数学慢教育设计的“起”“承”“转”“合”

“起、承、转、合”是诗词创作的章法艺术.“起”是开头；“承”是过程；“转”是变化；“合”是收尾.把“起承转合”的艺术借用在数学课堂慢教育设计层面，则可诠释为：起课、承课、转课、合课的艺术.
这里的“起课”是指情境建设要计白当黑；“承课”是指问题构造要以一当十；“转课”是指变式思维要触类旁通；“合课”是指联结内化要通体相关.唯有遵循“起承转合”的思想艺术设计数学慢教育教学，让学生在亲历“为何体验，体验为何”中获得活泼泼的内源建构思维的发展，方能让学科教育观在数学慢教育课堂得以“本体”落实、辩证前行，终归于“过程性”生命教育的生态生长.[1]
1 “起”课的艺术
“起课”是一节课的开端.“良好的开端是成功的一半”就是对起课的哲学思量，“起”意味着“箭在弦上”，一种就绪的心理准备状态.而“箭在弦上”用在教学设计层面则是“如何起”的问题，目前流行的起课是生活化情境营造，为理解而情境是值得认同的，但为情境而情境的现象要叫停.笔者一直欣赏“减法”教学，尽量在数学内部寻找“关系性理解”的情境观是数学慢教育的本体论，也是学科教育应有的价值观.这和建构主义不允许有“前概念”的观点是一脉相承的.
“疏可走马，密不通风”是书画的最高境界，而“计白当黑，虚实相间”则是慢教育起课的生动具象.就认知规律而言，起课的问题心理水平要有利于不同层次的儿童在“做”和“思”的过程中各就各位而终于复合，一般的心理水平代表大众整体水平，承担计白当黑中“黑”的作用，心理水平较高或较低代表个别与特殊，承担计白当黑中“白”的作用，唯有关注中间兼顾两头，方能让认知思维向四面八方有效打开；就教学目标而言，起课的组织形式要有利于课时目标和课程目标在冲突中走向统一.因为课时目标是一次课的主旋律，相当于计白当黑中“黑”的作用，而课程目标是高观点层面一次课的思想统领，相当于计白当黑中“白”的作用，唯有黑白相间，方能让思维目标向四面八方有序打开；就教学方法而言，起课的问题样态要有利于发现和提出新问题并在思辩中并轨谐行.因为“提出一个问题往往比发现问题更重要”（爱因斯坦语），所以发现问题承担“黑”的作用，而提出问题承担“白”的作用，唯有让发现和提出问题的行为方式相互谐振，方能让分析思维向四面八方梯级打开.
不妨以苏教版七年级下册“9.5因式分解”概念教学为例，说说“起课”的艺术.初中学生的形式逻辑思维已占优势，已经开始能理解抽象概念的本质属性，且辩证思维的独立性和批判性也有了很大的发展，这为形式化概念的学习准备了心理基础.为此，笔者确立的教学目标是：经历逆用单项式乘多项式、乘法公式探索因式分解的过程，体会整式乘法运算与因式分解的内部联系，发展逆向思维能力；通过代数计算和几何面积法，理解因式分解的方法本质.然后让学生站在概括知识的平台上研读整体内容，说说本节研究了哪些内容，如何划分课时？第一次课应该研究什么？怎样研究？为什么？这样设问和学法指导有利于学生从整体上把握课时的高度和思维的长度，为有主见的自学提供了不留痕迹的体验载体，也为学生发现和提出问题准备了广阔的思维空间.经历自研、他研、你研、我研、合研的研究过程，终归于群体共识的达成：课时1逆用单项式乘多项式、乘法公式运算归纳因式分解的概念，初步会用提公因式法、公式法分解因式；课时2和课时3：会用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解简单多项式的方法，体悟整式乘法运算与因式分解的互逆关系；课时4：通过剪拼图形，借助图形面积帮助学生理解因式分解的几何意义.
如果说整体研读是计白当黑的学法艺术，那么针对性目标的确立是“白”的外在表征的具体化，则课时划分方法的共识达成是“黑”的内在作用的具体表现.或许这样的起课没有热闹的场象甚至过于平静，但暗流涌动的思维就是计白当黑作用的最大化，是数学慢教育课堂起课的艺术所在，也是学科教育观的具体外显.
2 “承”课的艺术
承课是一节课的重头戏，承担由“知”到“识”的思维过程，是新知输入的关键性环节.“承”意味着过程联结，把哲学层面的“联结+过程”用在教学设计层面，则反映庞加莱的数学哲学观：数学上的连续性是从经验的连续性逐步修改而来的，在一定条件下与经验一致.这种思维的“连续性”势必要做出哲学追问“怎样承，承什么”的问题.目前常态课堂的常规做法是“例题+习题”，这样的承课或许直奔主题、省时省力，但强调的是“掌握和记忆现成知识”，停留在“模仿加记忆”的水平.按涂荣豹的数学教学认识论来说，这势必影响学习主体创造精神的发展.笔者一直坚守主体差异教学论即尊重不同个体的认知水平和直觉优势，采用多维度设计的方法，让不同质态的儿童获得应识能识的发展.
