感悟“对应”把握本质理解函数
韩新正
【摘要】函数概念起始课教学以“概念引入的必要性，感受概念产生过程，感悟概念中核心元素的关系，从而理解函数本质”为教学主线，通过“为什么要研究变量之间的关系——感悟两个变量的对应关系——正确理解两个变量的对应关系——函数的概念——概念巩固”等教学环节.激发学生学习函数的兴趣，感知函数概念产生的必要性.
【关键词】函数概念；两个变量；对应关系；活动经验
我们经常进行重要概念的起始课教学.传统的起始课教学一般是通过创设情境引入概念，再对概念进行定义、辨析、巩固、运用等，通过界定概念外延，分析概念内涵来理解概念.但这一教学过程少了“为什么要引入概念”的分析，少了学生对“概念中核心元素及其关系”的感悟过程，少了对“概念的产生既是生活实际的需要，也是数学自身发展的结果”的认识，学生就会对学习新概念少了一份冲动，甚至不明白学习新概念的意义，进而影响教学效果.下面，笔者以自己执教的一节市级公开课为例，以《义务教育数学课程标准（2011版）》中“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”精神为指导，以“概念引入的必要性，感受概念产生过程，感悟概念中核心元素的关系，从而理解函数本质”为教学主线，谈谈概念起始课教学的着力点，所用教材为《义务教育教科书·数学（苏科版）八年级上》的“第六章一次函数”，供大家交流.
1设计理念
章建跃教授指出：“核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡.这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用（新知识的诠释、旧知识的翻新）等，并更要突出概念形成的过程性.特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证”.本节课既是从研究常量转为研究变量关系的起始课，又是正式学习函数的开始，函数概念比较抽象，是学习的难点，所以本节课主要是激发学生学习函数的兴趣，感知函数概念产生的必要性.由于在初中阶段会多次学习不同函数，所以对函数概念的理解可以通过较长的时间去感悟、认同、内化，而不必在第一节课就对函数概念进行严格定义，否则会让学生对其望而生畏.基于上述分析，本案例设计采取概念形成教学法，线索如下：为什么要研究变量之间的关系——感悟两个变量的“对应”关系———正确理解两个“变量”的对应关系——函数的概念——概念巩固.
2课堂简录
环节1：创设情境，引入常量和变量的概念.
环节2：感悟两个变量的“对应”关系
教师：请看下面的例子并思考如下问题：1.在这一变化过程中，有哪些变量？2.这些变量之间有关系吗？用什么样的语言来描述这种关系呢？3.为什么要研究蓄水量和水位的关系？如果水位确定，而蓄水量不确定，研究还有意义吗？
（时间5分钟，其间大家可以讨论）.
情境1：某水库水位的高低与相应的蓄水量如下表：
水位/m106120133135…
蓄水量/m32.30×1077.09×1071.18×1081.23×108…
学生1：有两个变量，水位和蓄水量.
教师：水位变化和蓄水量变化有关系吗？
学生2：，有关系，水位变化，蓄水量也随着变化，从上表看出，每一个水位都对应一个蓄水量.
教师：假如一个水位对应几个蓄水量，比如，水位106m时，蓄水量是2.30×107m3或者2.31×107m3，研究还有意义吗？
学生3：应该没有吧，当水位确定而蓄水量不确定，也就是我们无法根据水位判断蓄水量，这样的研究没有意义.
教师：通过上面的分析，大家说说为什么要研究蓄水量和水位的关系？
学生4：便于观察，要知道蓄水量多少，只要看一下对应的水位即可，可以在水库里竖一块刻度尺，旁边的铭牌写着对应表，大家一看刻度尺，对照铭牌就知道水库的蓄水量.
学生5：可以化未知为已知，我要知道水库的蓄水量可以转化为测量水位，平时蓄水量不好测量，但水位很好测量.
学生6：可以化难为易，测量蓄水量工作难度大，但测量水位比较容易.
教师：上述图表给你印象最深的是什么？
学生7：对应关系（经过师生的反复交流而得出）.
教师：请大家再举一些生活中的例子，感悟对应思想.
学生8：我在菜场看到一个卖鱼的，他用的是杆秤（不是电子秤），他只要把鱼的重量一秤好，就立即报出多少钱，开始我觉得他的计算能力很强，后来知道他原来是把鱼的重量和价钱对应好了，然后记熟了，所以，一有重量就知道多少钱，也是对应关系.
