提炼基本图形巧解最值问题
姜黄飞 沈顺良
1提炼基本图形
二次函数的最值问题、增减性问题是历年中考的热点问题，也是中考试题卷上的难点问题，在一定区间内的函数最值问题更是学生的易错点.笔者在教学中研究发现，有关上述问题都只需要关注抛物线的开口方向和对称轴的位置，所以我们可以将二次函数的图像从直角坐标系中剥离出来，提炼出下面两种基本图形，利用两种基本图形，在图中找出自变量对应的图像区间从而解决相关的最值等问题.
基本图形1基本图形22两种基本图形的适用范围和优势
两种基本图形适用于二次函数的最值问题、增减性问题，它不关注抛物线与两坐标轴的交点，只需画出抛物线的对称轴和开口方向，这使得画基本图形非常简便，尤其是含参数的二次函数最值问题，只要画好对称轴的位置，讨论区间与对称轴的位置关系就可以了.还有在解决实际应用问题中的最值问题时，不管自变量区间包不包含顶点，都可以借助基本图形数形结合的加以解决，避免错误的发生.下面从几个中考实例加以说明.
3基本图形的应用
3.1已知函数值的大小关系，求顶点自变量的范围
例1（2013年陕西）已知两点A（-5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+ca≠0上，点Cx0，y0是该抛物线的顶点.若y1>y2≥y0，则x0的取值范围是（）.
A.x0>-5B.x0>-1
C.-5
解析方向一：从“形”的角度分析，数形结合.
由点Cx0，y0是该抛物线的顶点，且y1>y2≥y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，画出基本图形2.
接下来点A，B在哪里？想到分类讨论，都在对称轴的左边或一左一右或都在右边，利用不等式求解.
因为y1>y2≥y0，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的同侧.
①：如1，当A、B两点都在对称轴的左侧时（点B可以与顶点重合），x0≥3；
②：如2，当A、B两点在对称轴的两侧时，点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0-（-5）>3-x0，解得x0>-1，又3>x0>-5，所以3>x0>-1；
③：如3，A、B两点都在对称轴的右边不合题意，综上所得：x0>-1，故选B.
123方向二：从“数”的角度分析，这里不作分析.
解后反思对于二次函数的有关最值问题和增减性问题，借助提炼基本图形，数形结合，是一条快捷有效的解决问题的途径，题中有关A、B两点与顶点的位置需要分类讨论是分析中的难点，也是易错点，还有如2中A、B两点到对称轴的水平距离的比较，需要用到抛物线的对称性分析，在解决相关问题中这也是一个重要的关注点，也是分析和解决问题中的一个难点.
3.2已知自变量取值范围和最值，求参数的值
例2（2014年浙江嘉兴）当-2≤x≤1时，二次函数y=-x-m2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）
A.-74B.3或-3
C.2或-3D.2或-3或-74
思维导引①利用函数开口方向和顶点画出基本图形；②-2≤x≤1处在哪个范围内，分类讨论；③利用不等式和方程列式求解；④考虑范围的取舍；
123解析
①如1，当m>1时，-2≤x≤1对应的图像在对称轴的左边，不包含顶点，
有x=1时，二次函数取到最大值，
此时，-1-m2+m2+1=4，解得m=2，成立.②如2，当-2≤m≤1时，-2≤x≤1对应的图像包含顶点，
有x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，解得m1=3（舍去），m2=-3；所以m=-3.
③如3，当m<-2时，-2≤x≤1对应的图像在对称轴的右边，不包含顶点，
有x=-2时二次函数有最大值，
此时--2-m2+m2+1=4，解得m=-74与m<-2矛盾，故m值不存在；
综上所述，m的值为2或-3.故选C.
解后反思对于含参数的二次函数的有关最值问题和增减性问题，上例中对称轴用含参数的式子：直线x=m来表示，用提炼的“基本图形”，我们只需要关注抛物线的开口，可以避免对称轴与x轴的位置关系的讨论，图形非常的简洁，只需要对-2≤x≤1与对称轴的位置关系进行分类讨论即可.分类讨论与案例1讨论的方法类似，但是每一段有一个大前提.如-2≤x≤1对应的图像在对称轴的左边，不包含顶点时对应的m的范围是m>1，后面计算的m值或范围要考虑取舍，这是含参数问题最需要注意的地方，也正是我们很多同学容易出错的地方，上面案例中的后面两段都需要作取舍.
3.3二次函数实际应用中，求函数的最值.
例3（2013年湖北黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：y1=15x+900
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
思维导引①由年产量国内、国外市场共6千件，国内销售数量x（千件），所以国外的销售数量t=6-x（千件），从而将y2中t的范围转化成x的范围，0
①当0
当2
当4
123故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元.解后反思应用二次函数解决实际问题时，最值问题的求解是中考考查的一个热点，也是学生的易错点，难在自变量范围的确定和在一定范围内的最值的求解，学生往往忽视自变量的取值范围.本案例中要对自变量x分三段讨论，而每一段都需要分析相应的最值，再综合起来，这里主要关注各段区间上最值的求解，在0
作者简介姜黄飞，男，中学高级教师，县数学学科带头人，主持了多个课题并获奖，参与过市中考命题和期末统考命题，获县优秀教师，县优秀班主任，优秀德育导师等荣誉.
