奇妙的“杨辉三角”

    蓸梭峰

    

    

    如图1.这是一个非凡的图形.它刊载于七百多年前南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，人们称之为“杨辉三角”.杨辉还在书中说，这个图出自贾宪的《释锁》算书.但可惜的是，贾宪的书失传了，在西方的数学史著作中，把这个图形称为“帕斯卡三角”，西方人认为这个图形是法国数学家帕斯卡（1623-1662）于1645年首创的，其实，在杨辉之后，中国元代数学家朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）一书中还曾用过这个图形.中亚细亚的阿尔·卡希于1427年、德国数学家阿卜亚鲁斯于1527年也使用过这个图形.但他们都比杨辉或贾宪要晚很长时间了.

    一、“杨辉三角”的性质

    这个图形有什么用处呢？“杨辉三角”的原名叫“开方作法本源图”，是用来开方的，其原理至今仍然适用.我们知道，

    所以，这个图表示的是（a+b）n当n=l，2，3，4，5，…时展开式的系数.

    下面，我们对“杨辉三角”的性质初步归纳一下.

    （1）对称性：

    每行中与首末两项等距的两个数相等;

    （2）递归性：

    1以外的任一个数都等于它肩上的两个数之和;

    （3）和幂性：

    第n+l （n=0，1，2，3，…）行的各数之和等于2n.

    借助于这些简单性质，可以解答与（a+b）n有关的问题.

    例1 （a+b）20的展开式中第三项的系数为（

    ）.

    A.2017

    B.2 016

    C.191

    D.190

    解析：先探索规律.（a+b）3，的第三项的系数为3=1+2，（a+b）4的第三项的系数为6=1+2+3，（a+6）5的第三项的系数为10=1+2+3+4……不难发现，（a+b）20的第三项的系数应为l+2+3+…+19=（1+9）×19/2 =190.故选D.

    二、“杨辉三解”的应用

    不少数学家对各个正整数在“杨辉三角”这个无限大的数阵中出现的次数抱有很大的兴趣.人们发现，l出现了无数多次;2仅出现了1次;3，4，5这三个数都出现了2次;6出现了3次……还有一些较大的数，它们出现的次数更多.例如，120出现了6次，而3003出现了8次（先后出现在第15，16，79，3 004行）.人们自然会问，是否有大于l的正整數，在“杨辉三角”中出现的次数超过8呢？遗憾的是，到目前为止数学家们还没有找到这样的正整数.1971年，英国数学家大卫·辛马斯特猜测，那些大于1的正整数在“杨辉三角”中出现的次数会有一个上限.这就是所谓的“辛马斯特猜想”.

    例2 已知图2中每个小方格都是正方形.求从A到B的最短路径

    解析：我们从简单的情形人手，对图形中左上角的2x2网格进行分析后可知，每个结点的最短路径数如图3所示.把这个数阵旋转一下，我们会惊讶地想起“杨辉三角”.因为其中每一个数字是它“肩上”的两个数字之和.

    于是，对这类问题可从“杨辉三角”的角度给出一个一般性的解法.将正方形网格的相邻两边与“杨辉三角”的两个都是l的斜行分别叠合，作平行四边形，则平行四边形另一个顶点所对应的值就是所要求的最短路径数.易知从A到B的最短路径有35种（如图4）.

    数学可以把看起来复杂的事物变得简明，也可以把看似毫不相关的两个事物巧妙地联系在一起.随着学习的深入，我们将会领略“杨辉三角”的更多的有趣性质.