对一道矩形中“小路”问题的探究
张青云 王广锋
在一次教研活动中，老师们对下面一道学生练习题的结论产生了不同的意见：
问题如图1，在长为50米，宽为32米的矩形花园中，修建两条交叉的小路（相交所成是锐角），且小路的水平方向或竖直方向的长均为2米，则花园剩余部分的面积为多少平方米？
有人认为：这个问题可以运用平移方法，把图1转化为图2模样，则剩余部分面积为：（32-2）×（50-2）=30×48=1440m2.
但有人提出异议，认为这个结果值得怀疑，主要是两条小路重叠部分的面积，似乎捉摸不透，不甚明朗.
那么，结果究竟应当是怎样的呢？带着这个问题，笔者展开了相关研究.
1平移溯源
平移变换是一种基本的图形变换，根据平移变换的性质，图形平移不改变图形的大小与形状，即平移后图形与平移前的图形全等.矩形中的“小路”问题，大多可以应用平移变换法来研究，但按平移对象的不同，通常有两种不同的平移理解.以图3为例，一种是平移小路，将图3中的两条小路分别向原矩形的边缘平移，如图4，其结果是原先分离的部分组成为一个新的小矩形；另一种是平移图3中分离的四个小矩形，使它们直接拼接为一个整体，成为一个新的较大矩形，如图5.
不难看出，这两种方式的平移，其最后效果都是一样的.即图3中剩余部分面积为：（50-2）（32-2）=48×30=1440m2.
而在某些特殊情况下，比如小路是“倾斜”或弯曲时，如图6，那么就可以采用第二种方式理解，所谓“山不过来，我就过去”，通过平移左右两个分离的图形，使之组合为一个完整的矩形，如图7.
2剪切、画板平移操作
我们可以对图1进行实际剪切、平移操作.将剪切下来的四个四边形分别标记为甲、乙、丙、丁，之后平移拼接在一起，如图8.观察前后两图形可以发现，平移之后的新矩形，的确是以48、30为两邻边的矩形，只是在甲、乙、丙、丁的中间结合部位，出现了一个较小的平行四边形空缺.这是必然还是因为剪切粗糙造成的现象？用几何画板软件操作一下，可以更清楚地发现都会是这种结果.
3分析求解
3.1定性分析
仔细观察图8，发现修建的两条小路，可以看作是四个梯形、与中间重叠的平行四边形所共同组成，当把甲、乙、丙、丁拼接在一起时，实质上就是将梯形两底拼接，但由于两底不等，如AE≠BC、GH≠CI，在外边沿对齐的情况下，就形成了如图所示的中间部分不能镶嵌的结果.这说明了图1并不能转化成图2，而且原问题中剩余部分的面积一定小于48×30=1440m2.
3.2定量分析
在图1中，可知：剩余部分的面积S剩余部分=S矩形-S小路1-S小路2+S小路重叠部份.不难得出，两条小路的面积分别为：2×32=64m2、2×50=100m2，那么重叠区域的图形面积又是多少呢？
可以确定，这个重叠区域一定是一个平行四边形，但不能确定为菱形，因为图中的小路，仅是“水平方向或者竖直方向的长为2米”，这不等同于“小路的宽为2米”，也不等同于“这个重叠区域的各边为2米”.小路的宽应该是指两条（斜着的）平行线间的距离，由图9可知，小路宽度不大于2米，且随着小路的“倾斜角”的变化而变化.
为了研究方便，我们标记图1中两条小路与矩形边线所夹锐角分别为α、β，重叠部分的平行四边形EFGC及相关图形标记如图10.
4回顾反思
4.1问题的特例
在这个问题中，如果α=90°或β=90°时，因为cos90°=0，sin90°=1，所以SEFGC=4.这说明如果两条小路中，有一条是水平或竖直，另一条斜着交叉，如图11，那么剩余部分的面积为32×50-2×32-2×50+2×2=1440m2，此时，剪切平移后的图形如图12所示，可以完美地拼接为一个完整的30×48大小的矩形.
4.2问题的变式
当我们把原问题中“小路水平方向或者竖直方向的长为2米”，改为“小路的宽为2米”时，这个重叠部分的平行四边形EFGC的面积又当如何呢？我们再次应用几何画板帮助我们演示.
两条等宽的小路相交，交叉重叠部分为一个菱形，其形状会发生改变，面积也并非定值.不停变动位置，研究发现，S菱形EFGC≥4，花园剩余部分的面积也仍是一个变量.
作者简介张青云 男，1968年8月出生，湖北荆州人，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学工作，在各级各类教育刊物上发表文章70余篇.王广锋，男，1982年2月出生，山东济南人，硕士，中学一级教师.从事初中数学教学工作.
