数学教学中应强化的几种数学观念
李树臣+袁中海
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标2011年版》)在“课程的总目标”中指出,通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念,就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”,实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段,我们应要求学生在学习数学基础知识,形成基本技能的过程中,不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念:
1 本质结构观念
我们知道,任何事物都有质和形两个方面,“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性,是事物存在的根据,是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物,因而也有自己的形.数学所研究的形,正是事物的这种形.从这个意义上讲,数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此,数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发,努力形成明确的本质结构观念.
案例1 一元二次方程概念的建立过程.
笔者在引入一元二次方程的概念时,首先给出以下三个实际问题,引导学生去思考与探索:
(1)教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果设教室的宽为xm,则长为 m,所列方程为 .
(2)直角三角形斜边的长为11cm,两条直角边长的差为7cm,如果设较短直角边的长为ycm,则较长直角边的长为 cm,所列方程为 .
(3)如图1,点C是线段AB上的一点,且
学生思考后不难得到下面三个方程:
x(2x-3)=54;y2+(y+7)2=112;z2=1-z.
为了概括方便,我们将其整理成下面的形式:
2x2-3x-54=0;y2+7y-36=0;z2+z-1=0.
然后,引导学生分析这三个方程的属性,学生会发现很多:如它们分别是从计算教室的长和宽,求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的,含有不同的未知数,两边都是整式,最高项的次数都是2等等.
这时,引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合,在学生相互交流的基础上,得到三个本质属性:(1)方程两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性,至于用什么字母作为未知数,是从怎样的实际问题抽象出来的等,这些属性都是非本质的,数学教学关注的是本质属性.
有了上面的认识,给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为:“只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
在以上一元二次方程概念的形成过程中,我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中,我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发,进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之,学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样,才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”的要求.
2 空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求:(1)由形状简单的实物抽取出空间图形;(2)由空间图形反映出实物;(3)由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;(4)由基本的图形中寻找基本元素及其关系;(5)由文字或符号作出图形.可见,形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程,它贯穿在图形与几何学习的全过程之中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.
例如,通过学习数轴这一概念,让学生在头脑中形成如下的一些认识:任何一个有理数在数轴上都对应着一个点;互为相反的两个数位于原点的两边,到原点的距离相等;在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大;借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习,要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里,要准确地描述一个点的位置,要用两个实数(x,y)才能完成,而且要从本质上理解A(3,4)和B(4,3)为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上,可以进行如下拓宽:如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组,可以写成(7,6,3),启发学生思考(7,1,5),(8,3,6)代表什么意义?通过交流得出,这些数字的顺序是不可交换的,它们是有严格的先后顺序的,其本质是对应的关系.
学生有了上面的知识基础,进一步可以得到下面的认识:在我们生活的空间里,任何事物均处于一定的空间之中,均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的,一般保持稳定状态,不可轻易强行改变,否则,事物便会在其空间中失去平衡,空间也便会出现紊乱无序状态.
案例2 画一条直线,将图2所示的正方形分为两个相同的部分(或全等的部分).
对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线,如图3所示.
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标2011年版》)在“课程的总目标”中指出,通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念,就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”,实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段,我们应要求学生在学习数学基础知识,形成基本技能的过程中,不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念:
1 本质结构观念
我们知道,任何事物都有质和形两个方面,“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性,是事物存在的根据,是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物,因而也有自己的形.数学所研究的形,正是事物的这种形.从这个意义上讲,数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此,数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发,努力形成明确的本质结构观念.
案例1 一元二次方程概念的建立过程.
笔者在引入一元二次方程的概念时,首先给出以下三个实际问题,引导学生去思考与探索:
(1)教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果设教室的宽为xm,则长为 m,所列方程为 .
(2)直角三角形斜边的长为11cm,两条直角边长的差为7cm,如果设较短直角边的长为ycm,则较长直角边的长为 cm,所列方程为 .
(3)如图1,点C是线段AB上的一点,且
学生思考后不难得到下面三个方程:
x(2x-3)=54;y2+(y+7)2=112;z2=1-z.
为了概括方便,我们将其整理成下面的形式:
2x2-3x-54=0;y2+7y-36=0;z2+z-1=0.
然后,引导学生分析这三个方程的属性,学生会发现很多:如它们分别是从计算教室的长和宽,求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的,含有不同的未知数,两边都是整式,最高项的次数都是2等等.
这时,引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合,在学生相互交流的基础上,得到三个本质属性:(1)方程两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性,至于用什么字母作为未知数,是从怎样的实际问题抽象出来的等,这些属性都是非本质的,数学教学关注的是本质属性.
