对一道家庭作业题的解法探究
沈岳夫
1试题呈现
在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证：EF=CD.
（2）如图2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值.
本题源于2013年绍兴市中考数学试题中的第23题，此题是以直角三角形为依托，全面考查了全等三角形与相似三角形等知识点，综合性较强.在期末复习时，笔者选择了此题作为一道家庭作业，结果在批阅时大大出乎我的意料，发现第（2）问“卡壳”现象较严重，不少学生无从下手.那么该题如何解？有何规律？笔者愿以此文与各位同仁探讨.
2第（2）问解法探析
波利亚在《怎样解题》中指出“当我们的问题比较困难时，我们可能很有必要进一步把问题再分解成几部分，并研究其更细微的末节.”所以，研究几何图形，一个基本的方法就是要认真分析条件，寻找与之相关的基本图形，并利用这个基本图形的暗示作用来获得或推理相关的结论.
就第（2）小题而言，通过阅读题中条件，容易想到“子母型”相似三角形，并且由此可以得到一系列的等角及一些与边有关的比例式等；再根据点E为AB的中点，通过添辅助线，可构造出“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本图形，将不熟悉的图形转化为熟悉的图形，将无序的复杂的图形变为有序的相互关联的有机整体，从中发现解题思路，找到解题的突破口.
2.1构造基本图形，思路自然的常规解法
为减少赘述，我们先做一些准备，以方便后面直接引用.因为∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，易证Rt△CDA∽Rt△CAB∽Rt△ADB，所以AC2AB2=CD·CBBD·BC=CDBD，所以CDBD=132=13.
再根据题意，易证△ACG∽△BEF，所以CGEF=ACBE=2AC2BE=2ACAB=23，所以CG=23EF.
解法1（添一条辅助线，构造A字型）过点E作EH∥AD，交BC于点H（如图3），因为点E为AB的中点，所以点H为BD的中点.因为CDBD=13，所以CDDH=23.因为DG∥EH，所以CGGE=CDDH=23，且CG=23EF，进而可求得EFEG=33.
解法2（添一条辅助线，构造8字型）过点E作EH∥BC，交AD于点H（如图4），因为点E为AB的中点，所以点H为AD的中点.因为CDBD=13，所以CDEH=23.因为CD∥EH，所以CGGE=CDEH=23，且CG=23EF，进而可求得EFEG=33.
解法3（添两条辅助线，构造共点双垂直）过点E作EH⊥AD于点H，EI⊥BC于点I（如图5）.则可证△EHG∽△EIF，所以EFEG=EIEH.因为EH、EI为△ABD的中位线，所以2EI2HE=ADBD.因为∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，所以ADBD=ACAB，所以EFEG=33.
解法4如图5，先证△EHG∽△EIF，所以EFEG=EIEH，再证Rt△AEH≌Rt△BEI（AAS），所以EH=BI.因为在Rt△BEI中，EIBI=tanB=ACAB=13，所以EFEG=33.
说明上述4种解法，都是根据条件中有些特殊的点（如中点）、有些特殊的位置（如垂直）等进行添辅助线.解法1侧重于构造“A字型”的方法，如△CDG∽△CHE；解法2侧重于构造“8字型”的方法，如△CDG∽△EHG；解法3侧重于构造“共点双垂直型”的方法，如△EGH∽△EFI，然后通过线段间的数量关系求得答案.综观这几种方法，其本质都是通过“中点”构造出一个新三角形，将分散的条件通过全等（解法4）或相似（前3种解法）得到等量关系，进而问题得以解决.
2.2构造四点共圆，凸显本质的优化解法
由上述常规解法可知，本题欲求EF∶EG的值，的确不是一件容易的事.于是思考能否将EF和EG直接放到同一个三角形中，利用相似直接求解呢？
解法5（添两条辅助线，对角互补型）连接DE、GF（如图6）.因为∠FEG=∠FDG=90°，所以E、F、D、G四点共圆，所以∠EGF=∠EDF.
因为AD⊥BD，点E为AB的中点，所以DE=BE，所以∠EDB=∠B，所以∠EGF=∠B.又因为∠BAC=∠GEF=90°，所以△EGF∽△ABC，所以EFEG=ACAB=13=33.