在一次教研活动中，老师们对下面一道学生练习题的结论产生了不同的意见：
问题如图1，在长为50米，宽为32米的矩形花园中，修建两条交叉的小路（相交所成是锐角），且小路的水平方向或竖直方向的长均为2米，则花园剩余部分的面积为多少平方米？
有人认为：这个问题可以运用平移方法，把图1转化为图2模样，则剩余部分面积为：（32-2）×（50-2）=30×48=1440m2.
但有人提出异议，认为这个结果值得怀疑，主要是两条小路重叠部分的面积，似乎捉摸不透，不甚明朗.
那么，结果究竟应当是怎样的呢？带着这个问题，笔者展开了相关研究.
1平移溯源
平移变换是一种基本的图形变换，根据平移变换的性质，图形平移不改变图形的大小与形状，即平移后图形与平移前的图形全等.矩形中的“小路”问题，大多可以应用平移变换法来研究，但按平移对象的不同，通常有两种不同的平移理解.以图3为例，一种是平移小路，将图3中的两条小路分别向原矩形的边缘平移，如图4，其结果是原先分离的部分组成为一个新的小矩形；另一种是平移图3中分离的四个小矩形，使它们直接拼接为一个整体，成为一个新的较大矩形，如图5.
不难看出，这两种方式的平移，其最后效果都是一样的.即图3中剩余部分面积为：（50-2）（32-2）=48×30=1440m2.
而在某些特殊情况下，比如小路是“倾斜”或弯曲时，如图6，那么就可以采用第二种方式理解，所谓“山不过来，我就过去”，通过平移左右两个分离的图形，使之组合为一个完整的矩形，如图7.
2剪切、画板平移操作
我们可以对图1进行实际剪切、平移操作.将剪切下来的四个四边形分别标记为甲、乙、丙、丁，之后平移拼接在一起，如图8.观察前后两图形可以发现，平移之后的新矩形，的确是以48、30为两邻边的矩形，只是在甲、乙、丙、丁的中间结合部位，出现了一个较小的平行四边形空缺.这是必然还是因为剪切粗糙造成的现象？用几何画板软件操作一下，可以更清楚地发现都会是这种结果.
3分析求解
3.1定性分析
仔细观察图8，发现修建的两条小路，可以看作是四个梯形、与中间重叠的平行四边形所共同组成，当把甲、乙、丙、丁拼接在一起时，实质上就是将梯形两底拼接，但由于两底不等，如AE≠BC、GH≠CI，在外边沿对齐的情况下，就形成了如图所示的中间部分不能镶嵌的结果.这说明了图1并不能转化成图2，而且原问题中剩余部分的面积一定小于48×30=1440m2.
3.2定量分析
在图1中，可知：剩余部分的面积S剩余部分=S矩形-S小路1-S小路2+S小路重叠部份.不难得出，两条小路的面积分别为：2×32=64m2、2×50=100m2，那么重叠区域的图形面积又是多少呢？
可以确定，这个重叠区域一定是一个平行四边形，但不能确定为菱形，因为图中的小路，仅是“水平方向或者竖直方向的长为2米”，这不等同于“小路的宽为2米”，也不等同于“这个重叠区域的各边为2米”.小路的宽应该是指两条（斜着的）平行线间的距离，由图9可知，小路宽度不大于2米，且随着小路的“倾斜角”的变化而变化.
为了研究方便，我们标记图1中两条小路与矩形边线所夹锐角分别为α、β，重叠部分的平行四边形EFGC及相关图形标记如图10.
4回顾反思
4.1问题的特例
在这个问题中，如果α=90°或β=90°时，因为cos90°=0，sin90°=1，所以SEFGC=4.这说明如果两条小路中，有一条是水平或竖直，另一条斜着交叉，如图11，那么剩余部分的面积为32×50-2×32-2×50+2×2=1440m2，此时，剪切平移后的图形如图12所示，可以完美地拼接为一个完整的30×48大小的矩形.
4.2问题的变式
当我们把原问题中“小路水平方向或者竖直方向的长为2米”，改为“小路的宽为2米”时，这个重叠部分的平行四边形EFGC的面积又当如何呢？我们再次应用几何画板帮助我们演示.
两条等宽的小路相交，交叉重叠部分为一个菱形，其形状会发生改变，面积也并非定值.不停变动位置，研究发现，S菱形EFGC≥4，花园剩余部分的面积也仍是一个变量.
作者简介张青云 男，1968年8月出生，湖北荆州人，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学工作，在各级各类教育刊物上发表文章70余篇.王广锋，男，1982年2月出生，山东济南人，硕士，中学一级教师.从事初中数学教学工作.