学生9：我一直在思考一个问题，没有人用刻度尺去测量汽车走的路程，汽车上的里程表的数据是怎么来的呢？后来查资料知道，是由车轮的周长乘以车轮的转数确定，车轮的周长是常量，这样汽车行驶的路程就由转数确定了，也是对应关系.
教师：刚才我们是通过图表体会两个变量间对应关系，还有其他的方式吗？看看下面的例子.
情境2：如图1，把一点水激起的波纹看成是一个不断向外扩展的圆.1.在这一变化过程中，有哪些变量？2.这些变量之间有关系吗？用什么样的语言来描述这种关系呢？3.为什么要研究圆的面积和半径的关系？如果半径确定，而圆的面积不确定，研究还有意义吗？
学生10：有四个变量，半径、直径、周长、面积
教师：我们不妨先研究其中两个变量的关系，比如半径和面积，半径和面积有关系吗？
学生11：有关系，小学就学过s=πr2，
教师：下面我就来体会式子s=πr2是怎么对应的，大家从特殊值开始进行尝试.
学生12：当r=1时，s=π；r=2时，s=4π；r=3时，s=9π，r=4时，s=16π……列成表格如下：这就和上个例子一样，s和r是对应的.
情境3：在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位.图2是我国某海港某天的实时潮位图，请从图像中去体会两个变量的对应关系.
教师：请根据情境1、2的提示，从图像中去体会两个变量的对应关系.
学生13：图像上有无数个点，每一个点都由横坐标和纵坐标组成，当横坐标变化时，图像上该点的纵坐标也随着变化，也就是每个点的横坐标和纵坐标是对应的.
教师：大家在平面直角坐标系中画出各种图形，感受这种对应关系.大家总结一下有几种方法来表示两个变量之间的对应关系？
师生共同完成，得出可以通过图表、关系式、图像来表示两个变量的对应关系.
环节3：正确理解两个变量的“对应”关系
教师：上面我们感受了两个变量之间的“对应”关系，那么如何正确理解“对应”呢？也就是“对应”应该包含哪些内容？先独立思考，讨论后交流.
学生14：这种“对应”应该是在两个变量之间，通过一个变量可以求出另一个变量
学生15：其中一个变量变化，另一个变量也随着变化.
教师：对“其中一个变量变化，另一个变量也随着变化”中的两个“变化”有限制要求吗？
学生16：根据情境1、2、3的讨论，我理解为当一个变量确定时，另一个变量也随着确定，这样研究变量间的关系才有意义，比如，情境1中当水位为106m时，如果蓄水量不确定，这样研究就没有意义，所以我觉得“另一个变量也随着变化”中的变化是“变化且确定”.
教师：通过讨论，大家明确上述实例的核心是“对应”而不是“变量”，是“两个变量间的对应关系”.这就是我们今天要讲的核心内容“函数的概念”，结合刚才的讨论，试着给函数下定义.
……
教师板书：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量.
环节4：函数概念及辨析
环节5：课堂练习及小结.
限于篇幅，此处省略.
3理念阐述及其对教学的启示
为什么把“感悟、理解变量之间对应的关系”作为本节课的着力点，而不把“概念的定义和辨析”作为本节课的着力点，是基于以下考虑，同时，这样的设计对概念起始课的教学有很大的启示作用.
3.1概念起始课教学要着力于让学生感知概念产生的必要性
为什么要产生新概念，新概念的产生是凭空想象的吗？本节课通过大量的生活实例，比如水位和蓄水量的“对应”、圆的面积和半径的对应、潮位和时刻的对应、重量和价钱的对应、里程和车轮转数的对应等等，让学生感知新概念产生的必要性，它既是生活实际的需要，也是数学自身发展的必然，不搞清楚概念产生的背景，学生的学习也就没有方向，而糊涂的学习必然导致效果低下.所以，起始课上让学生明确概念产生的必要性比概念的学习更重要.
3.2概念起始课教学要着力于让学生经历概念形成的过程，积累数学活动经验
“感悟、理解变量之间的对应关系”作为本节课的着力点，能使学生经历概念形成的过程，了解概念的来龙去脉.“动态数学观”指出：数学教学不应把注意力唯一地集中于数学活动的最终产物，而应更加注意活动本身，教学不仅要重视学生获得的知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，引导学生通过参与数学活动获得基本经验，感悟基本思想，帮助学生形成良好的学习习惯等.本案例通过学生反复体会、感悟两个变量的“对应”关系过程，学生不仅能获得函数的知识，更获得了在探究函数过程中的“隐性数学知识”——数学活动经验.建构主义理论认为：学习实际上是新旧知识互相作用的结果，学习是每个学生在已有知识和经验的基础之上的主动的建构过程，学生在学习新知识之前，运用已有的知识认识新情境，解释新问题，并把新的学习内容纳入已有的认知结构，从而完成新知识的学习.本节课通过对多个情境的设计，以及学生联系实际的举例，运用的都是以前学过的知识，如图表、关系式、图像等，但不断让学生在新情境中去理解“两个变量的对应关系”，确是新问题、新知识，这种让学生经历函数概念形成的过程，引导学生主动建构函数概念的教学会让学生终身受益.
