想象的力量：平移和轴对称的等价性问题研究
数学课堂教学离不开对问题的探求，老师们也不例外.常用发现问题、提出问题、分析问题、解决问题之所谓 “四轮驱动”问题研究的方法，进行课堂教学.试想，如果最后归结为一个前人尚未提及的全新的数学问题，则可为学生树立一个榜样，从而增进他们的学习兴趣.现按上述问题研究的思路，对 “平移和轴对称这两种变换在什么情况下是等价的”这一问题，试行深入探索.
1 发现问题
个人以为，要发现数学新问题，除了想象力与兴趣之外，必需的一个条件是决不放弃的意志力.要“能够在不疑处有疑”，脑海里始终存有一根“指针”，指向该疑处.正如一歌词说的好：从来不需要想起，永远也不会忘记.
疑问产生的过程似乎是遵循从模糊到清晰、从无序到规范、从繁琐到简洁、从特殊到一般这样的规律.可惜的是，限于篇幅，本次探索过程中的模糊、无序、繁琐等感受不能一一检讨.也很难将所受教训的感悟的全部与大家分享.
笔者曾经提出过平移和轴对称的关系定理[1]：一次平移可以由至多四次轴对称得到.也就是说，对一个平面图形进行一次平移，相当于对这一图形进行至多四次的轴对称变换.但这一定理可以进一步得以改正.提升为：一次平移可以由至多二次轴对称得到.
这是因为将平面图形往任一方向的平移，只要将图形所在平面整体旋转一定角度，就可以视其为水平方向的平移.也不影响本题的证明.而对平面图形的水平方向的平移，其结果可以由至多二次轴对称得到 [1].
有人提出：科学的意义不在于 “有用”，而是理性的需要，是思想的本能.本人对此已有体验，亦有同感.
再由前面所提到的“至多二次”提升到“一次”就办不到了.疑问至此结束吗？不！但需要拥有另辟蹊径的勇气与方法.改变思考方向，由整体向局部转移.退一步，海阔天空！
2 提出问题
总有一部分图形的任一次平移，都可由对它的一次轴对称得到.例如，圆、圆环、直线、一个点甚至整个平面的任一次平移，平移后的图形都与原图形轴对称.但除此之外，还有其它满足要求的平面图形吗？
进一步，就提出了“平移和轴对称这两种变换在什么情况下是等价的”这一问题.也就是说，对怎样的平面图形进行任意一次的平移变换，其结果，可由对这一图形进行一次轴对称变换得到，反之亦然？
简单地说，对怎样的平面图形，平移就是轴对称，轴对称就是平移？
3 分析问题
首先，为了便于研究，我们将考虑的对象：平面图形，作一限制，限制它在有界图形这一范围内.而所谓有界图形，是指该图形上的所有的点都在平面的同一圆内.
然后，观察圆、圆环、圆面的对称性.就可发现这些图形都是轴对称图形，对称轴为过一定点的任一直线.采用逆向思维的方式，以此特征为条件，研究图形上点的共性.我们就可以得到以下的一个规律：
引理1如果点P在以过定点O的任一直线都为其对称轴的轴对称图形上，则以定点O为圆心，OP长为半径的圆上任一点，都在该轴对称图形上.
证明设以定点O为圆心，OP长为半径的圆上任一点为A，经过定点O且与线段AP垂直的直线为m.只要证明点A在该轴对称图形上即可.
显然，点A与点P关于直线m对称.由题设，直线m为该轴对称图形的对称轴，点P在该轴对称图形上.所以，点A在该轴对称图形上.证毕.
进一步，我们再创新定义，给出广义同心圆的概念：对于平面图形C，存在该平面上的一个定点O，如果点A在图形C上，且以定点O为圆心，OA长为半径的圆上的所有点也在图形C上.则称图形C为以定点O为圆心的广义同心圆.
