正确建立数学模型，迅速解答应用问题
杨波 刘玉清
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在第一部分“前言”中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.”《课标（2011年版）》修订小组组长史宁中教授反复强调：数学模型是沟通数学与外部世界的桥梁，模型思想是数学的基本思想之一.
仔细分析各地中考数学试卷中的应用问题可以发现，解题的关键是正确建立数学模型.下面结合具体题目（所选例题均为2015年各地的中考题），归纳出中考题中常见的数学模型.1方程（组）模型
例1（福建福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
分析本题是一道实际应用问题，解答的关键就是根据问题给出的数量关系建立方程模型或方程组模型.
解设篮球队有x支，则排球队有（48-x）支，依题意，得
10x+12（48-x）=520，解得x=28，48-x=48-28=20.
答：篮球、排球队各有28支与20支.
点评《课标（2011年版）》在有关方程的课程内容中指出“能根据具体问题中的数学关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.”在我们的现实生活中存在着大量的等量关系，因而方程（组）模型便成为研究现实世界数量关系的最基本、最常用的数学模型之一.它可以帮助我们从数量关系的角度更准确、清晰的认识、描述和把握现实世界.最近几年常选择与我们生产、生活密切相关的问题（如行程问题、利润问题、打折销售等问题）作为方程（组）模型的“源”材料，以此考查学生通过建立方程（组）模型，进而解答实际问题的能力.2不等式（组）模型
例2（山东莱芜）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.
（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
分析（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个；根据不等关系：①科技类书籍不超过1900本；②人文类书籍不超过1620本.列不等式组，进行求解；
（2）此题有两种方法：
点评本题主要考查学生通过建立不等式组模型解答实际问题的能力.类似这样的考题，除考查了学生建立不等式（组）模型解答问题的能力外，还有利于对学生进行“优化思想”的熏陶，对于形成学生“精打细算”的节约品质也是有益的.3函数模型
例3（湖南衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图1所示（当4≤x≤10时，y与x成反比）.
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
分析（1）上升阶段是正比例函数，设y=kx，把（4，8）代人即可.下降阶段设y=mx.把（4，8）代人即可.（2）在上升和下降阶段同时满足y≥4，解关于x的不等式组.
解（1）由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y=kx.
点评函数是中学数学中的一个重要概念，其内容无处不在.因此给定一个问题情境，让学生列出函数关系式是一种常见的题型，解答这种问题首先要找出自变量与函数存在的等量关系，然后建立函数模型，根据这个模型由自变量的值可求函数值，也可由函数值求出自变量的值.
本题以抗菌新药品的试验问题为背景，考查了学生用待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式的能力以及根据解析式解答实际问题的能力，解答的关键在于建立函数模型.4几何模型（或三角模型）
例4（浙江绍兴）如图2，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°
点评此题主要考查学生通过解直角三角形达到解决实际问题的能力，解答的关键首先在于把实际问题转化为直角三角形的问题，然后加以计算.观察图形可发现，通过添加辅助线把要求的电线杆PQ的高度转化为两条线段长度之差的问题.因此，根据给定的条件建立三角模型，然后通过解三角形分别求出这两条线段的长，从而求得答案.从解答的过程看，根据条件通过添加辅助线构造三角模型是解题的关键.5统计模型
例5（河南）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图3所示的尚不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的市民总人数是；
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
分析（1）从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.（2）根据扇形统计图可得：电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电视”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360°即可求解.（3）由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解.（4）先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解.
解（1）1000.（2）54°.
（3）用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10%×1000=100，补全条形统计图（略）.
（4）解：80×10000×（26%+40%）=528000（人）.
点评统计主要是通过对现实生活中的数据进行收集、整理、描述和分析，来帮助人们作出合理的决策.现实生活中的许多问题（如公司招聘、人口统计、财务管理等实际问题）都可以通过建立统计模型加以解决.
本题素材选自具体的生活问题，主要考查学生通过建立统计模型对调查结果进行分析与推断的能力.本题一方面考查了学生对扇形统计图和条形统计图的理解和应用；另一方面考查了学生用样本估计总体的思想方法.6概率模型
例6（山东青岛）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1—4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字.若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
由上表可知，共有16种等可能结果，其中大于5的有共有6种.
P（数字之和>5）=616=38，因为38≠12，所以不公平.
点评概率在社会生活、现实生活及科学领域中有着广泛的应用.我们经常遇到的游戏公平性的问题、彩票的中奖情况等都可以通过建立概率模型来解决.本题考查学生对游戏的公平性进行判断的能力，判断一个游戏是否公平，首先要计算出游戏双方获胜的概率，然后通过比较概率的大小得到结果.学生在解答类似问题的同时也学会了用数学知识进行说理的方法，这对于培养学生的逻辑推理能力是大有帮助的，这种“以理服人”的好习惯、好品质正是我们进行数学教育所希望的.
数学已经渗透到生活的各个领域，与之相关的问题涉及到生活的方方面面，通过建立数学模型解答这些与我们生活有关的问题是学生必备的一种素质，这也成为中考命题者注意的一个方向.因为，学生在建立数学模型解答它们时，除必须全面掌握数学知识外，还要具有丰富的生活常识和较强的阅读理解能力，以及将实际问题转化为数学问题的数学建模能力，这样的问题具有把学习知识、应用知识、探索发现、培养良好的科学态度与思维品质等很好地结合起来的“效能”，能“诱发”学生创新意识的形成，体现了《课标（2011年版）》的基本理念和课程目标.这就要求我们在教学中应结合具体的课程内容，精心创设问题情境，充分体现“问题情境—建立模型—求解验证”的教材编排体系.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在第一部分“前言”中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.”《课标（2011年版）》修订小组组长史宁中教授反复强调：数学模型是沟通数学与外部世界的桥梁，模型思想是数学的基本思想之一.
