能够依据法则，灵活选用解决问题的方法.在有理数的减法法则教学中，不局限于学生对有理数减法法则的理解、掌握上，会让学生充分讨论如下问题：
问题1 减法的意义是什么？减法与加法有怎样的关系？（意图：让学生理解减法运算的本质；通过两种运算的关系让学生理解减法与加法互为逆运算）
问题2 举例解释小学学习减法的局限性.（意图：让学生理解学习有理数减法的必要性；让学生理解初中的有理数减法与小学的减法的联系与区别）
问题3 用多种方法计算“7-5=？”.（意图：通过学生尝试多种算法，引导学生理解计算方法的多样性，再通过比较几种算法，让学生选择合适、简便的算法）
这种教学以“能力立意”，以法则为链条，不仅关注法则，更重要的是从运算入手，注重从减法的意义、减法与加法的关系设计教学；注重疏通法则涉及到的小学与初中的联系；注重法则应用的优化.整个过程关注学生整体知识的建构，有利于学生认知结构的单元的形成，从而形成结构性知识.当学生再次遇见类似“7-5=？”的计算时，不仅知道应用小学的办法解决，也知道可以用初中的办法，更知道用小学的办法解决更简单.无论哪种计算方式，法则的“图式”都会在学生“脑海中”再现，这种有意无意的法则“图式”的再现，就是法则的“魅力”，从这个角度说，法则是有用的.
第三重境界 “看山还是山，看水还是水”，即无法之境，“跳出法则教学法则”，心中有法则，手中无法则.这种教学境界力求做到“内外兼修”，以“育人”为目的，关注学生个体内在修养、文化内涵的提升，培养学生的创新意识和应用能力.“法则”这个知识是外在的，仅是学习的一个载体，学习空间由课内拓展到课外，学习深度由数学知识提升到数学文化，学习过程由知识的传授演变为探究数学知识的发生、发展过程.在有理数的减法法则教学中有如下创意设计：
课前：
1.上网收集、整理有关有理数减法法则的知识；
2.查阅有关文献，欣赏数学家探究有理数减法法则的发生、发展过程.
课中：
1.汇报交流课前的整理成果；
2.从有理数加法与减法的内在关系探究有理数的减法法则；
3.探究有理数减法法则涉及到的数学思想；
4.创编运用有理数减法法则解决实际问题的应用题.
课后：
1.以四人为小组合作开展有关有理数减法法则的小课题研究；
2.撰写一篇有理数减法法则的数学小论文.
此时的课堂就是“课程”，让学生充分感知、理解“为什么学、学什么、怎么学、学到什么程度”等哲学问题，学生的学习是一种“内源性”学习.这里以关注学生“素养”的提升为核心，既有对资料收集、整理等一般性素养的关照，也有现代人必备的合作交流、研究学习等核心素养的培养；既有注重学生个体的观察、辨析、抽象、归纳、推理等学科的基础性素养培养，也有注重学生追根溯源探究数学原理、应用数学知识解决实际问题等学科的发展性素养塑造.整个过程充分发挥学生的主观能动性，问题由学生发现、办法由学生提出、法则由学生归纳，教师始终是学生学习的引导者、组织者、服务者，良好学习氛围的营造者，学生是学习的主动参与者、知识的建构者、自身能力发展的进步者.此时的法则仅是实施教育教学行为的载体，从这个角度来看，法则既是无用的，也是有用的.
其实，法则教学就是要追求达到艺术境界，要出神入化、应用自如，要从“有法之术”，达到“无法之境”.
