迪尼斯理论下融合信息技术的“旋转”教学设计
丰梦婷+徐章韬
数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心[1].学生只有建构起正确的数学概念，才能为后续数学知识的学习打下坚实的基础.因此，如何有效地开展数学概念的教学是一个值得深思的问题.概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习，而是要帮助学生获得概念的心理意义，即形成概念内涵的心理表象，或者说建构起良好的概念图式[2].用英国哲学家罗素的话说：“凡是你教的东西，要教得透彻.”换言之，教师须深刻剖析概念中关键字、词、句，从而引导学生深入理解概念.迪尼斯教授基于自身在数学教育和心理学学习中的兴趣和经验，研究出了数学教学的一个体系，以使数学更加有趣味、更容易学习.在他的《数学的建立》一书中，迪尼斯教授系统地阐述了他对数学教育的看法.他把数学看作是对结构的研究、对结构的分类、区分结构中的关系，以及对结构之间的关系进行分类.迪尼斯的“阶段论”对数学概念的教学具有重要的指导意义，在信息技术支持下，更能彰显这种作用.
1 迪尼斯理论
迪尼斯认为，数学概念必须按渐进的一些阶段学习，他假定了学习数学概念的六个阶段：自由活动阶段、游戏阶段、探究共有性阶段、复现阶段、使用符号阶段、定形化阶段.
第一阶段：自由活动阶段 教师准备丰富的材料以引导学生对要学习的概念的一些具体和抽象的表征部分进行动手操作和实验，促使他们初步体验这个新概念的一些组成部分.在此过程中，学生构成智力结构及态度，为理解概念的数学结构做好准备.
第二阶段：游戏阶段 学生进一步对要学习的数学概念进行实验和操作，开始观察并发现概念里的典型和规律性.通过各种含有概念不同表征的游戏，逐步发现它的逻辑原理.
第三阶段：探究共有性阶段 教师通过有关概念的具体例子帮助学生寻找每个例子中的公共原理.不同的例子是概念的不同表征，因此，例子中的公共原理是概念不同表征共有的数学结构.
第四阶段：复现阶段 学生复现包含在每个例子中的所有公共原理，通过复现，学生更接近于去理解隐藏在概念中的抽象数学结构.
第五阶段：使用符号阶段 学生在教师的适当干预下选择恰当的符号体系来描述概念的表征，在学生头脑中建构良好的概念图式.
第六阶段：定形化阶段 学生习得概念，灵活运用概念解决数学问题.
迪尼斯特别指出，游戏是概念学习六个阶段中不可或缺的一个阶段，是学习数学概念的一个重要工具，他把游戏划分为无领导的“预备游戏”、“有组织的游戏”以及“实践游戏”，在概念学习的不同时期，有效运用不同类型的游戏可以达到事半功倍的效果.
2 基于迪尼斯理论的“旋转”的教学设计
2.1 自由活动阶段——激活已有认知经验
师：请同学们充分发挥自己的想象，如果世界上所有的物体都停止了转动，那么我们生活的世界会发生怎样的变化？
生：电扇不能用了，钟表停了，门没办法开了，不能坐旋转木马了......
用多媒体课件展示日常生活中常见的旋转现象：风扇的转动，门的开关，钟面指针的转动.
师：以上这些现象有什么共同特点？
师：如果我们把风扇、门、钟这些物品看成一个图形，像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心.旋转现象在我们的日常生活中随处可见，请每位同学根据自己的理解给同桌表演一种旋转现象.
选几位有代表性的同学上台展示.
设计意图 学生在小学阶段已经学习过旋转，能初步从整体上识别旋转现象，同时，学生也在日常生活中潜移默化地积累了一些关于旋转的数学经验，对于生活中常见的旋转现象比较熟悉，在充分把握学生已有认知经验的基础上，教师首先通过逆向设问，唤醒学生的感性经验，但是对于旋转，在小学阶段未曾进行严格的定义，因此，首先引导学生观察一系列旋转现象，寻找其中的共同特点，自然而然地形成旋转的概念.在对旋转有了初步认知的基础上，学生通过自己表演旋转现象这样一个动手实践的过程，有助于深化学生对旋转概念的理解.
2.2 游戏阶段——渗透概念典型规律
教师预先用几何画板制作如下课件：O，O′点是固定的两点，其中点O为旋转中心，点O′为A点和B点旋转的起始点，对A点和B点分别沿逆时针和顺时针做一个动画按钮，并度量出相应的旋转角.
