对数学解题“繁”与“简”的辨析与思考
钱德春
1 问题的提出
数学解题中常有这样的感受：每每发现一种简捷的方法，心里便洋溢着说不出的舒畅与愉悦.因此，不少老师在教学中总习惯于传授最简方法甚至技巧，但学生在自主解题时，感觉到自己苦思冥想的方法，却没有老师方法的简捷，于是便产生“老师真神，我怎么这么笨”的伤感.那么，学生伤感的原因何在？“简”的方法从何而来？本文拟从解题方法“繁”与“简”的辩证关系及教与学策略谈谈笔者的思考.
1.一则教学片断
案例1 在八年级数学复习课上，一位老师讲解了这样的例题：
2.一次真实的测试
上述教学片段中的方法二的确简捷，给人以畅快之感.但笔者也产生些许疑问：学生对条件的内涵能理解吗？解题教学的关注点是什么？学生解题的实际情况如何？带着这些问题，笔者将题目改为解答题，并要求写出尽可能多的解法，对一所学校八年级571名学生进行了测试与分析.学生主要解答情况：
2.2 “繁”“简”相对论
所谓“繁”“简”相对论有两层意思：一是有时思维的含量与运算、演绎和表述的总和相对一定，类似物理学中的能量守恒定律；二是同一种方法在一类问题中运用显得简捷，而在另一类问题中就显得复杂，类似于“橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳”，笔者称之为“南橘北枳”.
（1）“能量守恒”
在数学解题中有这样的体验：有时动的脑筋少，思维含量低，解题过程比较复杂而且容易出错；如果恰当运用策略、思想和方法，那么信息量大，思维含量高，但思维顺畅，正确率高.
通过表格比较发现：方法一所用知识较少、解题思路单一，思维含量小，但运算量大，容易出错，解题的心理感受差；而方法二运用知识与思想相对丰富，思维含量大，运算量小，正确率高，用物理学的定律说是“能量守恒”.但二者最大的区别在于思维与情感，后者给学习者带来心理愉悦，增强了探究兴趣，优化了思维结构.
（2）“南橘北枳”
所谓“南橘北枳”就是说，有时同一种方法在不同的问题中运用，可能产生“简”与“繁”的不同结果.
案例3 “代数法”与“数形结合法”运用于两道题的效果比较.
上述两题都是以代数形式出现的，将代数法和数形结合法同时运用于两题，却产生了不同的效果.教学就要引导学生经历这种思路拓展、方法多样、思维发散的过程，在比较中增强学生的方法感悟与情感体验，并学会灵活运用解题策略，而不是以套路和模式的训练让学生形成思维定势.
2.3 “简”取之有“道”
“简”是经历过程之后悟出的数学本质和通性通法，即所谓的“道”.这里讨论两个问题：一是如何感悟数学本质，二是通性通法对解题有何影响.
2.3.1 如何感悟数学本质
一位QQ好友在教研群里留言说：教学不要一味攻难题、求技巧，前面弄通了，后面就会水到渠成.数学追求“大道至简”，这里的“道”就是数学本质，解题的过程就是由“繁”到“简”逐渐接近数学本质的过程.因此，解题教学要引导学生经历基于追求数学本质的曲折过程，逐步优化思路与方法.
2.3.2 通性通法对解题的影响
有人把通性通法与“墨守成规”和“繁琐哲学”联系在一起，这显然是一种认识误区.通性通法就是回到数学的本源与核心，即“从基本概念、原理出发，以基础知识为依托、以基本方法为技能，按照既定的步骤，逐步推出问题和解答，解法思想顺乎一般思维规律，其具体操作过程易于为多数学生所掌握.”[1]通性通法往往是解题思路的突破口，合理运用还会取得出其不意的效果.
案例4 一道几何证明题思路剖析
如图3，△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕顶B旋转至△A′BC′位置，直线CC′与AA′相交于点D，试证明AD=A′D.
