浅谈用数学思想方法来解决经济生活中利润类问题

    崔园

    摘 要：本文探讨了如何用数学思想方法来解决经济生活中碰到的求利润，最大利润这样的一类应用题。用方程思想可解决售价进价是不变的一类问题，而当售价进价变化时，我们则往往用函数思想来解决，且这两类问题中的销售量是常量或只是一般变量；而当问题进一步复杂化时，生产多种产品，出现多个变量时，我们可以用线性规划的知识来求解；最后当问题中的利润或销售量不是一般变量而是随机变量时，我们则往往会用数学期望等相关知识来解决。

    关键词：方程思想 函数思想 线性规划 数学期望 （最大）利润

    利润类应用题是人们在生产、生活、管理等各项经济活动中经常遇到的问题，是一个社会人尤其是商业人需要去关注的问题。作为职业学校的数学教师，有责任将数学与专业有机地结合起来，让数学为专业服务，所以有必要将利润类应用题渗透到数学课堂中，甚至有必要将它作为一个模块编入校本教材中。下面本人浅谈一下如何用数学思想方法来解决经济生活中的利润类问题。

    一、用方程思想解决利润类问题

    用方程思想解决的是最简单的一类利润、折扣问题，这是小学初中数学中经常出现的应用题。解决这一类问题关键在于看清题意，列出方程，当然也可以是不等式，但其本质不变都是简单的套用公式类的题目。核心公式：利润=收入-成本。下面我们来看几个例子：

    （一）一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？

    （二）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元，每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且进价售价不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。求（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润多少？

    解决这一类应用题，其核心思想都是方程，本质是对成本、收入、利润这些基本概念的理解，并列出相关式子。

    二、用函数思想解决利润类问题

    所有商人追求的都是利润最大化，而最大利润的获得往往只有两种途径：一是薄利多销，二是提高售价。薄利未必多销，因为需求有限；而提高售价又往往会使销量减少。所以如何定好价，是经营决策中一个非常重要的问题。所以问题较第一类复杂了些，第一类问题中的售价进价往往是不变的，那么当售价进价变化时我们又该如何来解决呢？下面我们来具体看几例。

    （一）某商店购进一批单价为40元的商品，如果以60元的价格销售则每个月能卖出300件。根据市场调查，销售单价每提高1元，则销售量减少10件，每降低1元，则销售量提高20件，问如何定价才能获得最大利润？

    （二）一家旅社有客房300间，每间房租20元，每天都会客满，旅社欲提高档次，并提高租金，如果每增加2元，房客出租数会减少10间，不考虑其他因素时，旅社将房间租金提高到多少时，每天房客的租金收入最高？

    我們可以把客房看成是商品，则租金就是售价，租出的客房间数就是销量，所以其本质是和第一题一样的题目，区别在于第二题售价只提高不减少，而第一题售价即可提高又可降低，且销量随售价的提高和降低是不同的关系式，所以我在这里举了两例。

    总之上述两例的售价都不是固定的，销量随售价的变化而变化，所以可得出利润关于售价的变化量之间的函数关系式，这个关系式往往是二次的，所以用二次函数求最值的知识就可解决。

    但是我们也可以发现这两例中成本是不变的，且销量关于售价的函数是一次的，那么如果成本也跟着变化或者销量关于售价的函数不是一次的，那么这样的例子我们又该如何解决呢？下面我们再来看两例：

    （三）霓虹化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 万件与年促销费用 万元之间满足 与 成反比例。如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元。每生产1万件化妆品需再投资32万元。当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所点促销费的一半”之和，则当年的产销量相等。求当该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润 最大？

    （四）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 （吨）与每吨产品的价格 （元/吨）之间的关系式为： ，且生产 吨的成本为 （元），问该产品每月生产多少吨时能获取最大利润，最大利润多少？

    第3题的成本是变化的，既涉及促销费用又涉及固定投资和追加投资，而第4题是售价关于销量是二次的且成本也变化的题目，所以在解这2题时肯定比前2题要复杂些。对于第3题其列出来的函数经过整理后为 ，对于这一问题求最值，用均值不等式最为简单。而对于第4题的求解，因为其函数列出来经过整理后为 ，是三次的函数求最值，那么我们当然可以使用导数的知识来解决此问题。

    上述例题虽然使用了不同的方法来求最大利润，但其本质是一致的，都是列出利润关于销量或售价的函数后，求函数最值的问题，所以用函数思想来解决求利润最大的问题是极有效的一种思想。

