辩证看待两种解法合理配置多维营养
李东
1 缘起——一种思路的意外受挫
一次单元测试，有这样一道源自课本复习参考题的改编题：
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=a，AD=2a，E是AD边上一点，nDE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）如果四边形BFEG与矩形ABCD的面积比为17∶30，求n的值.
笔者所教的初二（8）班49人中，有15人在第（2）问这样受挫：将面积比化为线段比求得EF=1715a，进而表示出AF=1315a-2na，在△ABF中由勾股定理得（1315a-2na）2+a2=（1715a）2，其中11人正确整理得到一元二次方程（还未学习）而止步，另外4人整理出错.反观那些正确获解的学生：正确求得EF后，在△ABF中先算出AF=815a，再算得AE=53a，DE=13a，从而轻松算得n=6.两种思路只是在勾股定理的用法上有区别，但效果反差很大，给人的表象是受挫的学生运算能力或变通（可以回避一元二次方程）意识较差，而正确获解的学生更灵活.
2 分析——两种思路的思维层次
2.1 两种思路的思维层次识别
文[1]将求解代数问题的解法分为程序性解法和结构性解法.程序性解法是指解题途径呈明显的算术特征，即寻找一个或多个算法达到用已知量计算出未知量的目的；结构性解法是指解题途径呈现结构（非算术）特征，即首先寻找量与量之间的相互关系，再运算求解.
上面学生两种解法中，思路1（由已知条件→BF（EF）→AF→AE→DE→n）受算术思维（算出）的影响，解题活动总是有一种直觉性的思考，由已知条件“能求出什么”？“再能求出什么”？通过不断地“求出”，扩大已知的范围，就是这种单一的思维倾向（由已知推向未知的综合方法）促使问题得以解决，这种思路体现明显算术特征，属于程序性解法.而思路2（由条件→BF（EF）、AF→方程→n）则较全面分析题中各量，对等看待已知量与未知量并找到它们之间的关系式，再运算求解，因此将这种思路定为结构性解法.
2.2 两种思路的思维特点分析
从上看出，程序性解法思考路线单一，所呈现的只是算术思想，由已知逐步推向未知，不断求出；结构性解法思考路线多向，所提现的是辩证思想，全面分析、对等看待各量，整体架构，因此两种解法的思维水平和思维特征具有明显的差异.历史性的分析告诉我们代数的发展可以看作一个从程序性方法到结构性方法的进化周期[1]，由此可认为结构性解法比程序性解法高一层次.
思路1表现出学生强烈的程序化的思维倾向，如果每次算术运算较繁琐，则更容易解题受阻，教学中学生在解题顺畅的感觉下会听不进他人的结构性解法或不感兴趣.细看思路2也有程序性解法的影子，解题受挫是由于学生对线段之间的整体关系“一见钟情”，忽视自身代数运算的薄弱或知识水平的局限，又缺乏自我监控的元认知能力，导致细节不能进行微调而落败，不过这是暂时的，随着知识的增加、技能的提高、反思意识的形成和加强，会使这种结构性解法更灵活，解题视野更开阔.
2.3 两种解法的教学运用缺失
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的特殊数量关系，利用勾股定理解决几何问题的实质是以数解形，具体运用过程自然涉及程序性解法和结构性解法，反观我们的教学，将两种解法的运用割离的痕迹似乎很深.
利用勾股定理求直角三角形的边长，我们钟情于帮助学生将已知条件类型化：①已知两边，开方算第三边；②只知一边及另两边间的数量关系，列方程求两边；③只知三边间的数量关系，列方程组求各边.类型①实际上重算术求解，类型②和③则重方程求解，这样反复强调根据条件选方法，使得学生机械地操作程序性解法和结构性解法，即便是两种解法在一些综合题中都能运用，往往是谁简便就用谁，很少让学生去对比两种解法、反思它们的关联，因此借助适当问题将两种解法进行互补训练、螺旋渗透是我们教学中的主要缺失.