这是某地区初三模拟考试的一道试题，该市几所名校都参加了测试.经了解，只有极少数学生能证明，有学校甚至全军覆没.是什么原因导致这样的结局呢？这可以从命题者提供的参考解答里找到原因.以下是命题者提供的答案（有删减）.
与命题者提供的解答相比，思路一和思路二仍然是“通性通法”.一是知识上运用了现行课程标准与教材所要求的基本知识，如三角形的全等、等腰三角形性质、三角形中位线定理等；二是方法上是学生熟悉的“8”字型与“A”字型，过程简捷，一眼见底.案例4说明：通性通法不能与“繁琐”划等号，解法的“繁”不是通性通法的错，而是思路封闭惹的祸.应对策略就是积累解题活动经验，养成多方向、多角度思考问题的习惯，拓宽解题思路.
2.4 适合的就是最好的
课堂上，教师在进行了“一题多解”的研究之后经常向学生发问：哪个方法更好？这或许有利于学生通过反思优化思维.然而，世界上没有两片相同的树叶，“每个学生都是独特的‘这一个，他们的天赋、秉性、兴趣和爱好都存在着差异.即使是同一个学生，在其成长的不同阶段，其认知能力、兴趣爱好也不尽相同.作为教师，我们要尊重和理解学生，针对学生的差异和发展需求，寻求适合的内容和方法，使每一个学生都能学有所成.”[2]从多元智能理论和学生认知特点看，每个学生都可能有自己的思维习惯、思路倾向和学习秉赋，不同的学生对同一方法会有不同的感受.比如有学生擅长代数方法，有学生对几何法情有独钟.再好的方法如果不能让学生理解、接受并内化为学生的思维，对这个学生而言就不能算是好方法.因此，学生擅长的、便于理解、不易出错的方法就是最好的.简言之，适合的就是最好的.
参考文献
[1] 吕增锋.“通性通法”教学重在“回归自然”[J] .中学数学（高中），2013（2）：9-11.
[2] 陶继新.适合的就是最好的[N].中国教育报，20124-7.
1 问题的提出
数学解题中常有这样的感受：每每发现一种简捷的方法，心里便洋溢着说不出的舒畅与愉悦.因此，不少老师在教学中总习惯于传授最简方法甚至技巧，但学生在自主解题时，感觉到自己苦思冥想的方法，却没有老师方法的简捷，于是便产生“老师真神，我怎么这么笨”的伤感.那么，学生伤感的原因何在？“简”的方法从何而来？本文拟从解题方法“繁”与“简”的辩证关系及教与学策略谈谈笔者的思考.
1.一则教学片断
案例1 在八年级数学复习课上，一位老师讲解了这样的例题：
2.一次真实的测试
上述教学片段中的方法二的确简捷，给人以畅快之感.但笔者也产生些许疑问：学生对条件的内涵能理解吗？解题教学的关注点是什么？学生解题的实际情况如何？带着这些问题，笔者将题目改为解答题，并要求写出尽可能多的解法，对一所学校八年级571名学生进行了测试与分析.学生主要解答情况：
2.2 “繁”“简”相对论
所谓“繁”“简”相对论有两层意思：一是有时思维的含量与运算、演绎和表述的总和相对一定，类似物理学中的能量守恒定律；二是同一种方法在一类问题中运用显得简捷，而在另一类问题中就显得复杂，类似于“橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳”，笔者称之为“南橘北枳”.
（1）“能量守恒”
在数学解题中有这样的体验：有时动的脑筋少，思维含量低，解题过程比较复杂而且容易出错；如果恰当运用策略、思想和方法，那么信息量大，思维含量高，但思维顺畅，正确率高.
通过表格比较发现：方法一所用知识较少、解题思路单一，思维含量小，但运算量大，容易出错，解题的心理感受差；而方法二运用知识与思想相对丰富，思维含量大，运算量小，正确率高，用物理学的定律说是“能量守恒”.但二者最大的区别在于思维与情感，后者给学习者带来心理愉悦，增强了探究兴趣，优化了思维结构.