说明本解法的思路来源于解法3，若EFEG=ACAB，则△EGF∽△ABC，进而想到连接GF，直接证明△EGF∽△ABC，这是自然合理的最直接、最本质的方法，但要证角相等有一定的难度.若注意到∠FEG+∠FDG=180°，则容易发现点E、F、D、G四点共圆，利用圆周角定理可将∠EGF转化为∠EDF，于是问题迎刃而解.
3问题一般化探究
波利亚曾说过：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”因此在解决问题之后，还要通过变化对象的非本质属性，来提高对数学知识的典型运用和迁移运用能力，丰富数学基本思想方法的体会，提高问题结构信息的识别能力和数学知识的合理选择能力，提高分析问题和解决问题的能力.
通过对上述解法再思考，对其弱化条件，进行猜想，可得到：
如图7，O是△ABC边AC的一个分点，∠B与∠QOH互补，若OAOC=m，ABAC=n，则有OQOH=mn.
证明过O点分别做OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为E，F，则可证△OEQ∽△OFH，所以OQOH=OEOF.在Rt△AEO和Rt△CFO中，OE=OAsinA，OF=OCsinC，所以OQOH=OEOF=OA·sinAOC·sinC=OAOC·sinAsinC=OAOC·BCAB=mn.
运用此结论，很容易验证原题的结论.在图2中，m=1，n=3，所以EFEG=33.
说明此变式是对原题进行了一般性的探究，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，将点的位置作了扩展，从中点到任意点，遵循着从特殊到一般的原则.可见，在平时教学中，我们应该多对一些已有的习题进行有效的变式，形成一个有层次、有梯度的题组或题链，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从而达到“以不变应万变”的目的.
4教学启示
4.1关注解题通法，增强学生的解题能力
一题多解能从多角度研究试题，能较好地展示解题人的基本功，也能有效促进学生对试题的理解，但过犹不及.一题多解不是教师表现自我的途径，更不能为了多解而多解.本题中的解法1到解法4都是围绕试题的通性，关注解题的通法，在多种解法中寻找学生易于理解、容易掌握的方法.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.
4.2关注模型思想，强化学生的识模能力
拿到一道试题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生认识、运用模型，从而强化学生对基本模型的理解.
1试题呈现
在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证：EF=CD.
（2）如图2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值.
本题源于2013年绍兴市中考数学试题中的第23题，此题是以直角三角形为依托，全面考查了全等三角形与相似三角形等知识点，综合性较强.在期末复习时，笔者选择了此题作为一道家庭作业，结果在批阅时大大出乎我的意料，发现第（2）问“卡壳”现象较严重，不少学生无从下手.那么该题如何解？有何规律？笔者愿以此文与各位同仁探讨.
2第（2）问解法探析
波利亚在《怎样解题》中指出“当我们的问题比较困难时，我们可能很有必要进一步把问题再分解成几部分，并研究其更细微的末节.”所以，研究几何图形，一个基本的方法就是要认真分析条件，寻找与之相关的基本图形，并利用这个基本图形的暗示作用来获得或推理相关的结论.
就第（2）小题而言，通过阅读题中条件，容易想到“子母型”相似三角形，并且由此可以得到一系列的等角及一些与边有关的比例式等；再根据点E为AB的中点，通过添辅助线，可构造出“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本图形，将不熟悉的图形转化为熟悉的图形，将无序的复杂的图形变为有序的相互关联的有机整体，从中发现解题思路，找到解题的突破口.
2.1构造基本图形，思路自然的常规解法
为减少赘述，我们先做一些准备，以方便后面直接引用.因为∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，易证Rt△CDA∽Rt△CAB∽Rt△ADB，所以AC2AB2=CD·CBBD·BC=CDBD，所以CDBD=132=13.
再根据题意，易证△ACG∽△BEF，所以CGEF=ACBE=2AC2BE=2ACAB=23，所以CG=23EF.
解法1（添一条辅助线，构造A字型）过点E作EH∥AD，交BC于点H（如图3），因为点E为AB的中点，所以点H为BD的中点.因为CDBD=13，所以CDDH=23.因为DG∥EH，所以CGGE=CDDH=23，且CG=23EF，进而可求得EFEG=33.