广义同心圆可以是一个定点、圆、圆环、圆面，也包括这四个图形的若干个可重复的同心的一个组合.在这里，一个平面也是广义同心圆.根据引理1，我们有以下第二个规律：
引理2平面上，经过定点O的任一直线都为其对称轴的轴对称图形，是以定点O为圆心的广义同心圆.
4 解决问题
有了以上的理论铺垫，我们就可以解决本文开头给出的问题.有如下结论：
平移和轴对称的等价性定理 当且仅当有界图形是广义同心圆时，平移和轴对称对它的变换是等价的.
证明：显然，对广义同心圆的任一次平移变换，变换后的图形与原图形构成轴对称图形.而对广义同心圆的任一次轴对称变换，也可以看成是对该图形的一次平移变换，故此时，平移和轴对称对它的变换是等价的.
当平移和轴对称对有界图形C的变换是等价时，则对图形C所作的任一平移变换，变换后的图形C1与原图形构成轴对称图形.
此时的问题是，对图形C作怎样的平移？而妙悟与想象力的发挥是解决问题的关键.答案是利用零向量.也即：对图形C作零距离且任意方向的平移变换.则图形C与变换后的图形C1重合.因此，图形C本身是轴对称图形.当然，由题设，图形C也是有界图形.
根据有界轴对称图形的对称轴共点定理[2]，与以上平移变换时方向的任意性，得图形C的对称轴是过一定点的任一直线.由引理2知，图形C是广义同心圆.证毕.
后记：值得一提的是，在以上证明过程的细微之处，似乎可以领略到“梵我一如”哲学思想的体现.此处， “梵”代表自然原理，指平移， “我”则为实体，指图形C， “一如”指重合.
细细想来，以上定理及其证明中的每一个细节，都曾经被用心整理过几十遍.不断地查漏补缺，甚至于雕琢镶嵌、打磨圆润.目的是求得结论正确而条件最少、定理陈述完美无缺、推理过程令人信服.
“一番整理，一番发现，一番收获.”乐此不疲.
参考文献
[1]林东伟，王华.教材研读拾穗：轴对称“包含”平移[J].中学数学杂志， 2011（8）.
[2]林东伟，叶对萍.想象的力量：有界轴对称图形的概念与性质[J].中学数学杂志， 2013（6）.
1 发现问题
个人以为，要发现数学新问题，除了想象力与兴趣之外，必需的一个条件是决不放弃的意志力.要“能够在不疑处有疑”，脑海里始终存有一根“指针”，指向该疑处.正如一歌词说的好：从来不需要想起，永远也不会忘记.
疑问产生的过程似乎是遵循从模糊到清晰、从无序到规范、从繁琐到简洁、从特殊到一般这样的规律.可惜的是，限于篇幅，本次探索过程中的模糊、无序、繁琐等感受不能一一检讨.也很难将所受教训的感悟的全部与大家分享.
笔者曾经提出过平移和轴对称的关系定理[1]：一次平移可以由至多四次轴对称得到.也就是说，对一个平面图形进行一次平移，相当于对这一图形进行至多四次的轴对称变换.但这一定理可以进一步得以改正.提升为：一次平移可以由至多二次轴对称得到.
这是因为将平面图形往任一方向的平移，只要将图形所在平面整体旋转一定角度，就可以视其为水平方向的平移.也不影响本题的证明.而对平面图形的水平方向的平移，其结果可以由至多二次轴对称得到 [1].
有人提出：科学的意义不在于 “有用”，而是理性的需要，是思想的本能.本人对此已有体验，亦有同感.
