区域重力异常值的交叉点平差实例分析
（上海市测绘院 上海 200129）
【摘 要】 本文介绍了两种不同的交叉点平差计算方法，从原理上说明了具体的计算流程，并结合具体的实例，分别采用两种方法对观测数据进行了平差分析。通过对计算结果的对比研究，两种交叉点平差算法的计算结果基本一致，检验了观测数据的可靠性，并通过对最终得出的交叉点个数和计算时间的比较，分析了两种不同方法的优缺点。
【关键词】 重力异常；交叉点平差
Crossover Point Adjustment Analysis of Regional Gravity Anomaly Values
Chen Jian-feng
(Shanghai surveying and mapping institute Shanghai 200129)
【Abstract】 The study introduces two different methods for crossover point adjustment and shows the calculating flowchart. The two methods and analyzed and compared by a specific example. The results show the consistence of these two methods and the reliability of the measured data. The advantages and disadvantages are also compared by analyzing final numbers of the crossover points and comparing the computing time.
【Key words】 Gravity Anomaly;Crossover point Adjustment
在大地测量领域，经常会遇到以时间或空间坐标为变量的沿特定方向的观测值序列或轨迹，比如沿卫星轨道的观测值、航空或船载重力测量观测值等。当观测值不是一组而是多组的时候，就可以通过对数据进行内插等手段来进行预处理和重采样，以便进行下一步的使用。如果我们获得了两组相互交叉的测量轨迹，从原理上来说，在轨迹的交叉点处由不同的轨迹内插出的观测值应该是相同的。然而由于不同轨迹的观测条件和观测误差的原因，实际内插出的结果并不完全相同(图1)。通过分析和比较不同方向的轨迹在交叉点处的观测值来检验观测数据的可靠性和分析观测值的精度就是一种常用的方法。
1. 交叉点平差基本原理
进行交叉点平差的第一步就首先确定交叉点的坐标，根据其方法的不同，可以分为重叠层块法和全交叉点搜索法。两种方法各有其优点和特色，下面对其原理和方法进行分别介绍。
1.1 重叠层块法。
GMT(Generic Mapping Tools)是一个强大的开源画图软件，主要针对大地测量和地球物理领域的作图需求。GMT中有一个软件包x2sys就是一个专门进行交叉点平差的工具（测线观测值及交叉点示意图见图1）。
（1）下面用最简单的两条交叉轨迹的情况来说明重叠层块法的原理(图2，Wessel,1989)。主要分三个步骤：一、把两条轨迹都分成一些“块”，每一个“块”中包含1000个观测点(包含时间、坐标、观测值等信息)。分别比较某一条轨迹上的“块”与另外一条轨迹上的“块”，如果有重叠的部分，则两个“块”重叠的部分之中就会有交叉点(图1A中的b“块”和y“块”)；二、使用真实的坐标数据，把每一个由10个观测点组成的子线段表示为一个长方形区域(“子块”)，比较重叠的“块”(如b“块”)中的每一个“子块”与另外一个重叠“块”(如y“块”)中的每一个“子块”，找出有重叠部分的子块(图2B中的“子块”3和“子块”III)；三、比较“子块”3中的每一条线段(两个相邻观测点的连线)和“子块”III中的每一条线段，找出有交叉点的两条线段，并求出其坐标。
〖TPE:中华建设图14年6月陈建峰2.TIF，BP#〗〖TS(〗图2 重叠层块法原理示意图〖TS)〗
（2）对所有的测线进行上述操作，即可获得整个区域内的交叉点坐标信息。获得了交叉点的坐标之后，就可以使用交叉点周围的观测值对交叉点上的值进行内插。GMT中内插交叉点观测值的方法有如下几种：线性内插、三次内插和样条内插。
（3）内插完成之后，就可以对内插得出的交叉点上的值进行平差(Wessel,2010)。
1.2 全交叉点搜索法。
相对于重叠层块法，全交叉点搜索法的算法更为简单和便于理解。其主要步骤如下(Hsu,1993)：
1.2.1 把每条测线上的两个相邻观测点作为一个参考线段(如图3(a)中的AB)，然后定义一个区域。
xαxxb
yαyyb