解法2（添一条辅助线，构造8字型）过点E作EH∥BC，交AD于点H（如图4），因为点E为AB的中点，所以点H为AD的中点.因为CDBD=13，所以CDEH=23.因为CD∥EH，所以CGGE=CDEH=23，且CG=23EF，进而可求得EFEG=33.
解法3（添两条辅助线，构造共点双垂直）过点E作EH⊥AD于点H，EI⊥BC于点I（如图5）.则可证△EHG∽△EIF，所以EFEG=EIEH.因为EH、EI为△ABD的中位线，所以2EI2HE=ADBD.因为∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，所以ADBD=ACAB，所以EFEG=33.
解法4如图5，先证△EHG∽△EIF，所以EFEG=EIEH，再证Rt△AEH≌Rt△BEI（AAS），所以EH=BI.因为在Rt△BEI中，EIBI=tanB=ACAB=13，所以EFEG=33.
说明上述4种解法，都是根据条件中有些特殊的点（如中点）、有些特殊的位置（如垂直）等进行添辅助线.解法1侧重于构造“A字型”的方法，如△CDG∽△CHE；解法2侧重于构造“8字型”的方法，如△CDG∽△EHG；解法3侧重于构造“共点双垂直型”的方法，如△EGH∽△EFI，然后通过线段间的数量关系求得答案.综观这几种方法，其本质都是通过“中点”构造出一个新三角形，将分散的条件通过全等（解法4）或相似（前3种解法）得到等量关系，进而问题得以解决.
2.2构造四点共圆，凸显本质的优化解法
由上述常规解法可知，本题欲求EF∶EG的值，的确不是一件容易的事.于是思考能否将EF和EG直接放到同一个三角形中，利用相似直接求解呢？
解法5（添两条辅助线，对角互补型）连接DE、GF（如图6）.因为∠FEG=∠FDG=90°，所以E、F、D、G四点共圆，所以∠EGF=∠EDF.
因为AD⊥BD，点E为AB的中点，所以DE=BE，所以∠EDB=∠B，所以∠EGF=∠B.又因为∠BAC=∠GEF=90°，所以△EGF∽△ABC，所以EFEG=ACAB=13=33.
说明本解法的思路来源于解法3，若EFEG=ACAB，则△EGF∽△ABC，进而想到连接GF，直接证明△EGF∽△ABC，这是自然合理的最直接、最本质的方法，但要证角相等有一定的难度.若注意到∠FEG+∠FDG=180°，则容易发现点E、F、D、G四点共圆，利用圆周角定理可将∠EGF转化为∠EDF，于是问题迎刃而解.
3问题一般化探究
波利亚曾说过：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”因此在解决问题之后，还要通过变化对象的非本质属性，来提高对数学知识的典型运用和迁移运用能力，丰富数学基本思想方法的体会，提高问题结构信息的识别能力和数学知识的合理选择能力，提高分析问题和解决问题的能力.
通过对上述解法再思考，对其弱化条件，进行猜想，可得到：
如图7，O是△ABC边AC的一个分点，∠B与∠QOH互补，若OAOC=m，ABAC=n，则有OQOH=mn.
证明过O点分别做OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为E，F，则可证△OEQ∽△OFH，所以OQOH=OEOF.在Rt△AEO和Rt△CFO中，OE=OAsinA，OF=OCsinC，所以OQOH=OEOF=OA·sinAOC·sinC=OAOC·sinAsinC=OAOC·BCAB=mn.
运用此结论，很容易验证原题的结论.在图2中，m=1，n=3，所以EFEG=33.
说明此变式是对原题进行了一般性的探究，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，将点的位置作了扩展，从中点到任意点，遵循着从特殊到一般的原则.可见，在平时教学中，我们应该多对一些已有的习题进行有效的变式，形成一个有层次、有梯度的题组或题链，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从而达到“以不变应万变”的目的.
4教学启示
4.1关注解题通法，增强学生的解题能力
一题多解能从多角度研究试题，能较好地展示解题人的基本功，也能有效促进学生对试题的理解，但过犹不及.一题多解不是教师表现自我的途径，更不能为了多解而多解.本题中的解法1到解法4都是围绕试题的通性，关注解题的通法，在多种解法中寻找学生易于理解、容易掌握的方法.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.
4.2关注模型思想，强化学生的识模能力
拿到一道试题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生认识、运用模型，从而强化学生对基本模型的理解.