“一目十行”是对读书能力的一种称赞，“闻一知三”是对推理能力的认可，而“以一当十”则是对数学慢教育“承课”艺术的赞赏.就教材观而言，教材只是为学习提供线索，承担以一当十“一”的功能，而承载教学目标任务的教学内容的建设，应该具有以一当十“十”的效用.因此数学慢教育课堂关注问题设问方式的多样化，为不同个性的儿童提供不同的研究载体，从而落实“人人都能获得良好数学教育”的课程目标；就发展观而言，儿童是发展中的人，个体的数学现实具有“瞬时性”特征，因此要用发展的眼光看待成长中的儿童.[2]为让学习系统主因素学生的思维发展最大化，问题研究的方式要自由开放，对暂时落后的孩子要有足够的期待.若把个体的数学现实当成“一”，则期待的正值应当是“十”，方能让数学慢教育课堂实效四溢、学力丰长；就差异论而言，因“材”施教和因“才”施教就是对差异论的积极回应.千姿百态的儿童成为班级系统的多因素，不同的认知能力、经验水平以及思维惯习，造就个体学习水平的差异性.为让个性各异的儿童各显其长，数学慢教育关注问题设置的多方案，落实“不同的人在数学上获得不同发展”的课程观.如果说因材施教是“一”，那么因才施教则有能力显化“十”的效用.唯有基于多方案设计，方能有力释放数学慢教育因“才”施教的价值，从而落实人文课程能力.
以“因式分解”的具体承课设计来呈现承课的艺术.基于差异论的多方案设计：
方案1：（1）在小学里学过37×2.8+37×5+37×2.2=37（2.8+5+2.2），37表示什么意义？被称为什么数？（2）用字母表示单项式乘多项式的法则并倒过来写，你有什么发现？规定什么是多项式的公因式？为什么？方案2：（1）如果一个大长方形的面积是37×2.8+37×5+37×2.2，不通过计算你能直接指出它的一边长吗？这里的“37”叫做什么数？（2）如果一个大长方形的面积是ab+ac+ad，它是由几个小长方形拼成的？它的边长是什么？这里的“a”可以叫做什么？你是怎么想到的？方案1用学生的“数学现实”作为素材，让学生感受学习因式分解的必要性，能帮助学生理解数学知识的内部关系；呈现单项式乘多项式的法则，旨在引起学生对“公因数”的再认，在逆向思维的参与下，让学生在头脑中呈现出“公因式”的表征和“因式分解”的直观形象，激发学生的求识欲.而方案2问题设置体现借助面积法揭示分解因式的几何背景和公因式的合情性，要求学生拥有表象思维能力和几何直观能力，方能获取可理解的结论.在具体操作中要给学生画图体验的时间，方能让不同学生都能获取自己的理解契机，让原本抽象的概念可视可见.方案1适合表象思维偏好的学生选用，方案2适合直觉思维偏好的学生选用.
如果说多方案设计是以一当十的话，那么学生选对方案的过程是以一当十的“一”，则尊重差异设计的价值观就是以一当十的“十”.唯有尊重生命求知求识的天然个性，方能带来数学慢教育承课的以一当十和以十当一的艺术效果.在发展学生的同时也成就慢教育的生态能力，这或许是数学慢教育承课的最大贡献，隐喻道生一、生二、生三、生无限的跃迁效应，体现学科教育的正能量.
3 “转”课的艺术
“转课”是学科教育的核心价值，知识类化的关键，关乎思维的变迁和能力的迁移.“转”意味着变化，变化中“不变”的东西，往往是最重要的，变化的背后总有不变的东西在支配着，这应当是科学与哲学的基本信念.[3]把这种包含辩证因素的“基本信念”放在教学设计层面，则是数学慢教育转课的精髓.“变化观”的具体化就是变式，而变式又是挤掉非本质属性的常规手段，是概念类化的有效方式，也是举一反三、触类旁通能力获得的有效抓手.时下常态的转课就是显性变式练习（数量的变化）.实践证明这种做法事倍功半，引发厌学情绪事件，后果可想而知.笔者坚守“做一题，通百题”的信念，这种信念是由学生认知活动的自觉性、选择性和探索性决定的.坚定这种信念的基础是隐性变式联系（变化背景），而不是做超量的平板题能解决的.