另外，感悟、体会、理解是一个内化吸收的缓慢过程，教师通过放慢教学节奏，使学生有更多独立思考的时间.慢的是教学节奏，收获的是学生思维能力的提升.而思维能力的培养应该是每节课教学的着力点.
3.3概念起始课教学要避免不顾学生认知规律一味追求概念的严密性
概念的严密性和学生认知水平之间是一对矛盾.怎样解决这对矛盾呢？著名教研员裴光亚先生说：“变化”不是函数的本质，可以用式子表达也不是函数的本质，“对应”才是函数的本质.我们可不可以为了这个本质从“集合”和“对应”出发呢？如果那样，从数学的逻辑来讲，当然是很好的.可是，学生呢？对教学来讲，再好的数学，不满足学生的接受心理又有什么用？所以，一切从实际出发，从学生的认知现状出发，必须从不严格出发，为抵达严格预设通道直至抵达严格；为了适应学生的学习现状，本节课没有采取“情境导入——定义概念——概念辨析——概念巩固”的同化教学模式，是因为该模式过于强调对概念的深化理解.而是设计为在“感悟、理解变量之间的对应关系”之后得出概念，虽然过程不太严谨，但对函数“对应”本质揭示充分，学生在充分理解概念产生的必要性之后，老师又着力于让学生对概念前置的感知，然后得出概念就水到渠成.教学过程符合学生认知规律，是当前学段最好的教学选择.另外，由于函数的学习时间跨度很大，对函数概念理解没有必要一次性到位，
也许本节课淡化对概念的枯燥理解，侧重对函数“对应”的感知是尊重学生认知规律和课程标准的具体体现.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]裴光亚.数学教师的特有语言与个性特征[J].中学数学教学参考（下半月·初中），2007（9）.
[3]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法，2009（7）.
【摘要】函数概念起始课教学以“概念引入的必要性，感受概念产生过程，感悟概念中核心元素的关系，从而理解函数本质”为教学主线，通过“为什么要研究变量之间的关系——感悟两个变量的对应关系——正确理解两个变量的对应关系——函数的概念——概念巩固”等教学环节.激发学生学习函数的兴趣，感知函数概念产生的必要性.
【关键词】函数概念；两个变量；对应关系；活动经验
我们经常进行重要概念的起始课教学.传统的起始课教学一般是通过创设情境引入概念，再对概念进行定义、辨析、巩固、运用等，通过界定概念外延，分析概念内涵来理解概念.但这一教学过程少了“为什么要引入概念”的分析，少了学生对“概念中核心元素及其关系”的感悟过程，少了对“概念的产生既是生活实际的需要，也是数学自身发展的结果”的认识，学生就会对学习新概念少了一份冲动，甚至不明白学习新概念的意义，进而影响教学效果.下面，笔者以自己执教的一节市级公开课为例，以《义务教育数学课程标准（2011版）》中“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”精神为指导，以“概念引入的必要性，感受概念产生过程，感悟概念中核心元素的关系，从而理解函数本质”为教学主线，谈谈概念起始课教学的着力点，所用教材为《义务教育教科书·数学（苏科版）八年级上》的“第六章一次函数”，供大家交流.
1设计理念
章建跃教授指出：“核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡.这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用（新知识的诠释、旧知识的翻新）等，并更要突出概念形成的过程性.特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证”.本节课既是从研究常量转为研究变量关系的起始课，又是正式学习函数的开始，函数概念比较抽象，是学习的难点，所以本节课主要是激发学生学习函数的兴趣，感知函数概念产生的必要性.由于在初中阶段会多次学习不同函数，所以对函数概念的理解可以通过较长的时间去感悟、认同、内化，而不必在第一节课就对函数概念进行严格定义，否则会让学生对其望而生畏.基于上述分析，本案例设计采取概念形成教学法，线索如下：为什么要研究变量之间的关系——感悟两个变量的“对应”关系———正确理解两个“变量”的对应关系——函数的概念——概念巩固.
2课堂简录
环节1：创设情境，引入常量和变量的概念.