1提炼基本图形
二次函数的最值问题、增减性问题是历年中考的热点问题，也是中考试题卷上的难点问题，在一定区间内的函数最值问题更是学生的易错点.笔者在教学中研究发现，有关上述问题都只需要关注抛物线的开口方向和对称轴的位置，所以我们可以将二次函数的图像从直角坐标系中剥离出来，提炼出下面两种基本图形，利用两种基本图形，在图中找出自变量对应的图像区间从而解决相关的最值等问题.
基本图形1基本图形22两种基本图形的适用范围和优势
两种基本图形适用于二次函数的最值问题、增减性问题，它不关注抛物线与两坐标轴的交点，只需画出抛物线的对称轴和开口方向，这使得画基本图形非常简便，尤其是含参数的二次函数最值问题，只要画好对称轴的位置，讨论区间与对称轴的位置关系就可以了.还有在解决实际应用问题中的最值问题时，不管自变量区间包不包含顶点，都可以借助基本图形数形结合的加以解决，避免错误的发生.下面从几个中考实例加以说明.
3基本图形的应用
3.1已知函数值的大小关系，求顶点自变量的范围
例1（2013年陕西）已知两点A（-5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+ca≠0上，点Cx0，y0是该抛物线的顶点.若y1>y2≥y0，则x0的取值范围是（）.
A.x0>-5B.x0>-1
C.-5
解析方向一：从“形”的角度分析，数形结合.
由点Cx0，y0是该抛物线的顶点，且y1>y2≥y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，画出基本图形2.
接下来点A，B在哪里？想到分类讨论，都在对称轴的左边或一左一右或都在右边，利用不等式求解.
因为y1>y2≥y0，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的同侧.
①：如1，当A、B两点都在对称轴的左侧时（点B可以与顶点重合），x0≥3；
②：如2，当A、B两点在对称轴的两侧时，点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0-（-5）>3-x0，解得x0>-1，又3>x0>-5，所以3>x0>-1；
③：如3，A、B两点都在对称轴的右边不合题意，综上所得：x0>-1，故选B.
123方向二：从“数”的角度分析，这里不作分析.
解后反思对于二次函数的有关最值问题和增减性问题，借助提炼基本图形，数形结合，是一条快捷有效的解决问题的途径，题中有关A、B两点与顶点的位置需要分类讨论是分析中的难点，也是易错点，还有如2中A、B两点到对称轴的水平距离的比较，需要用到抛物线的对称性分析，在解决相关问题中这也是一个重要的关注点，也是分析和解决问题中的一个难点.
3.2已知自变量取值范围和最值，求参数的值
例2（2014年浙江嘉兴）当-2≤x≤1时，二次函数y=-x-m2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）
A.-74B.3或-3
C.2或-3D.2或-3或-74
思维导引①利用函数开口方向和顶点画出基本图形；②-2≤x≤1处在哪个范围内，分类讨论；③利用不等式和方程列式求解；④考虑范围的取舍；
123解析
①如1，当m>1时，-2≤x≤1对应的图像在对称轴的左边，不包含顶点，
有x=1时，二次函数取到最大值，
此时，-1-m2+m2+1=4，解得m=2，成立.②如2，当-2≤m≤1时，-2≤x≤1对应的图像包含顶点，
有x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，解得m1=3（舍去），m2=-3；所以m=-3.
③如3，当m<-2时，-2≤x≤1对应的图像在对称轴的右边，不包含顶点，
有x=-2时二次函数有最大值，
此时--2-m2+m2+1=4，解得m=-74与m<-2矛盾，故m值不存在；
综上所述，m的值为2或-3.故选C.
解后反思对于含参数的二次函数的有关最值问题和增减性问题，上例中对称轴用含参数的式子：直线x=m来表示，用提炼的“基本图形”，我们只需要关注抛物线的开口，可以避免对称轴与x轴的位置关系的讨论，图形非常的简洁，只需要对-2≤x≤1与对称轴的位置关系进行分类讨论即可.分类讨论与案例1讨论的方法类似，但是每一段有一个大前提.如-2≤x≤1对应的图像在对称轴的左边，不包含顶点时对应的m的范围是m>1，后面计算的m值或范围要考虑取舍，这是含参数问题最需要注意的地方，也正是我们很多同学容易出错的地方，上面案例中的后面两段都需要作取舍.
3.3二次函数实际应用中，求函数的最值.
例3（2013年湖北黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：y1=15x+900
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
思维导引①由年产量国内、国外市场共6千件，国内销售数量x（千件），所以国外的销售数量t=6-x（千件），从而将y2中t的范围转化成x的范围，0
①当0
当2
当4
123故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元.解后反思应用二次函数解决实际问题时，最值问题的求解是中考考查的一个热点，也是学生的易错点，难在自变量范围的确定和在一定范围内的最值的求解，学生往往忽视自变量的取值范围.本案例中要对自变量x分三段讨论，而每一段都需要分析相应的最值，再综合起来，这里主要关注各段区间上最值的求解，在0
作者简介姜黄飞，男，中学高级教师，县数学学科带头人，主持了多个课题并获奖，参与过市中考命题和期末统考命题，获县优秀教师，县优秀班主任，优秀德育导师等荣誉.
