求值如添“翼”平行“牵”相似

    王锋

    

    

    

    在人教版九年级数学下册第27章“相似三角形的判定”一节中，有一个三角形相似的判定定理——“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”.与此判定定理相关的习题“占据”了相似图形问题的“半壁江山”，因此我们透彻理解这个定理的内涵，掌握这个定理所蕴涵的基本的相似图形，对解决与此相关的相似问题具有非常重要的作用.

    如图1、图2，DE//BC，△ADE∽△ABC.

    为了在解决问题时叙述方便，我们把上述两个图形称为一对平行线型的相似图形.

    在解决相似图形中求线段的比值及成比例线段这类问题时，我们发现有些问题中根据题目的条件无法直接获取成比例的线段，常常需添加平行线构造相似三角形来转移比例线段.平行线位置的选择，不仅关系到求解的繁简，而且决定解题的成败，怎样作平行线才能获得最佳的解题途径呢？下面举例说明.

    解法8：過点E作EF//BC交AD于点F，则△AEF∽△ACD，△EFG∽△BDG.解法略，请读者朋友类比以上解法给出问题的解答过程.

    解法9：过点E作EF//AD交BC于点F，则△CEF∽△CAD，△BGD∽△BEF解法略，请读者朋友类比以上解法给出问题的解答过程，

    反思上面证明的探索过程可以发现：我们选取了过△ABC的各个顶点作AD或BE或此顶点所在角的对边的平行线，或过两边上的分点作平行线，来构造出两组平行线型的相似三角形，从而利用相似三角形的对应边成比例，结合比例的性质，通过比例线段之间的相互转化来获取线段长度的比值.从解题过程中我们发现：由作出的平行线能够得到两个“A”型或两个“X”型或一个“A”型一个“X”型的相似三角形，这样将它们得到的比例线段根据目标相互代换“融合”在一起，便可以打通探究线段长度比值之间的“脉络”.