点击动画按钮.
师：请同学们仔细观察，当A点和B点均绕着旋转中心O转动时，为什么A点和B点不能重合？
生：旋转的方向不同，A点绕着点O逆时针转动，B点绕着点O顺时针转动.
师：旋转方向是旋转的一大要素，与时针转动方向相同的方向称为顺时针方向，与时针转动方向相反的方向称为逆时针方向.
教师将A点和B点从O′点沿顺时针方向拖动.
师：A点和B点均绕着旋转中心O顺时针转动，为什么仍然不能重合？
生：它们转动的角度不同.
师：A点和B点从O′点开始转动，转至如图所示的位置时，所形成的角∠O′OA，∠O′OB叫做旋转角.A点、B点均是O′点的对应点.
师：旋转方向、旋转中心、旋转角度是图形旋转的三大要素，现在，请同学们用一句完整的话来描述下列旋转现象.
教师将A点、B点拖至某一角度，由学生描述A点、B点的旋转过程.
师：请同学们完整描述这两点的旋转过程.
生1：A点从O′点开始顺时针旋转60°.
生2：B点从O′点开始逆时针旋转120°.
……
由教师描述旋转过程，分别请三位同学利用几何画板进行演示，教师对学生的演示进行评价.
设计意图 点和线是几何图形中最基本的元素，从点、线入手，更接近于
学生的最近发展区，不至于让学生产生突兀感.学生通过观察、对比、分析，不难得到旋转的三大要素——旋转中心、旋转方向和旋转角度，并且通过语言的完整描述以及动手操作的双向演练，巩固对旋转三要素的理解，使学生充分感受整个旋转的过程，以及旋转的三大要素对旋转过程的影响.
2.3 探究共有性阶段——提炼蕴含公共原理
问题1：
教师预先用几何画板制作如下课件，点击动画点，△ABC即绕着旋转中心O转动.
师：△ABC绕着旋转中心O旋转，得到△A′B′C′，猜想，线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
生：OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，△ABC≌△A′B′C′，
教师拖动D点，则三角形旋转至不同的位置，选取几个不同的位置，分别用
几何画板度量出线段的长度、角度的大小，以验证学生的猜想.
师：刚刚我们的猜想是成立的，OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，那么如何证明△ABC≌△A′B′C′？
学生借助全等三角形的知识展开证明.
师：这三个等式分别对应旋转中的三大特征，如何用文字语言来描述这三大特征呢？
在教师的引导下，学生得到：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前后的图形全等.
设计意图 在本阶段，学生已经熟悉了点线的旋转以及旋转的三大要素，本阶段旨在让学生理解旋转的三大特征，这也是旋转一节教学的难点所在，三角形是最简单的几何图形，借助几何画板，将三角形旋转至不同的位置，通过度量长度和角度，以验证学生的猜想.学生通过观察、猜想、证明，自然而然地得到三大特征.
2.4 复现阶段——深入挖掘数学结构
问题2：
师：请同学们在方格纸上画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的图形.
师：先找出旋转的三要素，再利用旋转的三大特征.
在陆续有同学完成作图后，教师总结步骤.
师：①先找出旋转的三要素：旋转中心——O；旋转方向——顺时针；旋转角度——90°；
②根据对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角这两大特征，先描绘出对应点，再由旋转前后的图形全等，将对应点进行连线即可.
在总结步骤的同时，教师借助几何画板进行操作.
问题3：
师：请同学们画出矩形ABCO绕点O逆时针旋转90°后的图形.
设计意图 问题2的设计是旋转的要素及特征的灵活运用，通过前面的动手操作以及观察、猜想、分析、归纳等一系列思维活动，部分学生能运用旋转的特征画出旋转后的图形，教师具体操作，并总结作图步骤，再设计问题3，进行巩固练习.
2.5 使用符号阶段——建构良好概念图式
师：请同学们合上书本，用自己喜欢的图形把我们这节课你所学到的知识点写出来.
选取几个完整且有特色的小结进行展示.
设计意图 课堂小结是对一堂课数学知识、思想方法的总结，在实际教学过程中往往因为时间紧凑被忽略，但是，进行课堂小结有助于学生理清本节课知识主干及其联系，而使用自己喜欢的图形进行描述，则能使其印象更加深刻.