再由前面所提到的“至多二次”提升到“一次”就办不到了.疑问至此结束吗？不！但需要拥有另辟蹊径的勇气与方法.改变思考方向，由整体向局部转移.退一步，海阔天空！
2 提出问题
总有一部分图形的任一次平移，都可由对它的一次轴对称得到.例如，圆、圆环、直线、一个点甚至整个平面的任一次平移，平移后的图形都与原图形轴对称.但除此之外，还有其它满足要求的平面图形吗？
进一步，就提出了“平移和轴对称这两种变换在什么情况下是等价的”这一问题.也就是说，对怎样的平面图形进行任意一次的平移变换，其结果，可由对这一图形进行一次轴对称变换得到，反之亦然？
简单地说，对怎样的平面图形，平移就是轴对称，轴对称就是平移？
3 分析问题
首先，为了便于研究，我们将考虑的对象：平面图形，作一限制，限制它在有界图形这一范围内.而所谓有界图形，是指该图形上的所有的点都在平面的同一圆内.
然后，观察圆、圆环、圆面的对称性.就可发现这些图形都是轴对称图形，对称轴为过一定点的任一直线.采用逆向思维的方式，以此特征为条件，研究图形上点的共性.我们就可以得到以下的一个规律：
引理1如果点P在以过定点O的任一直线都为其对称轴的轴对称图形上，则以定点O为圆心，OP长为半径的圆上任一点，都在该轴对称图形上.
证明设以定点O为圆心，OP长为半径的圆上任一点为A，经过定点O且与线段AP垂直的直线为m.只要证明点A在该轴对称图形上即可.
显然，点A与点P关于直线m对称.由题设，直线m为该轴对称图形的对称轴，点P在该轴对称图形上.所以，点A在该轴对称图形上.证毕.
进一步，我们再创新定义，给出广义同心圆的概念：对于平面图形C，存在该平面上的一个定点O，如果点A在图形C上，且以定点O为圆心，OA长为半径的圆上的所有点也在图形C上.则称图形C为以定点O为圆心的广义同心圆.
广义同心圆可以是一个定点、圆、圆环、圆面，也包括这四个图形的若干个可重复的同心的一个组合.在这里，一个平面也是广义同心圆.根据引理1，我们有以下第二个规律：
引理2平面上，经过定点O的任一直线都为其对称轴的轴对称图形，是以定点O为圆心的广义同心圆.
4 解决问题
有了以上的理论铺垫，我们就可以解决本文开头给出的问题.有如下结论：
平移和轴对称的等价性定理 当且仅当有界图形是广义同心圆时，平移和轴对称对它的变换是等价的.
证明：显然，对广义同心圆的任一次平移变换，变换后的图形与原图形构成轴对称图形.而对广义同心圆的任一次轴对称变换，也可以看成是对该图形的一次平移变换，故此时，平移和轴对称对它的变换是等价的.
当平移和轴对称对有界图形C的变换是等价时，则对图形C所作的任一平移变换，变换后的图形C1与原图形构成轴对称图形.
此时的问题是，对图形C作怎样的平移？而妙悟与想象力的发挥是解决问题的关键.答案是利用零向量.也即：对图形C作零距离且任意方向的平移变换.则图形C与变换后的图形C1重合.因此，图形C本身是轴对称图形.当然，由题设，图形C也是有界图形.
根据有界轴对称图形的对称轴共点定理[2]，与以上平移变换时方向的任意性，得图形C的对称轴是过一定点的任一直线.由引理2知，图形C是广义同心圆.证毕.
后记：值得一提的是，在以上证明过程的细微之处，似乎可以领略到“梵我一如”哲学思想的体现.此处， “梵”代表自然原理，指平移， “我”则为实体，指图形C， “一如”指重合.
细细想来，以上定理及其证明中的每一个细节，都曾经被用心整理过几十遍.不断地查漏补缺，甚至于雕琢镶嵌、打磨圆润.目的是求得结论正确而条件最少、定理陈述完美无缺、推理过程令人信服.
“一番整理，一番发现，一番收获.”乐此不疲.
参考文献
[1]林东伟，王华.教材研读拾穗：轴对称“包含”平移[J].中学数学杂志， 2011（8）.
[2]林东伟，叶对萍.想象的力量：有界轴对称图形的概念与性质[J].中学数学杂志， 2013（6）.