1.2.2 与其它所有由位于同一条测线上的相邻观测点组成的线段进行比较，找出落在步骤一定义的区域内的线段，并剔除其它线段。
1.2.3 一旦找出有可能有交叉点的另一段线段，则对这两个线段定义一个新的坐标系。设原点为A，线段AB的方向为 轴(图3(b))。
1.2.4 判断C和D点哪个位于上象限，哪个位于下象限。然后按下式求出新坐标系下的交叉点坐标：
x'xop=x'c-y'c×（x'c-x'd）/（y'c-y'd）
y'xop=0
然后把新坐标系下的坐标转换到原坐标系下。
1.2.5 一旦获得了交叉点的坐标，就使用线性内插法求出交叉点上的观测值。
（1）上述步骤就是全交叉点搜索法的基本原理。其优点在于，这种算法可以找出所有可能的交叉点，缺点在于其运算效率不如重叠层块法，计算速度取决于（M+1） ×M/2，其中M 为所有观测点的个数。
（2）获得了所有交叉点的坐标信息之后，就可以对每条测线进行合理的定权，
Wi=N/∑N j=1（Dij）2
Wi表示第 i条测线的权， Dij表示第i条测线上的第j 个交叉点的权。最后，对所有的交叉点观测值进行平差，
Vxop=（ViWi+VjWj）/（Wi+Wj）
其中，
Vi ，由第 条测线内插出的交叉点值；
Vj，由第 条测线内插出的交叉点值；
Wi，由第 条测线的权；
Wj，由第 条测线的权；
Vxop，平差后的交叉点观测值。
2. 重力异常数据
2.1 重力异常的概念。
重力异常是物理大地测量里的一个重要概念，它指的是观测点的实际重力值与大地水准面上相应点的正常重力值的差值。重力异常值是在大地水准面的确定中的初始观测值，在地球形状的研究中具有重要意义。
我们知道，地球外部的扰动位 T可以表示为，
T(r,θ,λ)=GM r∑∞ n=2〔R r〕n∑n m=0(nmcosmλ+nmsinmλ)nm(cosθ)
而重力异常则为，
Δg=T h
这里， Δg即为重力异常。 2.2 重力异常数据。
本实例所采用数据为在英国西部的一组船测重力数据。观测区域大概位于60.53 N~60.96 N和3.66 W~4.87 W (见图1)， 共包括120条测线(见图4(a))。每条测线上的相邻采样点间隔大约为20~30m(见图4(b))， 数据文件中给出了每个采样点上的当地坐标、大地坐标、重力异常Tze 和海深数据(bathy)，采样点总数约为310000个。格网化后的重力异常值见图5，格网大小为100m×100m 。
3. 重力异常数据的交叉点平差
3.1 重叠层块法的计算结果。
3.1.1 对观测区域的重力异常值的交叉点平差分别采用了重叠层块法和全交叉点搜索法。重叠层块法的程序采用的是GMT中的软件包x2sys，具体的操作步骤如下：
（1）提取原始观测数据中的当地坐标 (x,y)和重力异常数据tze ，并按不同的测线方向(东南——西北，东北——西南)保存为两个文件。
（2）定义数据头文件tze.def， 文件中规定了数据文件的格式及其它相关信息。
（3）使用x2sys_init命令初始化交叉点数据集，创建两个包含所有交叉点信息的文件，包括交叉点及其所在测线的信息。
（4）使用x2sys_cross进行交叉点坐标及交叉点上观测值的平差计算，x2sys_cross命令的参数包括第一步中保存的两个数据文件、第二步中的头文件和第三步中创建的文件。
3.1.2最终计算结果为一个四列数据的ASCII文件，分别为交叉点的当地坐标信息和交叉点上按不同测线方向分别进行平差之后的重力异常值。使用GMT计算得到的交叉点总共有1678个，每个点上都有两个重力异常值(经过交叉点的不同测线内插平差所得)。按 100m×100m 大小对整个区域不同方向测线得到的重力异常值(结果文件中第三列和第四列数据)进行格网化，然后求差，得出交叉点上的重力异常值之差，如图6所示。可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大不超过±0.03 mGal， 考虑到整个测区的重力异常值均方根(RMS)为6.32mGal， 所以，不同测线上的内插结果符合得是非常好的，也说明了重力异常值的观测结果的质量是很好的。
3.2 全交叉点搜索法的计算结果。
（1）全交叉点搜索法的计算软件采用的是文献(Hsu,1993)中公布的Fortran77源程序，包括两个文件：xoverh.f用来计算交叉点的位置，xcorr.f用来对观测数据进行平差并获取改正值，最后用经过改正后的数据内插计算交叉点位置处的重力异常值。与重叠层块法相同，同样可以按不同测线方向分别计算交叉点处的重力异常值。
（2）全交叉点搜索法计算得出的总交叉点个数为1691个，格网化后的计算结果如图7所示，可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大也不超过±0.03mGal，与重叠层块法的结果大致相同。