2.6 定形化阶段——拓展延伸感性经验
师：把一个图案进行旋转，选择不同的中心和旋转角，会出现不同的效果.
旋转中心不变，改变旋转角度（图7）：
旋转角度不变，改变旋转中心（图8）：
利用几何画板展示简单图案通过旋转变成美丽图案的过程，并要求学生课后利用旋转设计一个美丽的图案（图9）.
设计意图 通过动态演示美丽图案的形成过程，使学生发现数学美，感受数学美，同时，学生对于旋转的感性认识不再局限于生活中一些常见的旋转现象，拓展延伸了学生的感性经验.
3 教学反思与探讨
3.1 有效运用动手实践
维果茨基的研究表明，学生将要学习的数学概念与学生认知结构中已有的观念之间存在一个最近发展区，顺利渡过最近发展区是建构起良好概念图式的关键.动手实践作为一种教学方式，可以为抽象概念的学习提供经验，为理解将要学习的数学概念做好准备，为发现概念的逻辑原理提供铺垫.数学教学中有效运用动手实践，顺应了学生的认知发展规律和学习心理，通过动手操作，学生经历了数学概念的形成过程，使得最近发展区顺利过渡，因此，在进行数学概念教学时，动手实践是一种良好的辅助教学方式.
3.2 亲历概念形成过程
迪尼斯指出，学生学习数学概念必须经历一个固定的自然过程.学生对于直接被呈现的数学概念只有生硬地了解，只有当教师引导学生经历概念的整个形成过程时，学生才能一环紧扣一环地思考，从而深入理解概念，感悟概念本质，建构良好概念图式.同时，在展现过程的概念教学中，学生拥有更多独立思考的机会，因此，亲历概念的形成过程，也有助于锻炼学生的数学思维，提高学生的数学能力.而教师在教学过程中适当使用信息技术，概念的整个形成过程的呈现则显得更加流畅，对学生深入透彻地理解概念不无裨益.
参考文献
[1] 刘华祥.中学数学教学论[M].武汉：武汉大学出版社，2003.8：112.
[2] [美]贝尔著，许振声等译.中学数学的教与学[M].北京：人民教育出版社，2001.
数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心[1].学生只有建构起正确的数学概念，才能为后续数学知识的学习打下坚实的基础.因此，如何有效地开展数学概念的教学是一个值得深思的问题.概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习，而是要帮助学生获得概念的心理意义，即形成概念内涵的心理表象，或者说建构起良好的概念图式[2].用英国哲学家罗素的话说：“凡是你教的东西，要教得透彻.”换言之，教师须深刻剖析概念中关键字、词、句，从而引导学生深入理解概念.迪尼斯教授基于自身在数学教育和心理学学习中的兴趣和经验，研究出了数学教学的一个体系，以使数学更加有趣味、更容易学习.在他的《数学的建立》一书中，迪尼斯教授系统地阐述了他对数学教育的看法.他把数学看作是对结构的研究、对结构的分类、区分结构中的关系，以及对结构之间的关系进行分类.迪尼斯的“阶段论”对数学概念的教学具有重要的指导意义，在信息技术支持下，更能彰显这种作用.
1 迪尼斯理论
迪尼斯认为，数学概念必须按渐进的一些阶段学习，他假定了学习数学概念的六个阶段：自由活动阶段、游戏阶段、探究共有性阶段、复现阶段、使用符号阶段、定形化阶段.
第一阶段：自由活动阶段 教师准备丰富的材料以引导学生对要学习的概念的一些具体和抽象的表征部分进行动手操作和实验，促使他们初步体验这个新概念的一些组成部分.在此过程中，学生构成智力结构及态度，为理解概念的数学结构做好准备.
第二阶段：游戏阶段 学生进一步对要学习的数学概念进行实验和操作，开始观察并发现概念里的典型和规律性.通过各种含有概念不同表征的游戏，逐步发现它的逻辑原理.
第三阶段：探究共有性阶段 教师通过有关概念的具体例子帮助学生寻找每个例子中的公共原理.不同的例子是概念的不同表征，因此，例子中的公共原理是概念不同表征共有的数学结构.
第四阶段：复现阶段 学生复现包含在每个例子中的所有公共原理，通过复现，学生更接近于去理解隐藏在概念中的抽象数学结构.