环节2：感悟两个变量的“对应”关系
教师：请看下面的例子并思考如下问题：1.在这一变化过程中，有哪些变量？2.这些变量之间有关系吗？用什么样的语言来描述这种关系呢？3.为什么要研究蓄水量和水位的关系？如果水位确定，而蓄水量不确定，研究还有意义吗？
（时间5分钟，其间大家可以讨论）.
情境1：某水库水位的高低与相应的蓄水量如下表：
水位/m106120133135…
蓄水量/m32.30×1077.09×1071.18×1081.23×108…
学生1：有两个变量，水位和蓄水量.
教师：水位变化和蓄水量变化有关系吗？
学生2：，有关系，水位变化，蓄水量也随着变化，从上表看出，每一个水位都对应一个蓄水量.
教师：假如一个水位对应几个蓄水量，比如，水位106m时，蓄水量是2.30×107m3或者2.31×107m3，研究还有意义吗？
学生3：应该没有吧，当水位确定而蓄水量不确定，也就是我们无法根据水位判断蓄水量，这样的研究没有意义.
教师：通过上面的分析，大家说说为什么要研究蓄水量和水位的关系？
学生4：便于观察，要知道蓄水量多少，只要看一下对应的水位即可，可以在水库里竖一块刻度尺，旁边的铭牌写着对应表，大家一看刻度尺，对照铭牌就知道水库的蓄水量.
学生5：可以化未知为已知，我要知道水库的蓄水量可以转化为测量水位，平时蓄水量不好测量，但水位很好测量.
学生6：可以化难为易，测量蓄水量工作难度大，但测量水位比较容易.
教师：上述图表给你印象最深的是什么？
学生7：对应关系（经过师生的反复交流而得出）.
教师：请大家再举一些生活中的例子，感悟对应思想.
学生8：我在菜场看到一个卖鱼的，他用的是杆秤（不是电子秤），他只要把鱼的重量一秤好，就立即报出多少钱，开始我觉得他的计算能力很强，后来知道他原来是把鱼的重量和价钱对应好了，然后记熟了，所以，一有重量就知道多少钱，也是对应关系.
学生9：我一直在思考一个问题，没有人用刻度尺去测量汽车走的路程，汽车上的里程表的数据是怎么来的呢？后来查资料知道，是由车轮的周长乘以车轮的转数确定，车轮的周长是常量，这样汽车行驶的路程就由转数确定了，也是对应关系.
教师：刚才我们是通过图表体会两个变量间对应关系，还有其他的方式吗？看看下面的例子.
情境2：如图1，把一点水激起的波纹看成是一个不断向外扩展的圆.1.在这一变化过程中，有哪些变量？2.这些变量之间有关系吗？用什么样的语言来描述这种关系呢？3.为什么要研究圆的面积和半径的关系？如果半径确定，而圆的面积不确定，研究还有意义吗？
学生10：有四个变量，半径、直径、周长、面积
教师：我们不妨先研究其中两个变量的关系，比如半径和面积，半径和面积有关系吗？
学生11：有关系，小学就学过s=πr2，
教师：下面我就来体会式子s=πr2是怎么对应的，大家从特殊值开始进行尝试.
学生12：当r=1时，s=π；r=2时，s=4π；r=3时，s=9π，r=4时，s=16π……列成表格如下：这就和上个例子一样，s和r是对应的.
情境3：在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位.图2是我国某海港某天的实时潮位图，请从图像中去体会两个变量的对应关系.
教师：请根据情境1、2的提示，从图像中去体会两个变量的对应关系.
学生13：图像上有无数个点，每一个点都由横坐标和纵坐标组成，当横坐标变化时，图像上该点的纵坐标也随着变化，也就是每个点的横坐标和纵坐标是对应的.
教师：大家在平面直角坐标系中画出各种图形，感受这种对应关系.大家总结一下有几种方法来表示两个变量之间的对应关系？
师生共同完成，得出可以通过图表、关系式、图像来表示两个变量的对应关系.
环节3：正确理解两个变量的“对应”关系
教师：上面我们感受了两个变量之间的“对应”关系，那么如何正确理解“对应”呢？也就是“对应”应该包含哪些内容？先独立思考，讨论后交流.
学生14：这种“对应”应该是在两个变量之间，通过一个变量可以求出另一个变量
学生15：其中一个变量变化，另一个变量也随着变化.