3.3 不同方法计算结果的比较。
（1）由于重叠层块法与全交叉点搜索法的原理与算法不同，可以根据计算结果对两种不同方法进行比较。首先，在数值计算结果方面，两种方法计算得出的格网化后的重力异常值之差的差别很小，如图8所示，两种方法的最大差值在-0.015~+0.01之间，说明了两种不同方法的一致性和可靠性。
（2）在搜索的交叉点总个数方面，重叠层块法为1678个，全交叉点搜索法为1691个。后者比前者多出13个，说明后者在交叉点搜索方面的可靠性要优于前者。在计算时间方面，使用2.4GHz的Intel Core 2 Duo处理器，GMT的重叠层块法为不超过10秒，而全交叉点搜索法的计算时间约为5分钟，说明前者的计算效率要大大优于前者。
4结论
4.1 通过对交叉点平差的原理介绍及实例分析，我们可以得出如下结论：
（1）交叉点平差是一种可以有效检验观测数据质量，改进原始观测数据误差的方法。
（2）重叠层块交叉点平差法具有计算速度快，计算结果可靠等优点。又由于GMT自带的x2sys交叉点平差软件包，使用起来非常方便。
（3）相比于重叠层块法，全交叉点搜索法的特点是对交叉点的搜索效率高，但也正是由于其对搜索算法完美性的追求，导致了计算速度相对较慢。
（4）通过对两种方法的对比分析，两种方法的计算结果基本一致，符合得非常好。证明了本文实例中观测区域内的重力异常数据精度较高，观测结果可靠，也说明了本文介绍的两种方法的可靠性。
4.2 作为一种有效的数据检验和处理方法，交叉点平差法在各个领域都有着广泛的应用。随着对交叉点平差方法的进一步研究，例如计算效率的提高，不同内插方法使用和分析，交叉点平差方法的可靠性和稳定性会得到不断的提高，势必称为一种更加高效和受欢迎的数据分析处理工具。
参考文献
［1］ 管泽霖，管铮等. 局部重力场逼近理论和方法［M］ .测绘出版社， 1996.
［2］ 海斯卡涅，莫里斯. 物理大地测量学［M］ .测绘出版社， 1979.
［3］ P. Wessel, XOVER: A Cross-Over Error Detector for Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1989:15.
［4］ P. Wessel, Tools for Analysing Intersecting Tracks: The x2sys package, ［J］, Computer & Geosciences, 2010:36.
［5］ S.K. Hsu, XCORR: A Cross-Over Technique to Adjust Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1993:21.
［6］ N. Sneeuw, R. Bun, Physical Geodesy, ［G］, University of Stuttgart, 2006
［7］ N. Ghosh, S.A. Hall, Crossover analysis of magnetic data over the Colombian Basin, western Caribbean Sea,［G］ Arora, B.R. (Ed.), Geomagnetic Studies at Low Latitudes, Memoirs of the Geological Society of India, Geological Society of India, Bangalore, India, 1992:24.
［8］ M.R. Foster, W.R. Jines, K. Van der Weg, Statistical estimation of systematic errors at intersections of lines of aeromagnetic survey data.［J］ Journal of Geophysical Research, 1970:75 (8).
［9］ H. Huang, Airborne geophysical data leveling based on line-to-line correlations.［J］, Geophysics, 2008:73.
［10］ J. Klokocnik, F.G. Lemoine, J. Kostelecky, Reduction of crossover errors in the earth gravity model (EGM) 96,［J］, Marine Geodesy, 1998:21.