仔细分析各地中考数学试卷中的应用问题可以发现，解题的关键是正确建立数学模型.下面结合具体题目（所选例题均为2015年各地的中考题），归纳出中考题中常见的数学模型.1方程（组）模型
例1（福建福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
分析本题是一道实际应用问题，解答的关键就是根据问题给出的数量关系建立方程模型或方程组模型.
解设篮球队有x支，则排球队有（48-x）支，依题意，得
10x+12（48-x）=520，解得x=28，48-x=48-28=20.
答：篮球、排球队各有28支与20支.
点评《课标（2011年版）》在有关方程的课程内容中指出“能根据具体问题中的数学关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.”在我们的现实生活中存在着大量的等量关系，因而方程（组）模型便成为研究现实世界数量关系的最基本、最常用的数学模型之一.它可以帮助我们从数量关系的角度更准确、清晰的认识、描述和把握现实世界.最近几年常选择与我们生产、生活密切相关的问题（如行程问题、利润问题、打折销售等问题）作为方程（组）模型的“源”材料，以此考查学生通过建立方程（组）模型，进而解答实际问题的能力.2不等式（组）模型
例2（山东莱芜）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.
（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
分析（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个；根据不等关系：①科技类书籍不超过1900本；②人文类书籍不超过1620本.列不等式组，进行求解；
（2）此题有两种方法：
点评本题主要考查学生通过建立不等式组模型解答实际问题的能力.类似这样的考题，除考查了学生建立不等式（组）模型解答问题的能力外，还有利于对学生进行“优化思想”的熏陶，对于形成学生“精打细算”的节约品质也是有益的.3函数模型
例3（湖南衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图1所示（当4≤x≤10时，y与x成反比）.
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
分析（1）上升阶段是正比例函数，设y=kx，把（4，8）代人即可.下降阶段设y=mx.把（4，8）代人即可.（2）在上升和下降阶段同时满足y≥4，解关于x的不等式组.
解（1）由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y=kx.
点评函数是中学数学中的一个重要概念，其内容无处不在.因此给定一个问题情境，让学生列出函数关系式是一种常见的题型，解答这种问题首先要找出自变量与函数存在的等量关系，然后建立函数模型，根据这个模型由自变量的值可求函数值，也可由函数值求出自变量的值.
本题以抗菌新药品的试验问题为背景，考查了学生用待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式的能力以及根据解析式解答实际问题的能力，解答的关键在于建立函数模型.4几何模型（或三角模型）
例4（浙江绍兴）如图2，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°
点评此题主要考查学生通过解直角三角形达到解决实际问题的能力，解答的关键首先在于把实际问题转化为直角三角形的问题，然后加以计算.观察图形可发现，通过添加辅助线把要求的电线杆PQ的高度转化为两条线段长度之差的问题.因此，根据给定的条件建立三角模型，然后通过解三角形分别求出这两条线段的长，从而求得答案.从解答的过程看，根据条件通过添加辅助线构造三角模型是解题的关键.5统计模型
例5（河南）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图3所示的尚不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的市民总人数是；
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
分析（1）从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.（2）根据扇形统计图可得：电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电视”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360°即可求解.（3）由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解.（4）先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解.
解（1）1000.（2）54°.
（3）用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10%×1000=100，补全条形统计图（略）.
（4）解：80×10000×（26%+40%）=528000（人）.
点评统计主要是通过对现实生活中的数据进行收集、整理、描述和分析，来帮助人们作出合理的决策.现实生活中的许多问题（如公司招聘、人口统计、财务管理等实际问题）都可以通过建立统计模型加以解决.
本题素材选自具体的生活问题，主要考查学生通过建立统计模型对调查结果进行分析与推断的能力.本题一方面考查了学生对扇形统计图和条形统计图的理解和应用；另一方面考查了学生用样本估计总体的思想方法.6概率模型
例6（山东青岛）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1—4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字.若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
由上表可知，共有16种等可能结果，其中大于5的有共有6种.
P（数字之和>5）=616=38，因为38≠12，所以不公平.
点评概率在社会生活、现实生活及科学领域中有着广泛的应用.我们经常遇到的游戏公平性的问题、彩票的中奖情况等都可以通过建立概率模型来解决.本题考查学生对游戏的公平性进行判断的能力，判断一个游戏是否公平，首先要计算出游戏双方获胜的概率，然后通过比较概率的大小得到结果.学生在解答类似问题的同时也学会了用数学知识进行说理的方法，这对于培养学生的逻辑推理能力是大有帮助的，这种“以理服人”的好习惯、好品质正是我们进行数学教育所希望的.
数学已经渗透到生活的各个领域，与之相关的问题涉及到生活的方方面面，通过建立数学模型解答这些与我们生活有关的问题是学生必备的一种素质，这也成为中考命题者注意的一个方向.因为，学生在建立数学模型解答它们时，除必须全面掌握数学知识外，还要具有丰富的生活常识和较强的阅读理解能力，以及将实际问题转化为数学问题的数学建模能力，这样的问题具有把学习知识、应用知识、探索发现、培养良好的科学态度与思维品质等很好地结合起来的“效能”，能“诱发”学生创新意识的形成，体现了《课标（2011年版）》的基本理念和课程目标.这就要求我们在教学中应结合具体的课程内容，精心创设问题情境，充分体现“问题情境—建立模型—求解验证”的教材编排体系.