“触类旁通”原指掌握某一类事物的规律，就能推知同类事物的本质.在这里是对转课艺术价值的判断和考量.对触类旁通的具体刻画，莫过于“见瓶水之冰，而知天下之寒”的微言大义.把它用在数学慢教育课堂则是对学生心智技能的认可，也是对教学设计的高度认同，更是对转课艺术的高位欣赏.转课艺术的最高境界就是触类旁通，就认知心理学而言，数学认知活动过程就是一种数学心理建构的过程，触类是数学心理建构活动的起点，旁通是数学心理建构活动的终点，触类旁通是数学认知心理释放作用的结果；就系统方法论而言，学生作为学习的主体构成学习系统主元素的主元素，学生的主观能动性、思维水平、迁移形态影响系统的平衡性，学生的思维状态由“触类→旁通”与学习系统的“不平衡→平衡”是一致的.这种动态平衡论，要求问题变式方法的隐性化，有利于求知思维的真正“内化”并到达求识的境界，也才能到达因触类而旁通的正迁移境界；就数学哲学观而言，哲学研究自然普遍的规律，只有数学的抽象，才能完成描述这一普遍规律的任务，因此数学思维对哲学的作用是毋容置疑的.触类是数学研究对象的具体化，而旁通是哲学研究的普遍规律，只有数学与哲学相互作用，方能让触类因旁通而一般，旁通因触类而个别，终归于概念能力的触类旁通.触类旁通的最好抓手就是概念例证的变化，方能排除无关特征的干扰，确认本质属性并推及一般.《周易·系辞上》的“引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣.”就是充满辩证法的转课艺术.

以“因式分解”的具体转课设计来显化转课的艺术.基于“变化观”的问题设计：
（1）下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？
①ax-bx=x（a-b）；②16ax+12ax2=4ax（4+3x）；③2a（a-2b）=2a2-4ab；
④x2+2x+6=x（x+2）+6；⑤a2-1=（a+1）（a-1）；⑥（x+2y）2=x2+4xy+4y2；
⑦3x2-2x-1=（3x+1）（x-1）。请写一个能反映因式分解的等式，并说明理由.
（2）用规格为a×a，a×b，b×b的纸片若干张拼图.①拼出面积是a2+4ab+3b2的长方形，指出边长并写出等式；②拼出边长是（a+b）和（3a+b）的长方形，指出面积并写出等式.经历拼图活动，你对因式分解有哪些新的认识？写一写.
因式分解的定义是描述性的，采用的是“像这样的，……，叫做……”，这就要求在教学设计时，只要抓住概念的实质（写成几个整式的积）即可，淡化概念的教学（本节的分解因式仅限于有理数范围）.方案1设置概念辨析问题旨在抽象出概念本质属性并加以类化，服务于概念的形成；而方案2则是借助拼图，直观再现乘法运算与因式分解的关系，促进概念的同化与顺应，达成概念的完形，这类问题解决具有创造意识，可供思维活跃的学生选用.
如果说概念辨析活动的创设是一种显性变式设计，那么由拼图显化概念本质的行为是一种隐性变式设计，则殊途同归的获取概念的本质属性就是概念类化过程的结果.这里的显性变式就是“触类”作用的具体表现，“旁通”就是隐性变式通用的结果，梯级变式之后的“变化”就是转课艺术释放力量的结果.正像“哲学在破旧立新中生长，数学在建设中发展.”转课的艺术在转课中渐次课程化，触类旁通意义也随转课的艺术发展而辩证前行.
4 “合”课的艺术
“合课”是元认知活动的重要载体，是知识结构转化为认知结构的有效抓手.按照裴光亚先生的合课观（结课观），可以是总结性合课，表现形式是问题解决，立足点是引起学生的内在冲突，满足学生的内在需求；可以是情境性结课，表现形式是提出问题，为后续课堂奠基思维经验，立足点是知其然并知其所以然的所以然，通过错位、反例让“以为懂知其不懂”.[4]无论是哪种合课都是因联结而内化，因相关而通体，联结内化的过程就是通体相关的过程，也是知识经验、思想方法图式化并形成良好认知结构的过程.目前，大多数课堂因练题容量观的制约，往往省去最不该省去的合课环节，例题讲授之后，除了练习还是练习，结果只能是记住结论和题型的解法，属于“知”的近期学习效果，缺乏“识”的创造性，无法将既得认知转化为能力的能力.[5]笔者一直坚持“总结+情境”通体相关的合课观，这样能让学生拥有句号的成功感，又有新冲突的内在困扰，使得解除新困惑的迫切感成为持续求识欲的动力源，这就是数学慢教育课堂合课艺术的魅力所在.