［文章编号］1619-2737（2014）06-15-8282.2 重力异常数据。
本实例所采用数据为在英国西部的一组船测重力数据。观测区域大概位于60.53 N~60.96 N和3.66 W~4.87 W (见图1)， 共包括120条测线(见图4(a))。每条测线上的相邻采样点间隔大约为20~30m(见图4(b))， 数据文件中给出了每个采样点上的当地坐标、大地坐标、重力异常Tze 和海深数据(bathy)，采样点总数约为310000个。格网化后的重力异常值见图5，格网大小为100m×100m 。
3. 重力异常数据的交叉点平差
3.1 重叠层块法的计算结果。
3.1.1 对观测区域的重力异常值的交叉点平差分别采用了重叠层块法和全交叉点搜索法。重叠层块法的程序采用的是GMT中的软件包x2sys，具体的操作步骤如下：
（1）提取原始观测数据中的当地坐标 (x,y)和重力异常数据tze ，并按不同的测线方向(东南——西北，东北——西南)保存为两个文件。
（2）定义数据头文件tze.def， 文件中规定了数据文件的格式及其它相关信息。
（3）使用x2sys_init命令初始化交叉点数据集，创建两个包含所有交叉点信息的文件，包括交叉点及其所在测线的信息。
（4）使用x2sys_cross进行交叉点坐标及交叉点上观测值的平差计算，x2sys_cross命令的参数包括第一步中保存的两个数据文件、第二步中的头文件和第三步中创建的文件。
3.1.2最终计算结果为一个四列数据的ASCII文件，分别为交叉点的当地坐标信息和交叉点上按不同测线方向分别进行平差之后的重力异常值。使用GMT计算得到的交叉点总共有1678个，每个点上都有两个重力异常值(经过交叉点的不同测线内插平差所得)。按 100m×100m 大小对整个区域不同方向测线得到的重力异常值(结果文件中第三列和第四列数据)进行格网化，然后求差，得出交叉点上的重力异常值之差，如图6所示。可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大不超过±0.03 mGal， 考虑到整个测区的重力异常值均方根(RMS)为6.32mGal， 所以，不同测线上的内插结果符合得是非常好的，也说明了重力异常值的观测结果的质量是很好的。
3.2 全交叉点搜索法的计算结果。
（1）全交叉点搜索法的计算软件采用的是文献(Hsu,1993)中公布的Fortran77源程序，包括两个文件：xoverh.f用来计算交叉点的位置，xcorr.f用来对观测数据进行平差并获取改正值，最后用经过改正后的数据内插计算交叉点位置处的重力异常值。与重叠层块法相同，同样可以按不同测线方向分别计算交叉点处的重力异常值。
（2）全交叉点搜索法计算得出的总交叉点个数为1691个，格网化后的计算结果如图7所示，可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大也不超过±0.03mGal，与重叠层块法的结果大致相同。
3.3 不同方法计算结果的比较。
（1）由于重叠层块法与全交叉点搜索法的原理与算法不同，可以根据计算结果对两种不同方法进行比较。首先，在数值计算结果方面，两种方法计算得出的格网化后的重力异常值之差的差别很小，如图8所示，两种方法的最大差值在-0.015~+0.01之间，说明了两种不同方法的一致性和可靠性。
（2）在搜索的交叉点总个数方面，重叠层块法为1678个，全交叉点搜索法为1691个。后者比前者多出13个，说明后者在交叉点搜索方面的可靠性要优于前者。在计算时间方面，使用2.4GHz的Intel Core 2 Duo处理器，GMT的重叠层块法为不超过10秒，而全交叉点搜索法的计算时间约为5分钟，说明前者的计算效率要大大优于前者。
4结论
4.1 通过对交叉点平差的原理介绍及实例分析，我们可以得出如下结论：
（1）交叉点平差是一种可以有效检验观测数据质量，改进原始观测数据误差的方法。
（2）重叠层块交叉点平差法具有计算速度快，计算结果可靠等优点。又由于GMT自带的x2sys交叉点平差软件包，使用起来非常方便。
（3）相比于重叠层块法，全交叉点搜索法的特点是对交叉点的搜索效率高，但也正是由于其对搜索算法完美性的追求，导致了计算速度相对较慢。
（4）通过对两种方法的对比分析，两种方法的计算结果基本一致，符合得非常好。证明了本文实例中观测区域内的重力异常数据精度较高，观测结果可靠，也说明了本文介绍的两种方法的可靠性。
4.2 作为一种有效的数据检验和处理方法，交叉点平差法在各个领域都有着广泛的应用。随着对交叉点平差方法的进一步研究，例如计算效率的提高，不同内插方法使用和分析，交叉点平差方法的可靠性和稳定性会得到不断的提高，势必称为一种更加高效和受欢迎的数据分析处理工具。
参考文献
［1］ 管泽霖，管铮等. 局部重力场逼近理论和方法［M］ .测绘出版社， 1996.
