抛物线的一条性质在解中考题中的运用
邹守文
命题如图1，P是抛物线y=14x2-1上任意一点，点P到直线l：y=-2的距离为PH，则有OP=PH.
证明设点P的坐标为m，n，则n=14m2-1，OP=m2+14m2-12=14m2+1.
因为直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，所以点H的纵坐标为-2，
所以PH=14m2-1--2=14m2+1，所以PO=PH.
此结论是抛物线y=14x2-1的一个简单的性质，其在解中考题中有着一定的应用，下面举例说明.
例1（2013年广西南宁卷）如图2，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
例2（2012年山东潍坊卷）如图3，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于x轴的直线l1，l2.
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）求证：以ON为直径的圆与直线l1相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长.
简解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；
（2）设Nx，14x2-1，过N作NP⊥l2交l1于点Q，由命题的证明知
ON=NP=14x2+1，NQ=14x2+1-1=14x2，设ON的中点为E，过点E向直线l1作垂线，垂足为F，则EF=12OC+NQ=121+14x2=12ON，所以以ON为直径的圆与直线l1相切.
（3）由命题知显然成立.
例3（2014年四川遂宁卷）已知：直线l∶y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图4，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ.
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（ⅰ）如图5，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM.
（ⅱ）已知：如图6，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
简解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；（2）证明略；
（3）（ⅰ）如图5，因为BN⊥l，AM⊥l，所以BN=BO，AM=AO，BN∥AM，
所以∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°.
因为∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
所以∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°，
所以2∠BON+2∠AOM=180°，所以∠BON+∠AOM=90°，
所以∠MON=90°，所以ON⊥OM；
（ⅱ）如图7，作F′H⊥l于H，DG⊥l于G，交抛物线与F，
作F′E⊥DG于E，所以∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O.
所以四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D.
所以EG=F′H，所以DE
把命题中的抛物线和直线都向上平移一个单位，可以得到
推论P是抛物线y=14x2上任意一点，F0，1，点P到直线l：y=-1的距离为PH，则有FP=PH.
例4（2015年湖南永州卷）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，14），R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点.
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若P是抛物线上的一个动点（如图8），求证：点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）设直线PR与抛物线的另一个交点为Q.E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y=-1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图9），求证：PF⊥QF.
简解（1）y=14x2-12x+14；
（2）因为y=14x2-12x+14=14x-12可以由抛物线y=14x2向右平移1个单位得到，由推论知点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）由（2）可得：QN=QR，PM=PR，所以QP=QN+PM.
又因为E为线段PQ的中点，QN⊥MN，EF⊥MN，PM⊥MN，
所以EF=12（QN+PM），所以EF=12QP.
又E为线段PQ的中点，则EF=QE=EP，
所以∠EFQ=∠EQF，∠EFP=∠EPF，
故∠QFP=∠EFQ+∠EFP=12（∠EFQ+∠EQF+∠EFP+∠EPF）=90°.
于是PF⊥QF.
本题结论及其推论的一般结论是：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，由于初中阶段没有介绍这一性质，上面我们从中考试题的角度作了一些介绍，本意在于揭示问题的本质，为中考题的解决提供一些“隐性”的方法，没有过度挖掘高中相关知识的意图.
命题如图1，P是抛物线y=14x2-1上任意一点，点P到直线l：y=-2的距离为PH，则有OP=PH.
证明设点P的坐标为m，n，则n=14m2-1，OP=m2+14m2-12=14m2+1.
因为直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，所以点H的纵坐标为-2，
所以PH=14m2-1--2=14m2+1，所以PO=PH.
此结论是抛物线y=14x2-1的一个简单的性质，其在解中考题中有着一定的应用，下面举例说明.
例1（2013年广西南宁卷）如图2，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
例2（2012年山东潍坊卷）如图3，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于x轴的直线l1，l2.
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）求证：以ON为直径的圆与直线l1相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长.
简解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；
（2）设Nx，14x2-1，过N作NP⊥l2交l1于点Q，由命题的证明知
ON=NP=14x2+1，NQ=14x2+1-1=14x2，设ON的中点为E，过点E向直线l1作垂线，垂足为F，则EF=12OC+NQ=121+14x2=12ON，所以以ON为直径的圆与直线l1相切.
（3）由命题知显然成立.
例3（2014年四川遂宁卷）已知：直线l∶y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图4，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ.
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（ⅰ）如图5，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM.
（ⅱ）已知：如图6，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
简解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；（2）证明略；
（3）（ⅰ）如图5，因为BN⊥l，AM⊥l，所以BN=BO，AM=AO，BN∥AM，
所以∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°.
因为∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
所以∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°，
所以2∠BON+2∠AOM=180°，所以∠BON+∠AOM=90°，
所以∠MON=90°，所以ON⊥OM；
（ⅱ）如图7，作F′H⊥l于H，DG⊥l于G，交抛物线与F，
作F′E⊥DG于E，所以∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O.
所以四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D.
所以EG=F′H，所以DE
把命题中的抛物线和直线都向上平移一个单位，可以得到
推论P是抛物线y=14x2上任意一点，F0，1，点P到直线l：y=-1的距离为PH，则有FP=PH.
例4（2015年湖南永州卷）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，14），R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点.
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若P是抛物线上的一个动点（如图8），求证：点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）设直线PR与抛物线的另一个交点为Q.E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y=-1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图9），求证：PF⊥QF.
简解（1）y=14x2-12x+14；
（2）因为y=14x2-12x+14=14x-12可以由抛物线y=14x2向右平移1个单位得到，由推论知点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）由（2）可得：QN=QR，PM=PR，所以QP=QN+PM.
又因为E为线段PQ的中点，QN⊥MN，EF⊥MN，PM⊥MN，
所以EF=12（QN+PM），所以EF=12QP.
又E为线段PQ的中点，则EF=QE=EP，
所以∠EFQ=∠EQF，∠EFP=∠EPF，
故∠QFP=∠EFQ+∠EFP=12（∠EFQ+∠EQF+∠EFP+∠EPF）=90°.
于是PF⊥QF.
本题结论及其推论的一般结论是：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，由于初中阶段没有介绍这一性质，上面我们从中考试题的角度作了一些介绍，本意在于揭示问题的本质，为中考题的解决提供一些“隐性”的方法，没有过度挖掘高中相关知识的意图.