教师：对“其中一个变量变化，另一个变量也随着变化”中的两个“变化”有限制要求吗？
学生16：根据情境1、2、3的讨论，我理解为当一个变量确定时，另一个变量也随着确定，这样研究变量间的关系才有意义，比如，情境1中当水位为106m时，如果蓄水量不确定，这样研究就没有意义，所以我觉得“另一个变量也随着变化”中的变化是“变化且确定”.
教师：通过讨论，大家明确上述实例的核心是“对应”而不是“变量”，是“两个变量间的对应关系”.这就是我们今天要讲的核心内容“函数的概念”，结合刚才的讨论，试着给函数下定义.
……
教师板书：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量.
环节4：函数概念及辨析
环节5：课堂练习及小结.
限于篇幅，此处省略.
3理念阐述及其对教学的启示
为什么把“感悟、理解变量之间对应的关系”作为本节课的着力点，而不把“概念的定义和辨析”作为本节课的着力点，是基于以下考虑，同时，这样的设计对概念起始课的教学有很大的启示作用.
3.1概念起始课教学要着力于让学生感知概念产生的必要性
为什么要产生新概念，新概念的产生是凭空想象的吗？本节课通过大量的生活实例，比如水位和蓄水量的“对应”、圆的面积和半径的对应、潮位和时刻的对应、重量和价钱的对应、里程和车轮转数的对应等等，让学生感知新概念产生的必要性，它既是生活实际的需要，也是数学自身发展的必然，不搞清楚概念产生的背景，学生的学习也就没有方向，而糊涂的学习必然导致效果低下.所以，起始课上让学生明确概念产生的必要性比概念的学习更重要.
3.2概念起始课教学要着力于让学生经历概念形成的过程，积累数学活动经验
“感悟、理解变量之间的对应关系”作为本节课的着力点，能使学生经历概念形成的过程，了解概念的来龙去脉.“动态数学观”指出：数学教学不应把注意力唯一地集中于数学活动的最终产物，而应更加注意活动本身，教学不仅要重视学生获得的知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，引导学生通过参与数学活动获得基本经验，感悟基本思想，帮助学生形成良好的学习习惯等.本案例通过学生反复体会、感悟两个变量的“对应”关系过程，学生不仅能获得函数的知识，更获得了在探究函数过程中的“隐性数学知识”——数学活动经验.建构主义理论认为：学习实际上是新旧知识互相作用的结果，学习是每个学生在已有知识和经验的基础之上的主动的建构过程，学生在学习新知识之前，运用已有的知识认识新情境，解释新问题，并把新的学习内容纳入已有的认知结构，从而完成新知识的学习.本节课通过对多个情境的设计，以及学生联系实际的举例，运用的都是以前学过的知识，如图表、关系式、图像等，但不断让学生在新情境中去理解“两个变量的对应关系”，确是新问题、新知识，这种让学生经历函数概念形成的过程，引导学生主动建构函数概念的教学会让学生终身受益.
另外，感悟、体会、理解是一个内化吸收的缓慢过程，教师通过放慢教学节奏，使学生有更多独立思考的时间.慢的是教学节奏，收获的是学生思维能力的提升.而思维能力的培养应该是每节课教学的着力点.
3.3概念起始课教学要避免不顾学生认知规律一味追求概念的严密性
概念的严密性和学生认知水平之间是一对矛盾.怎样解决这对矛盾呢？著名教研员裴光亚先生说：“变化”不是函数的本质，可以用式子表达也不是函数的本质，“对应”才是函数的本质.我们可不可以为了这个本质从“集合”和“对应”出发呢？如果那样，从数学的逻辑来讲，当然是很好的.可是，学生呢？对教学来讲，再好的数学，不满足学生的接受心理又有什么用？所以，一切从实际出发，从学生的认知现状出发，必须从不严格出发，为抵达严格预设通道直至抵达严格；为了适应学生的学习现状，本节课没有采取“情境导入——定义概念——概念辨析——概念巩固”的同化教学模式，是因为该模式过于强调对概念的深化理解.而是设计为在“感悟、理解变量之间的对应关系”之后得出概念，虽然过程不太严谨，但对函数“对应”本质揭示充分，学生在充分理解概念产生的必要性之后，老师又着力于让学生对概念前置的感知，然后得出概念就水到渠成.教学过程符合学生认知规律，是当前学段最好的教学选择.另外，由于函数的学习时间跨度很大，对函数概念理解没有必要一次性到位，
也许本节课淡化对概念的枯燥理解，侧重对函数“对应”的感知是尊重学生认知规律和课程标准的具体体现.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]裴光亚.数学教师的特有语言与个性特征[J].中学数学教学参考（下半月·初中），2007（9）.
[3]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法，2009（7）.