通体相关是一种思维方法，是整体思维的表现形式，作为辩证逻辑思维结构的独立形态存在着，强调从整体上把握事物的本质，重视整体与部分的内关联，显化“天人合一”的哲学思想.把它用在教学设计层面，则反映数学慢教育课堂合课的艺术，具体表现在问题设计的整体性、知识建构的连续性和思想方法的系统性.就思维的整体性而言，设计的总结性问题具有整体大于部分之和的哲学意义，让学生在问题解决中能获得外源建构思维的发展；就知识的连续性而言，设计的联结性问题具有目标选择联结能力的指导意义，让学生在问题解决的过程中切身体认辩证建构思维对于数学再发现的价值；就方法的系统性而言，设计思想开放性的归结问题具有弱抽象和强抽象交互作用的方法论意义，让学生在内源建构思维中获得正迁移能力并转化为未来某个时段的正向行事观.
以“因式分解”的具体合课设计来显化合课的艺术.基于“联结能力观”的问题设计：
（1）把下列各式分解因式并思考：你是怎样分解因式的？这样分解的依据是什么？
①12ab2c-6ab；②16a2-9b2；③4a2-12ab+9b2；④18x2-50.（2）请写一个能用提公因式法、公式法分解因式的多项式，让同伴给出应答过程并说明理由.（3）以“因式分解”为话题，写一篇数学短文.在学生整体领悟因式分解要义的基础上，引导学生在问题解决和提出问题的层面进行元认知活动的合课行为，能助推学生的产生式系统形成.而合课的艺术性表现在问题设计的联结性、错位性以及逆向的思维构造：问题（1）让学生在因式分解中体悟分解因式的方法.直面简单多项式的结构，能迅速确定用哪种方法分解因式（是纯粹的提公因式法和公式法，还是综合法）.教材以填空的形式呈现该问题，锁定思维步骤，给出一定的指向，有利于学生定向把握和定量思考；在这里以合课的形态呈现，撇开思维形式化铺垫，解题思维水平明显上升，为后续“一提、二套、三分解”的方法铺垫操作经验和思维地气，教学中要用好它.问题（2）以逆向思考的形态呈现知识内联结的状态，有助于学生深度理解作为“基石”的概念学习.问题（3）以建构思维的培养模式进行元认知活动，使得学生在暴露“怎样学”“学怎样”的过程中获得通体相关的本体价值.关键是“让学生先来”，方能切实实现合课复合的教育哲学功能.
如果说问题解决是一种内源建构思维的培养，那么基于逆向思考的问题提出则是一种辩证建构思维的搭建，则错位思考（话题作文）就是一种内源建构思维的发展.而合课的艺术就在于让学生通体相关思维的越级发展，因为教育的本质就是情感能力的形成.正如赞可夫所言：教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，这种教学法就能发挥高度有效的作用.[6]
数学慢教育设计中“起承转合”的艺术，是一种结构艺术，是一种方法艺术，还是一种策略艺术，更是一种人生艺术.无论放在哪个层面，关键是相辅相成，方能因且行且思而渐行渐远，并一路走好.
“起”“承”“转”“合”设计艺术作为数学慢教育研究板块与“数学慢教育文献综述”“初中数学慢化教育的可行性调查与分析” [7]“初中数学慢教育评价的‘四力”（《上海教育科研》拟刊）“初中数学慢化教育的元话语与操作要义” [8]都是开展数学慢教育在地性研究的“标志性事件”，在长达六年探索的基础上，试图对慢教育课堂进行理性思索和知性复归，呈现数学慢教育课堂的本真（“顺木之天性，激情启疑使之乐学”），终归于“天光云影共徘徊”的大教育境界.
顺便提及，数学慢教育课堂通常分为几大模块，其中概念课、原理课（规则课）、解题课是教学的主体.[9]“概念课”设计的艺术关键是“起”即渗透本原性数学史教育；“原理课”设计的艺术关键是“承”与“转”，即经历理论的建立、发展和致用的过程；“解题课”设计的艺术关键是“合”，即观照元认知培养意识，反映“生命观”教育的教育主张.
参考文献
[1] 朱桂凤，孙朝仁.数学慢教育研究综述[J].江苏教育研究，2013（7A）：47-50.
[2] 傅佩荣.西方哲学与人生（第1卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[3] 张景中.数学与哲学[M].北京：中国少年儿童出版社，2011.
[4] 裴光亚.穿行的教研人生在书房与教室间：数学教师的专业发展[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2013.
[5] 王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，2013.
[6] 萧柏荣.数学教育探索五十年[M].南京：南京大学出版社，2012.
[7] 朱桂凤，孙朝仁.初中数学慢化教育的可行性调查与分析[J].中学数学杂志，2014（6）：1-4.
[8] 朱桂凤，孙朝仁.初中数学慢化教育元话语与操作要义[J].中学数学，2014（10）：73-75.
[9] 何勇，曹广福.数学课堂如何兼顾学生数学素养与应试能力[J].数学教育学报，2014（2）：60-62.