有了上面的认识,给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为:“只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
在以上一元二次方程概念的形成过程中,我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中,我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发,进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之,学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样,才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”的要求.
2 空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求:(1)由形状简单的实物抽取出空间图形;(2)由空间图形反映出实物;(3)由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;(4)由基本的图形中寻找基本元素及其关系;(5)由文字或符号作出图形.可见,形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程,它贯穿在图形与几何学习的全过程之中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.
例如,通过学习数轴这一概念,让学生在头脑中形成如下的一些认识:任何一个有理数在数轴上都对应着一个点;互为相反的两个数位于原点的两边,到原点的距离相等;在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大;借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习,要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里,要准确地描述一个点的位置,要用两个实数(x,y)才能完成,而且要从本质上理解A(3,4)和B(4,3)为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上,可以进行如下拓宽:如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组,可以写成(7,6,3),启发学生思考(7,1,5),(8,3,6)代表什么意义?通过交流得出,这些数字的顺序是不可交换的,它们是有严格的先后顺序的,其本质是对应的关系.
学生有了上面的知识基础,进一步可以得到下面的认识:在我们生活的空间里,任何事物均处于一定的空间之中,均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的,一般保持稳定状态,不可轻易强行改变,否则,事物便会在其空间中失去平衡,空间也便会出现紊乱无序状态.
案例2 画一条直线,将图2所示的正方形分为两个相同的部分(或全等的部分).
对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线,如图3所示.
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标2011年版》)在“课程的总目标”中指出,通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念,就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”,实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段,我们应要求学生在学习数学基础知识,形成基本技能的过程中,不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念:
1 本质结构观念
我们知道,任何事物都有质和形两个方面,“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性,是事物存在的根据,是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物,因而也有自己的形.数学所研究的形,正是事物的这种形.从这个意义上讲,数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此,数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发,努力形成明确的本质结构观念.
案例1 一元二次方程概念的建立过程.
笔者在引入一元二次方程的概念时,首先给出以下三个实际问题,引导学生去思考与探索:
(1)教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果设教室的宽为xm,则长为 m,所列方程为 .
(2)直角三角形斜边的长为11cm,两条直角边长的差为7cm,如果设较短直角边的长为ycm,则较长直角边的长为 cm,所列方程为 .
(3)如图1,点C是线段AB上的一点,且
学生思考后不难得到下面三个方程:
x(2x-3)=54;y2+(y+7)2=112;z2=1-z.
为了概括方便,我们将其整理成下面的形式:
2x2-3x-54=0;y2+7y-36=0;z2+z-1=0.
然后,引导学生分析这三个方程的属性,学生会发现很多:如它们分别是从计算教室的长和宽,求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的,含有不同的未知数,两边都是整式,最高项的次数都是2等等.
这时,引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合,在学生相互交流的基础上,得到三个本质属性:(1)方程两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性,至于用什么字母作为未知数,是从怎样的实际问题抽象出来的等,这些属性都是非本质的,数学教学关注的是本质属性.
有了上面的认识,给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为:“只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
在以上一元二次方程概念的形成过程中,我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中,我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发,进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之,学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样,才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”的要求.
2 空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求:(1)由形状简单的实物抽取出空间图形;(2)由空间图形反映出实物;(3)由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;(4)由基本的图形中寻找基本元素及其关系;(5)由文字或符号作出图形.可见,形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程,它贯穿在图形与几何学习的全过程之中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.
例如,通过学习数轴这一概念,让学生在头脑中形成如下的一些认识:任何一个有理数在数轴上都对应着一个点;互为相反的两个数位于原点的两边,到原点的距离相等;在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大;借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习,要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里,要准确地描述一个点的位置,要用两个实数(x,y)才能完成,而且要从本质上理解A(3,4)和B(4,3)为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上,可以进行如下拓宽:如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组,可以写成(7,6,3),启发学生思考(7,1,5),(8,3,6)代表什么意义?通过交流得出,这些数字的顺序是不可交换的,它们是有严格的先后顺序的,其本质是对应的关系.
学生有了上面的知识基础,进一步可以得到下面的认识:在我们生活的空间里,任何事物均处于一定的空间之中,均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的,一般保持稳定状态,不可轻易强行改变,否则,事物便会在其空间中失去平衡,空间也便会出现紊乱无序状态.
案例2 画一条直线,将图2所示的正方形分为两个相同的部分(或全等的部分).
对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线,如图3所示.
