数学，学什么
田献增
题目 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
1 忘却的记忆
笔者当看到南京试题的25题时，想起了2005年参加日照市中考试题命题时出的一道题：
一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的图形图案.某同学为此提供了如图2所示的五种设计方案.其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）.
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
本题设计意图是借助学生熟悉30°直角三角板，在考察30°角直角三角形、等边三角形、矩形以及三角形中位线等知识点的同时，还考察了学生综合探究能力或分类思想.题外之意是引导教师在教学或学生在学习时，要注意用数学的眼光观察生活，培养学生的数学意识、数学思考.（解法略）
在命题过程中，原本想命制一道具有探究性的开放题，并以填空题或解答（画图）题形式展示.例如填空题形式：
一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图案，其中可行的设计方案有 种.
本题从数学的角度考虑，若已经找到n种方案，但没找到第（n+1）种方案，又不能证明多于n（如n+1）种方案不存在.因此就改为试卷中的选择题.
本题与南京中考试题第25题比较，笔者认为无论从数学素材的选择，还是命题角度、意图以及题目分析方法，都有相似之处.
2 题目解答过程中分类方法的探讨
因为本题要求所画出的三角形满足以下条件：A为一个顶点；另外两个顶点（不妨设为E，F）在正方形ABCD的边上；一边长为3；所有大小不同的等腰三角形.因此应先以等腰三角形的“顶点”（注：与三角形顶点含义不同）为标准进行分类讨论.
（1）当AE=AF时，此时
①若AE=AF=3，有如图3（1）一个等腰三角形.
②若EF=3，有如图3（2）（5）两个等腰三角形.
（2）当EA=EF时，此时
①若EA=EF=3，当点E在AB上时，有如图3（3）一个等腰三角形；当点E在AD上时，有大小相等、形状相同的三角形，同图3（3）.
②若AF=3，当点F在AB上时，有如图3（4）一个等腰三角形；当点F在AD上时，有大小相等、形状相同的三角形，同图3（4）.
（3）当FA=FE时，讨论方法同（2）.因此本题满足条件的所有等腰三角形如图3所示.
3 对南京第25题设计意图以及价值分析
（1）从本题考察的数学知识角度上看，解答本题用到的知识比较浅显，如正方形、等腰三角形和线段中垂线”等性质以及全等三角形直观判定.
（2）从本题命题目的角度上看，因为该题背景对于学生来说特别熟悉.因此有“出其不意，攻其不备”之效.从学生最熟悉的“生活情境”中提出问题，并且用最基本的数学知识解决问题，这应是中小学数学教育的方向，也是课程标准的要求.“繁、难、偏”或数学内部知识的叠加组合，无益于学生数学学习.培养学生的分析问题，解决问题的数学能力，探究问题的数学能力，深入挖掘日常生活中数学素材，同样可以达到目的.
（3）从本题对教师学生心理影响上看，这样的题目即使学生得分率很低，我想命题者也不会被学生、学生家长以及老师怨为“数学帝”.留给教师和学生的是自身的“反思”和“责备”.倘若是这样，不正是“中考指挥棒”想达到的目的吗？
（4）从本题解题的思想方法上看，除了考察运用“尺规作图”思考问题的意识外，主要考察分类思想和方法.分类思想是数学中非常重要的思想方法.我曾经和“当代教育家”杂志社主任王湘蓉“开过玩笑”——数学学习关键在于“分类”，对于低年级学生来说，要加强分类意识的培养和分类标准教学.学生分类意识薄弱，分类标准不清，难以学好数学.从这个意义上讲，分类或许是数学思维的“核心”，数学能力的“基础”.
事实上，学生对于数学知识掌握的多与寡，走向社会后（培养数学精英除外）对于自身发展影响不大.日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益.学生将知识忘却了以后剩下的东西，这其中核心的成分是数学思维.”本题的价值正是在于留给学生的“分类”数学思维和数学的意识与数学的思考.也正是这种数学思想是学生走向社会或继续学习必备的素质.