3 建议——两种解法的融合渗透
用代数方法解决几何问题，也应重视从程序性方法到结构性方法的沟通与融合，这样既能促进对代数方法的理解，又能促进对几何元素之间逻辑关系的理解，教学中可以从以下两个方面实施.
3.1 重视程序性解法的基础地位
数学学习必须建立在学生已有知识和经验基础之上，通过问题解决的程序性理解、反思，才可能发展到结构性解法，这符合学生认知结构形成的规律性，因而程序性解法的基础地位不可忽视，教学应给学生自主完成程序性阶段的任务提供适当的素材和足够的时空.
前面思路2倾向于三边中未知与已知的对等架构（利用AF的长列方程），忽视简单的现实（直接开方算出AF的长），这需要强化这样的解题经验：根据勾股定理由已知两边求第三边，宁算（开方）不列（方程）.
此外，运用结构性解法往往会使得解题回路少，有时反而降低学生数学思考的强度.例如这样一个问题：如图2，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点B落在边CD上的点E处，点A的对应点为F，若EC=3，求AM的长.
如果学生得知“连接MB和ME，根据AB2+AM2=MB2=ME2=MD2+DE2列方程即可获解”，面对这种极简便的结构性解法，这时有谁愿意动脑筋琢磨其他方法，去进行再造性建构或创造性建构，这样就很难形成处理数学问题的深度经验，久而久之将会使思维的翅膀萎缩，就数学教育价值而言，影响是消极的.如果师生共同倾听或研究学生可能尝试过的程序性思考，会别有洞天：
解法1 如图3，根据勾股定理求得NE=5，NC=4.连接BE，则MN⊥BE，过点M作MG⊥BC于G，易证△MGN≌△BCE，则GN=CE=3，从而AM=BG=2.
解法2 如图3，连接BE，则MN⊥BE，过点M作MG⊥BC于G，易证△MGN≌△BCE，则MN=BE=310，GN=EC=3，所以四边形MBNE面积为=12MN2=12×（310）2=45，所以12×9×AM+12×6×（9-AM）+12×3×（6-AM）=81-45，所以AM=2.
解法3 如图3，根据勾股定理求得NE=5，NC=4.设EF与MD交于点P，由△NCE∽△EDP求得DP=45，PE=75，再由△MFP∽△EDP求得AM=MF=2.
这三种解法都在图中构造出相关联的线段或者沟通已有线段，借助这些具体线段实现逐步求出的构想，思路的贯通是以这些几何元素间的逻辑关系为依托，完成这三种解法需要智力再投入，利于学生形成平衡的、适应多种需要的解题思维结构.
3.2 经营结构性解法的自然渗入
由于学生遇到新问题时的解题策略首先是程序性的，教学中不妨先满足学生使用程序性方法的愿望，再顺势让学生反思自己解题活动中遇到的困难，了解程序性解法的局限性，从解题过程改进的角度，促动学生寻求结构性解法.图4
例如学生面对如下问题：如图4，在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，AD⊥BC于D，AD=12，求BC.在程序性解法取得成功后，学生会如法炮制，解决它的变式问题：如图4，在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC=14，AD⊥BC于D，求AD.学生在“求出”的欲望下，设AD=x，表示出BD和DC长，希望通过方程152-x2+132-x2=14解决问题未果，此时如果引导学生换个角度审视两个直角三角形中的边边关系，会发现“152-BD2=132-DC2，且BD+DC=14”，重新设元得到力所能解的方程（组），这样重新审视边边关系的结构特征，找到未知量与已知量间的另类表达式，有力促进结构性解法的意识形成.图5
另外，在程序性方法中渗透变量思想，可以降低算术思想的干扰，培养结构性方法的意识.例如这样的问题：如图5，将直角三角形纸片ABC沿AD折叠，使直角顶点C正好落在斜边AB上的点E.①若AC=6，BC=8，求CD；②若AC=6，设EB=x，△EDB的周长为y，求y与x的函数关系式；③若AC=6，设CD=x，DB=y，求y与x的函数关系式.学生利用程序性方法解决第①问比较流畅，而解决第②、③两问，若抱着一味“求出”心态极易受阻，解决这两问需要综合分析，利用勾股定理、比例线段或者面积法，对线段间的数量关系进行整体架构，这不仅锻炼学生的代数变形能力，更利于结构性解法的发展.