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标2011年版》)在“课程的总目标”中指出,通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念,就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”,实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段,我们应要求学生在学习数学基础知识,形成基本技能的过程中,不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念:
1 本质结构观念
我们知道,任何事物都有质和形两个方面,“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性,是事物存在的根据,是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物,因而也有自己的形.数学所研究的形,正是事物的这种形.从这个意义上讲,数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此,数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发,努力形成明确的本质结构观念.
案例1 一元二次方程概念的建立过程.
笔者在引入一元二次方程的概念时,首先给出以下三个实际问题,引导学生去思考与探索:
(1)教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果设教室的宽为xm,则长为 m,所列方程为 .
(2)直角三角形斜边的长为11cm,两条直角边长的差为7cm,如果设较短直角边的长为ycm,则较长直角边的长为 cm,所列方程为 .
(3)如图1,点C是线段AB上的一点,且
学生思考后不难得到下面三个方程:
x(2x-3)=54;y2+(y+7)2=112;z2=1-z.
为了概括方便,我们将其整理成下面的形式:
2x2-3x-54=0;y2+7y-36=0;z2+z-1=0.
然后,引导学生分析这三个方程的属性,学生会发现很多:如它们分别是从计算教室的长和宽,求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的,含有不同的未知数,两边都是整式,最高项的次数都是2等等.
这时,引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合,在学生相互交流的基础上,得到三个本质属性:(1)方程两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性,至于用什么字母作为未知数,是从怎样的实际问题抽象出来的等,这些属性都是非本质的,数学教学关注的是本质属性.
有了上面的认识,给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为:“只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
在以上一元二次方程概念的形成过程中,我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中,我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发,进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之,学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样,才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”的要求.
2 空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求:(1)由形状简单的实物抽取出空间图形;(2)由空间图形反映出实物;(3)由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;(4)由基本的图形中寻找基本元素及其关系;(5)由文字或符号作出图形.可见,形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程,它贯穿在图形与几何学习的全过程之中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.
例如,通过学习数轴这一概念,让学生在头脑中形成如下的一些认识:任何一个有理数在数轴上都对应着一个点;互为相反的两个数位于原点的两边,到原点的距离相等;在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大;借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习,要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里,要准确地描述一个点的位置,要用两个实数(x,y)才能完成,而且要从本质上理解A(3,4)和B(4,3)为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上,可以进行如下拓宽:如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组,可以写成(7,6,3),启发学生思考(7,1,5),(8,3,6)代表什么意义?通过交流得出,这些数字的顺序是不可交换的,它们是有严格的先后顺序的,其本质是对应的关系.
学生有了上面的知识基础,进一步可以得到下面的认识:在我们生活的空间里,任何事物均处于一定的空间之中,均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的,一般保持稳定状态,不可轻易强行改变,否则,事物便会在其空间中失去平衡,空间也便会出现紊乱无序状态.
案例2 画一条直线,将图2所示的正方形分为两个相同的部分(或全等的部分).
对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线,如图3所示.
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标2011年版》)在“课程的总目标”中指出,通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念,就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”,实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段,我们应要求学生在学习数学基础知识,形成基本技能的过程中,不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念:
1 本质结构观念
我们知道,任何事物都有质和形两个方面,“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性,是事物存在的根据,是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物,因而也有自己的形.数学所研究的形,正是事物的这种形.从这个意义上讲,数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此,数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发,努力形成明确的本质结构观念.
案例1 一元二次方程概念的建立过程.
笔者在引入一元二次方程的概念时,首先给出以下三个实际问题,引导学生去思考与探索:
(1)教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果设教室的宽为xm,则长为 m,所列方程为 .
(2)直角三角形斜边的长为11cm,两条直角边长的差为7cm,如果设较短直角边的长为ycm,则较长直角边的长为 cm,所列方程为 .
(3)如图1,点C是线段AB上的一点,且
学生思考后不难得到下面三个方程:
x(2x-3)=54;y2+(y+7)2=112;z2=1-z.
为了概括方便,我们将其整理成下面的形式:
2x2-3x-54=0;y2+7y-36=0;z2+z-1=0.
然后,引导学生分析这三个方程的属性,学生会发现很多:如它们分别是从计算教室的长和宽,求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的,含有不同的未知数,两边都是整式,最高项的次数都是2等等.
这时,引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合,在学生相互交流的基础上,得到三个本质属性:(1)方程两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性,至于用什么字母作为未知数,是从怎样的实际问题抽象出来的等,这些属性都是非本质的,数学教学关注的是本质属性.