第五阶段：使用符号阶段 学生在教师的适当干预下选择恰当的符号体系来描述概念的表征，在学生头脑中建构良好的概念图式.
第六阶段：定形化阶段 学生习得概念，灵活运用概念解决数学问题.
迪尼斯特别指出，游戏是概念学习六个阶段中不可或缺的一个阶段，是学习数学概念的一个重要工具，他把游戏划分为无领导的“预备游戏”、“有组织的游戏”以及“实践游戏”，在概念学习的不同时期，有效运用不同类型的游戏可以达到事半功倍的效果.
2 基于迪尼斯理论的“旋转”的教学设计
2.1 自由活动阶段——激活已有认知经验
师：请同学们充分发挥自己的想象，如果世界上所有的物体都停止了转动，那么我们生活的世界会发生怎样的变化？
生：电扇不能用了，钟表停了，门没办法开了，不能坐旋转木马了......
用多媒体课件展示日常生活中常见的旋转现象：风扇的转动，门的开关，钟面指针的转动.
师：以上这些现象有什么共同特点？
师：如果我们把风扇、门、钟这些物品看成一个图形，像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心.旋转现象在我们的日常生活中随处可见，请每位同学根据自己的理解给同桌表演一种旋转现象.
选几位有代表性的同学上台展示.
设计意图 学生在小学阶段已经学习过旋转，能初步从整体上识别旋转现象，同时，学生也在日常生活中潜移默化地积累了一些关于旋转的数学经验，对于生活中常见的旋转现象比较熟悉，在充分把握学生已有认知经验的基础上，教师首先通过逆向设问，唤醒学生的感性经验，但是对于旋转，在小学阶段未曾进行严格的定义，因此，首先引导学生观察一系列旋转现象，寻找其中的共同特点，自然而然地形成旋转的概念.在对旋转有了初步认知的基础上，学生通过自己表演旋转现象这样一个动手实践的过程，有助于深化学生对旋转概念的理解.
2.2 游戏阶段——渗透概念典型规律
教师预先用几何画板制作如下课件：O，O′点是固定的两点，其中点O为旋转中心，点O′为A点和B点旋转的起始点，对A点和B点分别沿逆时针和顺时针做一个动画按钮，并度量出相应的旋转角.
点击动画按钮.
师：请同学们仔细观察，当A点和B点均绕着旋转中心O转动时，为什么A点和B点不能重合？
生：旋转的方向不同，A点绕着点O逆时针转动，B点绕着点O顺时针转动.
师：旋转方向是旋转的一大要素，与时针转动方向相同的方向称为顺时针方向，与时针转动方向相反的方向称为逆时针方向.
教师将A点和B点从O′点沿顺时针方向拖动.
师：A点和B点均绕着旋转中心O顺时针转动，为什么仍然不能重合？
生：它们转动的角度不同.
师：A点和B点从O′点开始转动，转至如图所示的位置时，所形成的角∠O′OA，∠O′OB叫做旋转角.A点、B点均是O′点的对应点.
师：旋转方向、旋转中心、旋转角度是图形旋转的三大要素，现在，请同学们用一句完整的话来描述下列旋转现象.
教师将A点、B点拖至某一角度，由学生描述A点、B点的旋转过程.
师：请同学们完整描述这两点的旋转过程.
生1：A点从O′点开始顺时针旋转60°.
生2：B点从O′点开始逆时针旋转120°.
……
由教师描述旋转过程，分别请三位同学利用几何画板进行演示，教师对学生的演示进行评价.
设计意图 点和线是几何图形中最基本的元素，从点、线入手，更接近于
学生的最近发展区，不至于让学生产生突兀感.学生通过观察、对比、分析，不难得到旋转的三大要素——旋转中心、旋转方向和旋转角度，并且通过语言的完整描述以及动手操作的双向演练，巩固对旋转三要素的理解，使学生充分感受整个旋转的过程，以及旋转的三大要素对旋转过程的影响.
2.3 探究共有性阶段——提炼蕴含公共原理
问题1：
教师预先用几何画板制作如下课件，点击动画点，△ABC即绕着旋转中心O转动.
师：△ABC绕着旋转中心O旋转，得到△A′B′C′，猜想，线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
生：OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，△ABC≌△A′B′C′，
教师拖动D点，则三角形旋转至不同的位置，选取几个不同的位置，分别用
几何画板度量出线段的长度、角度的大小，以验证学生的猜想.