题目 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
1 忘却的记忆
笔者当看到南京试题的25题时，想起了2005年参加日照市中考试题命题时出的一道题：
一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的图形图案.某同学为此提供了如图2所示的五种设计方案.其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）.
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
本题设计意图是借助学生熟悉30°直角三角板，在考察30°角直角三角形、等边三角形、矩形以及三角形中位线等知识点的同时，还考察了学生综合探究能力或分类思想.题外之意是引导教师在教学或学生在学习时，要注意用数学的眼光观察生活，培养学生的数学意识、数学思考.（解法略）
在命题过程中，原本想命制一道具有探究性的开放题，并以填空题或解答（画图）题形式展示.例如填空题形式：
一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图案，其中可行的设计方案有 种.
本题从数学的角度考虑，若已经找到n种方案，但没找到第（n+1）种方案，又不能证明多于n（如n+1）种方案不存在.因此就改为试卷中的选择题.
本题与南京中考试题第25题比较，笔者认为无论从数学素材的选择，还是命题角度、意图以及题目分析方法，都有相似之处.
2 题目解答过程中分类方法的探讨
因为本题要求所画出的三角形满足以下条件：A为一个顶点；另外两个顶点（不妨设为E，F）在正方形ABCD的边上；一边长为3；所有大小不同的等腰三角形.因此应先以等腰三角形的“顶点”（注：与三角形顶点含义不同）为标准进行分类讨论.
（1）当AE=AF时，此时
①若AE=AF=3，有如图3（1）一个等腰三角形.
②若EF=3，有如图3（2）（5）两个等腰三角形.
（2）当EA=EF时，此时
①若EA=EF=3，当点E在AB上时，有如图3（3）一个等腰三角形；当点E在AD上时，有大小相等、形状相同的三角形，同图3（3）.
②若AF=3，当点F在AB上时，有如图3（4）一个等腰三角形；当点F在AD上时，有大小相等、形状相同的三角形，同图3（4）.
（3）当FA=FE时，讨论方法同（2）.因此本题满足条件的所有等腰三角形如图3所示.
3 对南京第25题设计意图以及价值分析
（1）从本题考察的数学知识角度上看，解答本题用到的知识比较浅显，如正方形、等腰三角形和线段中垂线”等性质以及全等三角形直观判定.
（2）从本题命题目的角度上看，因为该题背景对于学生来说特别熟悉.因此有“出其不意，攻其不备”之效.从学生最熟悉的“生活情境”中提出问题，并且用最基本的数学知识解决问题，这应是中小学数学教育的方向，也是课程标准的要求.“繁、难、偏”或数学内部知识的叠加组合，无益于学生数学学习.培养学生的分析问题，解决问题的数学能力，探究问题的数学能力，深入挖掘日常生活中数学素材，同样可以达到目的.
（3）从本题对教师学生心理影响上看，这样的题目即使学生得分率很低，我想命题者也不会被学生、学生家长以及老师怨为“数学帝”.留给教师和学生的是自身的“反思”和“责备”.倘若是这样，不正是“中考指挥棒”想达到的目的吗？
（4）从本题解题的思想方法上看，除了考察运用“尺规作图”思考问题的意识外，主要考察分类思想和方法.分类思想是数学中非常重要的思想方法.我曾经和“当代教育家”杂志社主任王湘蓉“开过玩笑”——数学学习关键在于“分类”，对于低年级学生来说，要加强分类意识的培养和分类标准教学.学生分类意识薄弱，分类标准不清，难以学好数学.从这个意义上讲，分类或许是数学思维的“核心”，数学能力的“基础”.
事实上，学生对于数学知识掌握的多与寡，走向社会后（培养数学精英除外）对于自身发展影响不大.日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益.学生将知识忘却了以后剩下的东西，这其中核心的成分是数学思维.”本题的价值正是在于留给学生的“分类”数学思维和数学的意识与数学的思考.也正是这种数学思想是学生走向社会或继续学习必备的素质.