    三、用线性规划方法解决利润类问题

    在现实生产和生活中，求利润最大化也就是求解最优化问题，我们可将此类问题归结到运筹学的范围来解决。而运筹学中比较简单的一类问题就是线性规划问题，线性规划解决的问题就是在有限的人力、物力、财力等资源下，从可行的备选方案中选取最佳方案以达到人们期望的最大效用。下面通过实例来体会一下如何用线性规划解决利润最大化问题。

    （一）某工厂有A，B两种配件生产两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可以从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天按8h计算，而生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，请问如何进行生产安排能使得利润最大？

    （二）某厂商用A，B两种原料生产甲、乙、丙、丁四种产品，每种产品的利润现有原料数量及每种产品消耗原料的定额如下表

    问怎样组织生产才能使总利润最大？

    第一题的解决很简单，可采用图像法来求解，在高中阶段就能解决，而第二题的求解通常直接采用MATLAB中的优化工具箱来求解。

    四、用数学期望解决利润类问题

    数学课堂中的实际应用问题都是简化了的有很多假设的数学模型，实际问题则更加复杂化，多元化。经济生活中我们追求利润、利益的最大化，供不应求和供过于求都不利于利润的最大化，但需求量（销售量）、供应量都是不是简单直观的量，批量生产有助于降低成本但并非生产越多越好；而需求量更是不好预测的量，它可能随定价的高低、经济形势的好坏、对手公司是否推出类似产品，市场上是否有其他替代品而有很明显的变化，所以需求量（销售量）往往是一个随机变量。所以理性的决策者会想方设法建立更贴近现实的数学模型。在解决利润效益类问题时，理性的商家往往可以根据过去的数据（概率），利用数学期望等有关知识来制定最佳生产和销售策略。比如：

    （一）某人用10万元进行为期一年的投资，方案有两种，一是购买股票，二是存银行获取利息。买股票的收益决定于经济形势，若形势好可收益4万元，若形势中可收益1万，若形势差则亏本2万。如果存银行，假设年利率为10%，可得利息1万元，又设经济形势好、中、差的概率为0.3、0.5、0.2，试问选择哪种方案能使投资回报率最大？

    （二）某商场某产品每周的销售量 是一个随机变量，分布列为 ，而商场每周的进货量为区间 中的某一整数，每销售一件可获利5000，若供大于求，则每积压一件产品亏损1000，若供不应求，则从其他商店调剂，仅获利2000元，问此商场初进货（包括存货）应为多少才能使周平均利润最大？

    （三）国际市场每年对我国某种出口产品的需求量X在 上服从均匀分布，每出口1吨可获利3万元，积压1吨则亏损2万元，问该公司应准备多少吨该种货物，才能使所获利润最大？

    对于上述3例，题目则比前两类例题要复杂得多，有更多不确定的因素而使可能出现的结果也是不确定的，在解决这类利润效益类问题时，理性的商家往往可以根据过去的数据（概率），利用数学期望等有关知识来制定最佳生产和销售策略。第1题是相对较简单的题目，因为其收益（利润）是一随机变量，求其数学期望值则只需进行简单的加减运算即可。而第2第3题，因为其需求量（销售量）是一个随机变量，而利润是关于需求量的函数，所以问题就复杂得多了，这两题的区别在于第2题中销售量是离散型的随机变量，而第3题中的销售量是连续型的随机变量，所以第3题还用到了微积分的相关知识。

    综上所述，解决利润类的应用题，我们可用方程思想、函数思想、线性规划方法或用数学期望来解决。用方程思想可解决售价进价是固定的一类问题，当售价进价变化时，我们则往往用函数思想来解决，且这两类问题中的销售量是往往是常量或只是一般变量。而当问题进一步复杂化时，存在多个变量时，可用线性规划的方法予以解决，而当问题中的利润或销售量（需求量）不是一般变量而是随机变量时，我们则往往会用数學期望及微积分的相关知识来解决。本人能力有限，只是粗浅地谈一下我对这类问题的一些认识，不足之处万望各位专家见谅！

    参考文献

    [1]郑金玲.例谈数学期望在效益、利润等经济问题中的应用[J].数学通讯，2003（3）.

    [2]王荣波.经济生活中的数学问题[J].襄樊职业技术学院学报，2007.

    [3]闵欣.线性规划在利润最大化和成本最小化问题中的应用[J].科学技术创新，2013.