有了上面的认识,给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为:“只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
在以上一元二次方程概念的形成过程中,我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中,我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发,进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之,学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样,才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”的要求.
2 空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求:(1)由形状简单的实物抽取出空间图形;(2)由空间图形反映出实物;(3)由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;(4)由基本的图形中寻找基本元素及其关系;(5)由文字或符号作出图形.可见,形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程,它贯穿在图形与几何学习的全过程之中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.
例如,通过学习数轴这一概念,让学生在头脑中形成如下的一些认识:任何一个有理数在数轴上都对应着一个点;互为相反的两个数位于原点的两边,到原点的距离相等;在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大;借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习,要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里,要准确地描述一个点的位置,要用两个实数(x,y)才能完成,而且要从本质上理解A(3,4)和B(4,3)为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上,可以进行如下拓宽:如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组,可以写成(7,6,3),启发学生思考(7,1,5),(8,3,6)代表什么意义?通过交流得出,这些数字的顺序是不可交换的,它们是有严格的先后顺序的,其本质是对应的关系.
学生有了上面的知识基础,进一步可以得到下面的认识:在我们生活的空间里,任何事物均处于一定的空间之中,均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的,一般保持稳定状态,不可轻易强行改变,否则,事物便会在其空间中失去平衡,空间也便会出现紊乱无序状态.
案例2 画一条直线,将图2所示的正方形分为两个相同的部分(或全等的部分).
对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线,如图3所示.
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标2011年版》)在“课程的总目标”中指出,通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念,就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”,实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段,我们应要求学生在学习数学基础知识,形成基本技能的过程中,不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念:
1 本质结构观念
我们知道,任何事物都有质和形两个方面,“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性,是事物存在的根据,是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物,因而也有自己的形.数学所研究的形,正是事物的这种形.从这个意义上讲,数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此,数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发,努力形成明确的本质结构观念.
案例1 一元二次方程概念的建立过程.
笔者在引入一元二次方程的概念时,首先给出以下三个实际问题,引导学生去思考与探索:
(1)教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果设教室的宽为xm,则长为 m,所列方程为 .
(2)直角三角形斜边的长为11cm,两条直角边长的差为7cm,如果设较短直角边的长为ycm,则较长直角边的长为 cm,所列方程为 .
(3)如图1,点C是线段AB上的一点,且
学生思考后不难得到下面三个方程:
x(2x-3)=54;y2+(y+7)2=112;z2=1-z.
为了概括方便,我们将其整理成下面的形式:
2x2-3x-54=0;y2+7y-36=0;z2+z-1=0.
然后,引导学生分析这三个方程的属性,学生会发现很多:如它们分别是从计算教室的长和宽,求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的,含有不同的未知数,两边都是整式,最高项的次数都是2等等.
这时,引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合,在学生相互交流的基础上,得到三个本质属性:(1)方程两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性,至于用什么字母作为未知数,是从怎样的实际问题抽象出来的等,这些属性都是非本质的,数学教学关注的是本质属性.
有了上面的认识,给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为:“只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
在以上一元二次方程概念的形成过程中,我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中,我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发,进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之,学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样,才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”的要求.
2 空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求:(1)由形状简单的实物抽取出空间图形;(2)由空间图形反映出实物;(3)由复杂图形中分解出简单的、基本的图形;(4)由基本的图形中寻找基本元素及其关系;(5)由文字或符号作出图形.可见,形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程,它贯穿在图形与几何学习的全过程之中,无论是图形的认识,图形的运动,图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.
例如,通过学习数轴这一概念,让学生在头脑中形成如下的一些认识:任何一个有理数在数轴上都对应着一个点;互为相反的两个数位于原点的两边,到原点的距离相等;在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大;借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习,要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里,要准确地描述一个点的位置,要用两个实数(x,y)才能完成,而且要从本质上理解A(3,4)和B(4,3)为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上,可以进行如下拓宽:如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组,可以写成(7,6,3),启发学生思考(7,1,5),(8,3,6)代表什么意义?通过交流得出,这些数字的顺序是不可交换的,它们是有严格的先后顺序的,其本质是对应的关系.
学生有了上面的知识基础,进一步可以得到下面的认识:在我们生活的空间里,任何事物均处于一定的空间之中,均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的,一般保持稳定状态,不可轻易强行改变,否则,事物便会在其空间中失去平衡,空间也便会出现紊乱无序状态.
案例2 画一条直线,将图2所示的正方形分为两个相同的部分(或全等的部分).
对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线,如图3所示.