值得一提的是，程序性解法与结构性解法伴随着学生知识和思维层次的提高而逐步发展，螺旋上升.例如初学勾股定理的简单应用时，类型②和③相对于类型①是结构性解法，而在综合程度较高的问题中，就像前面解法1和解法3中列方程求出NE和NC，则相当于程序性解法中的一步具体“求出”.再如运用比例线段（不论是由相似图形产生，还是由面积法产生）解决问题，面对问题的综合与复杂程度不同，也会出现程序性解法与结构性解法相互交融的特点.
在运用勾股定理解题教学中，考虑到解题的经济性，结构性解法是我们极力追求的，但考虑到解题的教育性，我们必须灵活平衡两种解法的训练，两种解法各自依据学生的知识背景、思维方式与选择习惯而定，教师应针对学生思维的各种不同特点，通过分析已经掌握的方法对发展学生思维结构的适切性，形成平衡的配方，完善学生数学思维结构，而不应选择教师自己喜欢的思路，使学生吸收的知识营养偏于一隅.以上看法不免肤浅或失当，与同行交流以期更多指点和提升.
参考文献
[1] 江嘉秋.代数方法的理解——从程序性解法谈起[J].福建基础教育研究，2012（8）：90-92.
[2] 刘瑞祥.从命题视角谈“并列”问题与“递进”问题求解[J].中学数学（下），2014，（9）：45-46.
[3] 郑毓信等.《数学思维与数学方法论》[M].上海科技教育出版社.
1 缘起——一种思路的意外受挫
一次单元测试，有这样一道源自课本复习参考题的改编题：
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=a，AD=2a，E是AD边上一点，nDE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）如果四边形BFEG与矩形ABCD的面积比为17∶30，求n的值.
笔者所教的初二（8）班49人中，有15人在第（2）问这样受挫：将面积比化为线段比求得EF=1715a，进而表示出AF=1315a-2na，在△ABF中由勾股定理得（1315a-2na）2+a2=（1715a）2，其中11人正确整理得到一元二次方程（还未学习）而止步，另外4人整理出错.反观那些正确获解的学生：正确求得EF后，在△ABF中先算出AF=815a，再算得AE=53a，DE=13a，从而轻松算得n=6.两种思路只是在勾股定理的用法上有区别，但效果反差很大，给人的表象是受挫的学生运算能力或变通（可以回避一元二次方程）意识较差，而正确获解的学生更灵活.
2 分析——两种思路的思维层次
2.1 两种思路的思维层次识别
文[1]将求解代数问题的解法分为程序性解法和结构性解法.程序性解法是指解题途径呈明显的算术特征，即寻找一个或多个算法达到用已知量计算出未知量的目的；结构性解法是指解题途径呈现结构（非算术）特征，即首先寻找量与量之间的相互关系，再运算求解.
上面学生两种解法中，思路1（由已知条件→BF（EF）→AF→AE→DE→n）受算术思维（算出）的影响，解题活动总是有一种直觉性的思考，由已知条件“能求出什么”？“再能求出什么”？通过不断地“求出”，扩大已知的范围，就是这种单一的思维倾向（由已知推向未知的综合方法）促使问题得以解决，这种思路体现明显算术特征，属于程序性解法.而思路2（由条件→BF（EF）、AF→方程→n）则较全面分析题中各量，对等看待已知量与未知量并找到它们之间的关系式，再运算求解，因此将这种思路定为结构性解法.