［2］ 海斯卡涅，莫里斯. 物理大地测量学［M］ .测绘出版社， 1979.
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［5］ S.K. Hsu, XCORR: A Cross-Over Technique to Adjust Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1993:21.
［6］ N. Sneeuw, R. Bun, Physical Geodesy, ［G］, University of Stuttgart, 2006
［7］ N. Ghosh, S.A. Hall, Crossover analysis of magnetic data over the Colombian Basin, western Caribbean Sea,［G］ Arora, B.R. (Ed.), Geomagnetic Studies at Low Latitudes, Memoirs of the Geological Society of India, Geological Society of India, Bangalore, India, 1992:24.
［8］ M.R. Foster, W.R. Jines, K. Van der Weg, Statistical estimation of systematic errors at intersections of lines of aeromagnetic survey data.［J］ Journal of Geophysical Research, 1970:75 (8).
［9］ H. Huang, Airborne geophysical data leveling based on line-to-line correlations.［J］, Geophysics, 2008:73.
［10］ J. Klokocnik, F.G. Lemoine, J. Kostelecky, Reduction of crossover errors in the earth gravity model (EGM) 96,［J］, Marine Geodesy, 1998:21.
［文章编号］1619-2737（2014）06-15-8282.2 重力异常数据。
本实例所采用数据为在英国西部的一组船测重力数据。观测区域大概位于60.53 N~60.96 N和3.66 W~4.87 W (见图1)， 共包括120条测线(见图4(a))。每条测线上的相邻采样点间隔大约为20~30m(见图4(b))， 数据文件中给出了每个采样点上的当地坐标、大地坐标、重力异常Tze 和海深数据(bathy)，采样点总数约为310000个。格网化后的重力异常值见图5，格网大小为100m×100m 。
3. 重力异常数据的交叉点平差
3.1 重叠层块法的计算结果。
3.1.1 对观测区域的重力异常值的交叉点平差分别采用了重叠层块法和全交叉点搜索法。重叠层块法的程序采用的是GMT中的软件包x2sys，具体的操作步骤如下：
（1）提取原始观测数据中的当地坐标 (x,y)和重力异常数据tze ，并按不同的测线方向(东南——西北，东北——西南)保存为两个文件。
（2）定义数据头文件tze.def， 文件中规定了数据文件的格式及其它相关信息。
（3）使用x2sys_init命令初始化交叉点数据集，创建两个包含所有交叉点信息的文件，包括交叉点及其所在测线的信息。
（4）使用x2sys_cross进行交叉点坐标及交叉点上观测值的平差计算，x2sys_cross命令的参数包括第一步中保存的两个数据文件、第二步中的头文件和第三步中创建的文件。
3.1.2最终计算结果为一个四列数据的ASCII文件，分别为交叉点的当地坐标信息和交叉点上按不同测线方向分别进行平差之后的重力异常值。使用GMT计算得到的交叉点总共有1678个，每个点上都有两个重力异常值(经过交叉点的不同测线内插平差所得)。按 100m×100m 大小对整个区域不同方向测线得到的重力异常值(结果文件中第三列和第四列数据)进行格网化，然后求差，得出交叉点上的重力异常值之差，如图6所示。可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大不超过±0.03 mGal， 考虑到整个测区的重力异常值均方根(RMS)为6.32mGal， 所以，不同测线上的内插结果符合得是非常好的，也说明了重力异常值的观测结果的质量是很好的。
3.2 全交叉点搜索法的计算结果。
（1）全交叉点搜索法的计算软件采用的是文献(Hsu,1993)中公布的Fortran77源程序，包括两个文件：xoverh.f用来计算交叉点的位置，xcorr.f用来对观测数据进行平差并获取改正值，最后用经过改正后的数据内插计算交叉点位置处的重力异常值。与重叠层块法相同，同样可以按不同测线方向分别计算交叉点处的重力异常值。
