“建系坐标化”在平面向量数量积中的应用
卢浩殷+金俊
平面向量数量积在近几年高考中均有涉及，而且都有一定的难度。这类试题往往以平面向量知识为载体，综合函数、不等式、三角等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。难而在一些问题的解决过程中，也发现了一些比较常见易掌握的有效方法，在此共同探讨一下：
当题中所给的图形对称或适合建立坐标系时，我们可以建立合适的坐标系，把复杂的平面向量的转化问题直接转化为纯坐标的计算问题，而此法最关键的地方在于表示出各点的坐标，方便计算。
【案例1】在△ABC中，BC=6，BC边上的高为2，则 的最小值为______
分析1：其实平面向量也是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段。对于本题我们就可以建立适当的坐标系来完成。过程如下：
以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系，则B（-3，0），C（3，0），A（x，2），则 =（-3-x，-2）， =（3-x，-2）， =（-3-x）（3-x）+4=x2-5，所以当x=0时，取得最小值-5，此时AB=AC。
分析2：当然我们也可以以BC所在直线为x轴，过A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，设B（-a，0），则C（6-a，0），以下略。
从上题中发现通过建立直角坐标系，显然将抽象的复杂的向量数量积问题通过坐标计算的方式减少了许多的计算过程和思维过程，达到事半功倍的效果。
【案例2】已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC= ，∠BAC=120°，若 =α +β ，α+β的最小值为_____
分析：此类问题比较常见，学生在解题过程中往往无从下手，作为教师应该指导学生去审题，找到题中的关键点，引导学生用常规方法进行求解。对于本题，关键点是什么？是外心（三边中垂线的交点），其次两边及其夹角，作用是什么？可以求数量积，可以求第三边长。最后条件的作用是什么？建立点与点之间的关系。本题可以尝试用建系的方法进行求解。
过程：以AC所在直线为x轴，过A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（ ），C（ ，0），AC的中垂线为x= ，AB的中垂线为
求出两直线交点坐标即圆心的坐标O（ ）
∴
∴
∴
∴
变式1：如图正六边形ABCDEF 中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设 =α +β （α、β∈R），则α+β的取值范围是_____
变式2：给定两个长度为1的平面向量， 和 ，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若， =x + y ，其中x，y∈R，则x+y的最大值是_____
分析：这两小题是案例2的变式题，在解题思路上与案例2如出一辙，不过本题是侧重通过建系坐标化，把向量问题转化为线性规划问题来研究，过程略。
【案例3】如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于A，B的一点，Q是线段AP上靠近A的三等分点，且 =4，则 的值为_____
分析1：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设P（3cosα，3sinα），由Q是线段AP上靠近A的三等分点，求出Q点的坐标，则 =4，得到cosα= - ，再求 ，化简整理，即可得到结果。
方法一考查平面向量的数量积的坐标表示，考查圆的参数方程的运用，考查三角化简整理的运算能力。
分析2：以P为坐标原点，PB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设A（0，n），B（-m，0），m2+n2=36，Q（0， ）， =4，求出n2的值，再求出m2的值，再求 ，化简整理，即可得到结果。
【点评】
有关平面向量的数量积等问题的解决途径多多，比如也可以利用向量转化，数形结合法等等。解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里。
（作者单位：江苏省宝应县氾水高级中学）
平面向量数量积在近几年高考中均有涉及，而且都有一定的难度。这类试题往往以平面向量知识为载体，综合函数、不等式、三角等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。难而在一些问题的解决过程中，也发现了一些比较常见易掌握的有效方法，在此共同探讨一下：
当题中所给的图形对称或适合建立坐标系时，我们可以建立合适的坐标系，把复杂的平面向量的转化问题直接转化为纯坐标的计算问题，而此法最关键的地方在于表示出各点的坐标，方便计算。
【案例1】在△ABC中，BC=6，BC边上的高为2，则 的最小值为______
分析1：其实平面向量也是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段。对于本题我们就可以建立适当的坐标系来完成。过程如下：
以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系，则B（-3，0），C（3，0），A（x，2），则 =（-3-x，-2）， =（3-x，-2）， =（-3-x）（3-x）+4=x2-5，所以当x=0时，取得最小值-5，此时AB=AC。
分析2：当然我们也可以以BC所在直线为x轴，过A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，设B（-a，0），则C（6-a，0），以下略。
从上题中发现通过建立直角坐标系，显然将抽象的复杂的向量数量积问题通过坐标计算的方式减少了许多的计算过程和思维过程，达到事半功倍的效果。
【案例2】已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC= ，∠BAC=120°，若 =α +β ，α+β的最小值为_____
分析：此类问题比较常见，学生在解题过程中往往无从下手，作为教师应该指导学生去审题，找到题中的关键点，引导学生用常规方法进行求解。对于本题，关键点是什么？是外心（三边中垂线的交点），其次两边及其夹角，作用是什么？可以求数量积，可以求第三边长。最后条件的作用是什么？建立点与点之间的关系。本题可以尝试用建系的方法进行求解。
过程：以AC所在直线为x轴，过A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（ ），C（ ，0），AC的中垂线为x= ，AB的中垂线为
求出两直线交点坐标即圆心的坐标O（ ）
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变式1：如图正六边形ABCDEF 中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设 =α +β （α、β∈R），则α+β的取值范围是_____
变式2：给定两个长度为1的平面向量， 和 ，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若， =x + y ，其中x，y∈R，则x+y的最大值是_____
分析：这两小题是案例2的变式题，在解题思路上与案例2如出一辙，不过本题是侧重通过建系坐标化，把向量问题转化为线性规划问题来研究，过程略。
【案例3】如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于A，B的一点，Q是线段AP上靠近A的三等分点，且 =4，则 的值为_____
分析1：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设P（3cosα，3sinα），由Q是线段AP上靠近A的三等分点，求出Q点的坐标，则 =4，得到cosα= - ，再求 ，化简整理，即可得到结果。
方法一考查平面向量的数量积的坐标表示，考查圆的参数方程的运用，考查三角化简整理的运算能力。
分析2：以P为坐标原点，PB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设A（0，n），B（-m，0），m2+n2=36，Q（0， ）， =4，求出n2的值，再求出m2的值，再求 ，化简整理，即可得到结果。
【点评】
有关平面向量的数量积等问题的解决途径多多，比如也可以利用向量转化，数形结合法等等。解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里。
（作者单位：江苏省宝应县氾水高级中学）