2.2 两种思路的思维特点分析
从上看出，程序性解法思考路线单一，所呈现的只是算术思想，由已知逐步推向未知，不断求出；结构性解法思考路线多向，所提现的是辩证思想，全面分析、对等看待各量，整体架构，因此两种解法的思维水平和思维特征具有明显的差异.历史性的分析告诉我们代数的发展可以看作一个从程序性方法到结构性方法的进化周期[1]，由此可认为结构性解法比程序性解法高一层次.
思路1表现出学生强烈的程序化的思维倾向，如果每次算术运算较繁琐，则更容易解题受阻，教学中学生在解题顺畅的感觉下会听不进他人的结构性解法或不感兴趣.细看思路2也有程序性解法的影子，解题受挫是由于学生对线段之间的整体关系“一见钟情”，忽视自身代数运算的薄弱或知识水平的局限，又缺乏自我监控的元认知能力，导致细节不能进行微调而落败，不过这是暂时的，随着知识的增加、技能的提高、反思意识的形成和加强，会使这种结构性解法更灵活，解题视野更开阔.
2.3 两种解法的教学运用缺失
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的特殊数量关系，利用勾股定理解决几何问题的实质是以数解形，具体运用过程自然涉及程序性解法和结构性解法，反观我们的教学，将两种解法的运用割离的痕迹似乎很深.
利用勾股定理求直角三角形的边长，我们钟情于帮助学生将已知条件类型化：①已知两边，开方算第三边；②只知一边及另两边间的数量关系，列方程求两边；③只知三边间的数量关系，列方程组求各边.类型①实际上重算术求解，类型②和③则重方程求解，这样反复强调根据条件选方法，使得学生机械地操作程序性解法和结构性解法，即便是两种解法在一些综合题中都能运用，往往是谁简便就用谁，很少让学生去对比两种解法、反思它们的关联，因此借助适当问题将两种解法进行互补训练、螺旋渗透是我们教学中的主要缺失.
3 建议——两种解法的融合渗透
用代数方法解决几何问题，也应重视从程序性方法到结构性方法的沟通与融合，这样既能促进对代数方法的理解，又能促进对几何元素之间逻辑关系的理解，教学中可以从以下两个方面实施.
3.1 重视程序性解法的基础地位
数学学习必须建立在学生已有知识和经验基础之上，通过问题解决的程序性理解、反思，才可能发展到结构性解法，这符合学生认知结构形成的规律性，因而程序性解法的基础地位不可忽视，教学应给学生自主完成程序性阶段的任务提供适当的素材和足够的时空.
前面思路2倾向于三边中未知与已知的对等架构（利用AF的长列方程），忽视简单的现实（直接开方算出AF的长），这需要强化这样的解题经验：根据勾股定理由已知两边求第三边，宁算（开方）不列（方程）.
此外，运用结构性解法往往会使得解题回路少，有时反而降低学生数学思考的强度.例如这样一个问题：如图2，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点B落在边CD上的点E处，点A的对应点为F，若EC=3，求AM的长.
如果学生得知“连接MB和ME，根据AB2+AM2=MB2=ME2=MD2+DE2列方程即可获解”，面对这种极简便的结构性解法，这时有谁愿意动脑筋琢磨其他方法，去进行再造性建构或创造性建构，这样就很难形成处理数学问题的深度经验，久而久之将会使思维的翅膀萎缩，就数学教育价值而言，影响是消极的.如果师生共同倾听或研究学生可能尝试过的程序性思考，会别有洞天：
解法1 如图3，根据勾股定理求得NE=5，NC=4.连接BE，则MN⊥BE，过点M作MG⊥BC于G，易证△MGN≌△BCE，则GN=CE=3，从而AM=BG=2.