师：刚刚我们的猜想是成立的，OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，那么如何证明△ABC≌△A′B′C′？
学生借助全等三角形的知识展开证明.
师：这三个等式分别对应旋转中的三大特征，如何用文字语言来描述这三大特征呢？
在教师的引导下，学生得到：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前后的图形全等.
设计意图 在本阶段，学生已经熟悉了点线的旋转以及旋转的三大要素，本阶段旨在让学生理解旋转的三大特征，这也是旋转一节教学的难点所在，三角形是最简单的几何图形，借助几何画板，将三角形旋转至不同的位置，通过度量长度和角度，以验证学生的猜想.学生通过观察、猜想、证明，自然而然地得到三大特征.
2.4 复现阶段——深入挖掘数学结构
问题2：
师：请同学们在方格纸上画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的图形.
师：先找出旋转的三要素，再利用旋转的三大特征.
在陆续有同学完成作图后，教师总结步骤.
师：①先找出旋转的三要素：旋转中心——O；旋转方向——顺时针；旋转角度——90°；
②根据对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角这两大特征，先描绘出对应点，再由旋转前后的图形全等，将对应点进行连线即可.
在总结步骤的同时，教师借助几何画板进行操作.
问题3：
师：请同学们画出矩形ABCO绕点O逆时针旋转90°后的图形.
设计意图 问题2的设计是旋转的要素及特征的灵活运用，通过前面的动手操作以及观察、猜想、分析、归纳等一系列思维活动，部分学生能运用旋转的特征画出旋转后的图形，教师具体操作，并总结作图步骤，再设计问题3，进行巩固练习.
2.5 使用符号阶段——建构良好概念图式
师：请同学们合上书本，用自己喜欢的图形把我们这节课你所学到的知识点写出来.
选取几个完整且有特色的小结进行展示.
设计意图 课堂小结是对一堂课数学知识、思想方法的总结，在实际教学过程中往往因为时间紧凑被忽略，但是，进行课堂小结有助于学生理清本节课知识主干及其联系，而使用自己喜欢的图形进行描述，则能使其印象更加深刻.
2.6 定形化阶段——拓展延伸感性经验
师：把一个图案进行旋转，选择不同的中心和旋转角，会出现不同的效果.
旋转中心不变，改变旋转角度（图7）：
旋转角度不变，改变旋转中心（图8）：
利用几何画板展示简单图案通过旋转变成美丽图案的过程，并要求学生课后利用旋转设计一个美丽的图案（图9）.
设计意图 通过动态演示美丽图案的形成过程，使学生发现数学美，感受数学美，同时，学生对于旋转的感性认识不再局限于生活中一些常见的旋转现象，拓展延伸了学生的感性经验.
3 教学反思与探讨
3.1 有效运用动手实践
维果茨基的研究表明，学生将要学习的数学概念与学生认知结构中已有的观念之间存在一个最近发展区，顺利渡过最近发展区是建构起良好概念图式的关键.动手实践作为一种教学方式，可以为抽象概念的学习提供经验，为理解将要学习的数学概念做好准备，为发现概念的逻辑原理提供铺垫.数学教学中有效运用动手实践，顺应了学生的认知发展规律和学习心理，通过动手操作，学生经历了数学概念的形成过程，使得最近发展区顺利过渡，因此，在进行数学概念教学时，动手实践是一种良好的辅助教学方式.
3.2 亲历概念形成过程
迪尼斯指出，学生学习数学概念必须经历一个固定的自然过程.学生对于直接被呈现的数学概念只有生硬地了解，只有当教师引导学生经历概念的整个形成过程时，学生才能一环紧扣一环地思考，从而深入理解概念，感悟概念本质，建构良好概念图式.同时，在展现过程的概念教学中，学生拥有更多独立思考的机会，因此，亲历概念的形成过程，也有助于锻炼学生的数学思维，提高学生的数学能力.而教师在教学过程中适当使用信息技术，概念的整个形成过程的呈现则显得更加流畅，对学生深入透彻地理解概念不无裨益.
参考文献
[1] 刘华祥.中学数学教学论[M].武汉：武汉大学出版社，2003.8：112.
[2] [美]贝尔著，许振声等译.中学数学的教与学[M].北京：人民教育出版社，2001.