（2）“南橘北枳”
所谓“南橘北枳”就是说，有时同一种方法在不同的问题中运用，可能产生“简”与“繁”的不同结果.
案例3 “代数法”与“数形结合法”运用于两道题的效果比较.
上述两题都是以代数形式出现的，将代数法和数形结合法同时运用于两题，却产生了不同的效果.教学就要引导学生经历这种思路拓展、方法多样、思维发散的过程，在比较中增强学生的方法感悟与情感体验，并学会灵活运用解题策略，而不是以套路和模式的训练让学生形成思维定势.
2.3 “简”取之有“道”
“简”是经历过程之后悟出的数学本质和通性通法，即所谓的“道”.这里讨论两个问题：一是如何感悟数学本质，二是通性通法对解题有何影响.
2.3.1 如何感悟数学本质
一位QQ好友在教研群里留言说：教学不要一味攻难题、求技巧，前面弄通了，后面就会水到渠成.数学追求“大道至简”，这里的“道”就是数学本质，解题的过程就是由“繁”到“简”逐渐接近数学本质的过程.因此，解题教学要引导学生经历基于追求数学本质的曲折过程，逐步优化思路与方法.
2.3.2 通性通法对解题的影响
有人把通性通法与“墨守成规”和“繁琐哲学”联系在一起，这显然是一种认识误区.通性通法就是回到数学的本源与核心，即“从基本概念、原理出发，以基础知识为依托、以基本方法为技能，按照既定的步骤，逐步推出问题和解答，解法思想顺乎一般思维规律，其具体操作过程易于为多数学生所掌握.”[1]通性通法往往是解题思路的突破口，合理运用还会取得出其不意的效果.
案例4 一道几何证明题思路剖析
如图3，△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕顶B旋转至△A′BC′位置，直线CC′与AA′相交于点D，试证明AD=A′D.
这是某地区初三模拟考试的一道试题，该市几所名校都参加了测试.经了解，只有极少数学生能证明，有学校甚至全军覆没.是什么原因导致这样的结局呢？这可以从命题者提供的参考解答里找到原因.以下是命题者提供的答案（有删减）.
与命题者提供的解答相比，思路一和思路二仍然是“通性通法”.一是知识上运用了现行课程标准与教材所要求的基本知识，如三角形的全等、等腰三角形性质、三角形中位线定理等；二是方法上是学生熟悉的“8”字型与“A”字型，过程简捷，一眼见底.案例4说明：通性通法不能与“繁琐”划等号，解法的“繁”不是通性通法的错，而是思路封闭惹的祸.应对策略就是积累解题活动经验，养成多方向、多角度思考问题的习惯，拓宽解题思路.
2.4 适合的就是最好的
课堂上，教师在进行了“一题多解”的研究之后经常向学生发问：哪个方法更好？这或许有利于学生通过反思优化思维.然而，世界上没有两片相同的树叶，“每个学生都是独特的‘这一个，他们的天赋、秉性、兴趣和爱好都存在着差异.即使是同一个学生，在其成长的不同阶段，其认知能力、兴趣爱好也不尽相同.作为教师，我们要尊重和理解学生，针对学生的差异和发展需求，寻求适合的内容和方法，使每一个学生都能学有所成.”[2]从多元智能理论和学生认知特点看，每个学生都可能有自己的思维习惯、思路倾向和学习秉赋，不同的学生对同一方法会有不同的感受.比如有学生擅长代数方法，有学生对几何法情有独钟.再好的方法如果不能让学生理解、接受并内化为学生的思维，对这个学生而言就不能算是好方法.因此，学生擅长的、便于理解、不易出错的方法就是最好的.简言之，适合的就是最好的.
参考文献
[1] 吕增锋.“通性通法”教学重在“回归自然”[J] .中学数学（高中），2013（2）：9-11.
[2] 陶继新.适合的就是最好的[N].中国教育报，20124-7.