解法2 如图3，连接BE，则MN⊥BE，过点M作MG⊥BC于G，易证△MGN≌△BCE，则MN=BE=310，GN=EC=3，所以四边形MBNE面积为=12MN2=12×（310）2=45，所以12×9×AM+12×6×（9-AM）+12×3×（6-AM）=81-45，所以AM=2.
解法3 如图3，根据勾股定理求得NE=5，NC=4.设EF与MD交于点P，由△NCE∽△EDP求得DP=45，PE=75，再由△MFP∽△EDP求得AM=MF=2.
这三种解法都在图中构造出相关联的线段或者沟通已有线段，借助这些具体线段实现逐步求出的构想，思路的贯通是以这些几何元素间的逻辑关系为依托，完成这三种解法需要智力再投入，利于学生形成平衡的、适应多种需要的解题思维结构.
3.2 经营结构性解法的自然渗入
由于学生遇到新问题时的解题策略首先是程序性的，教学中不妨先满足学生使用程序性方法的愿望，再顺势让学生反思自己解题活动中遇到的困难，了解程序性解法的局限性，从解题过程改进的角度，促动学生寻求结构性解法.图4
例如学生面对如下问题：如图4，在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，AD⊥BC于D，AD=12，求BC.在程序性解法取得成功后，学生会如法炮制，解决它的变式问题：如图4，在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC=14，AD⊥BC于D，求AD.学生在“求出”的欲望下，设AD=x，表示出BD和DC长，希望通过方程152-x2+132-x2=14解决问题未果，此时如果引导学生换个角度审视两个直角三角形中的边边关系，会发现“152-BD2=132-DC2，且BD+DC=14”，重新设元得到力所能解的方程（组），这样重新审视边边关系的结构特征，找到未知量与已知量间的另类表达式，有力促进结构性解法的意识形成.图5
另外，在程序性方法中渗透变量思想，可以降低算术思想的干扰，培养结构性方法的意识.例如这样的问题：如图5，将直角三角形纸片ABC沿AD折叠，使直角顶点C正好落在斜边AB上的点E.①若AC=6，BC=8，求CD；②若AC=6，设EB=x，△EDB的周长为y，求y与x的函数关系式；③若AC=6，设CD=x，DB=y，求y与x的函数关系式.学生利用程序性方法解决第①问比较流畅，而解决第②、③两问，若抱着一味“求出”心态极易受阻，解决这两问需要综合分析，利用勾股定理、比例线段或者面积法，对线段间的数量关系进行整体架构，这不仅锻炼学生的代数变形能力，更利于结构性解法的发展.
值得一提的是，程序性解法与结构性解法伴随着学生知识和思维层次的提高而逐步发展，螺旋上升.例如初学勾股定理的简单应用时，类型②和③相对于类型①是结构性解法，而在综合程度较高的问题中，就像前面解法1和解法3中列方程求出NE和NC，则相当于程序性解法中的一步具体“求出”.再如运用比例线段（不论是由相似图形产生，还是由面积法产生）解决问题，面对问题的综合与复杂程度不同，也会出现程序性解法与结构性解法相互交融的特点.
在运用勾股定理解题教学中，考虑到解题的经济性，结构性解法是我们极力追求的，但考虑到解题的教育性，我们必须灵活平衡两种解法的训练，两种解法各自依据学生的知识背景、思维方式与选择习惯而定，教师应针对学生思维的各种不同特点，通过分析已经掌握的方法对发展学生思维结构的适切性，形成平衡的配方，完善学生数学思维结构，而不应选择教师自己喜欢的思路，使学生吸收的知识营养偏于一隅.以上看法不免肤浅或失当，与同行交流以期更多指点和提升.
参考文献
[1] 江嘉秋.代数方法的理解——从程序性解法谈起[J].福建基础教育研究，2012（8）：90-92.
[2] 刘瑞祥.从命题视角谈“并列”问题与“递进”问题求解[J].中学数学（下），2014，（9）：45-46.
[3] 郑毓信等.《数学思维与数学方法论》[M].上海科技教育出版社.