（2）全交叉点搜索法计算得出的总交叉点个数为1691个，格网化后的计算结果如图7所示，可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大也不超过±0.03mGal，与重叠层块法的结果大致相同。
3.3 不同方法计算结果的比较。
（1）由于重叠层块法与全交叉点搜索法的原理与算法不同，可以根据计算结果对两种不同方法进行比较。首先，在数值计算结果方面，两种方法计算得出的格网化后的重力异常值之差的差别很小，如图8所示，两种方法的最大差值在-0.015~+0.01之间，说明了两种不同方法的一致性和可靠性。
（2）在搜索的交叉点总个数方面，重叠层块法为1678个，全交叉点搜索法为1691个。后者比前者多出13个，说明后者在交叉点搜索方面的可靠性要优于前者。在计算时间方面，使用2.4GHz的Intel Core 2 Duo处理器，GMT的重叠层块法为不超过10秒，而全交叉点搜索法的计算时间约为5分钟，说明前者的计算效率要大大优于前者。
4结论
4.1 通过对交叉点平差的原理介绍及实例分析，我们可以得出如下结论：
（1）交叉点平差是一种可以有效检验观测数据质量，改进原始观测数据误差的方法。
（2）重叠层块交叉点平差法具有计算速度快，计算结果可靠等优点。又由于GMT自带的x2sys交叉点平差软件包，使用起来非常方便。
（3）相比于重叠层块法，全交叉点搜索法的特点是对交叉点的搜索效率高，但也正是由于其对搜索算法完美性的追求，导致了计算速度相对较慢。
（4）通过对两种方法的对比分析，两种方法的计算结果基本一致，符合得非常好。证明了本文实例中观测区域内的重力异常数据精度较高，观测结果可靠，也说明了本文介绍的两种方法的可靠性。
4.2 作为一种有效的数据检验和处理方法，交叉点平差法在各个领域都有着广泛的应用。随着对交叉点平差方法的进一步研究，例如计算效率的提高，不同内插方法使用和分析，交叉点平差方法的可靠性和稳定性会得到不断的提高，势必称为一种更加高效和受欢迎的数据分析处理工具。
参考文献
［1］ 管泽霖，管铮等. 局部重力场逼近理论和方法［M］ .测绘出版社， 1996.
［2］ 海斯卡涅，莫里斯. 物理大地测量学［M］ .测绘出版社， 1979.
［3］ P. Wessel, XOVER: A Cross-Over Error Detector for Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1989:15.
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［5］ S.K. Hsu, XCORR: A Cross-Over Technique to Adjust Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1993:21.
［6］ N. Sneeuw, R. Bun, Physical Geodesy, ［G］, University of Stuttgart, 2006
［7］ N. Ghosh, S.A. Hall, Crossover analysis of magnetic data over the Colombian Basin, western Caribbean Sea,［G］ Arora, B.R. (Ed.), Geomagnetic Studies at Low Latitudes, Memoirs of the Geological Society of India, Geological Society of India, Bangalore, India, 1992:24.
［8］ M.R. Foster, W.R. Jines, K. Van der Weg, Statistical estimation of systematic errors at intersections of lines of aeromagnetic survey data.［J］ Journal of Geophysical Research, 1970:75 (8).
［9］ H. Huang, Airborne geophysical data leveling based on line-to-line correlations.［J］, Geophysics, 2008:73.
［10］ J. Klokocnik, F.G. Lemoine, J. Kostelecky, Reduction of crossover errors in the earth gravity model (EGM) 96,［J］, Marine Geodesy, 1998:21.
［文章编号］1619-2737（2014）06-15-828
【摘 要】 本文介绍了两种不同的交叉点平差计算方法，从原理上说明了具体的计算流程，并结合具体的实例，分别采用两种方法对观测数据进行了平差分析。通过对计算结果的对比研究，两种交叉点平差算法的计算结果基本一致，检验了观测数据的可靠性，并通过对最终得出的交叉点个数和计算时间的比较，分析了两种不同方法的优缺点。
【关键词】 重力异常；交叉点平差
Crossover Point Adjustment Analysis of Regional Gravity Anomaly Values
Chen Jian-feng
(Shanghai surveying and mapping institute Shanghai 200129)
【Abstract】 The study introduces two different methods for crossover point adjustment and shows the calculating flowchart. The two methods and analyzed and compared by a specific example. The results show the consistence of these two methods and the reliability of the measured data. The advantages and disadvantages are also compared by analyzing final numbers of the crossover points and comparing the computing time.
【Key words】 Gravity Anomaly;Crossover point Adjustment
在大地测量领域，经常会遇到以时间或空间坐标为变量的沿特定方向的观测值序列或轨迹，比如沿卫星轨道的观测值、航空或船载重力测量观测值等。当观测值不是一组而是多组的时候，就可以通过对数据进行内插等手段来进行预处理和重采样，以便进行下一步的使用。如果我们获得了两组相互交叉的测量轨迹，从原理上来说，在轨迹的交叉点处由不同的轨迹内插出的观测值应该是相同的。然而由于不同轨迹的观测条件和观测误差的原因，实际内插出的结果并不完全相同(图1)。通过分析和比较不同方向的轨迹在交叉点处的观测值来检验观测数据的可靠性和分析观测值的精度就是一种常用的方法。
1. 交叉点平差基本原理
进行交叉点平差的第一步就首先确定交叉点的坐标，根据其方法的不同，可以分为重叠层块法和全交叉点搜索法。两种方法各有其优点和特色，下面对其原理和方法进行分别介绍。
1.1 重叠层块法。
GMT(Generic Mapping Tools)是一个强大的开源画图软件，主要针对大地测量和地球物理领域的作图需求。GMT中有一个软件包x2sys就是一个专门进行交叉点平差的工具（测线观测值及交叉点示意图见图1）。
（1）下面用最简单的两条交叉轨迹的情况来说明重叠层块法的原理(图2，Wessel,1989)。主要分三个步骤：一、把两条轨迹都分成一些“块”，每一个“块”中包含1000个观测点(包含时间、坐标、观测值等信息)。分别比较某一条轨迹上的“块”与另外一条轨迹上的“块”，如果有重叠的部分，则两个“块”重叠的部分之中就会有交叉点(图1A中的b“块”和y“块”)；二、使用真实的坐标数据，把每一个由10个观测点组成的子线段表示为一个长方形区域(“子块”)，比较重叠的“块”(如b“块”)中的每一个“子块”与另外一个重叠“块”(如y“块”)中的每一个“子块”，找出有重叠部分的子块(图2B中的“子块”3和“子块”III)；三、比较“子块”3中的每一条线段(两个相邻观测点的连线)和“子块”III中的每一条线段，找出有交叉点的两条线段，并求出其坐标。
〖TPE:中华建设图14年6月陈建峰2.TIF，BP#〗〖TS(〗图2 重叠层块法原理示意图〖TS)〗
（2）对所有的测线进行上述操作，即可获得整个区域内的交叉点坐标信息。获得了交叉点的坐标之后，就可以使用交叉点周围的观测值对交叉点上的值进行内插。GMT中内插交叉点观测值的方法有如下几种：线性内插、三次内插和样条内插。
（3）内插完成之后，就可以对内插得出的交叉点上的值进行平差(Wessel,2010)。
1.2 全交叉点搜索法。
相对于重叠层块法，全交叉点搜索法的算法更为简单和便于理解。其主要步骤如下(Hsu,1993)：
1.2.1 把每条测线上的两个相邻观测点作为一个参考线段(如图3(a)中的AB)，然后定义一个区域。
xαxxb
yαyyb
1.2.2 与其它所有由位于同一条测线上的相邻观测点组成的线段进行比较，找出落在步骤一定义的区域内的线段，并剔除其它线段。
1.2.3 一旦找出有可能有交叉点的另一段线段，则对这两个线段定义一个新的坐标系。设原点为A，线段AB的方向为 轴(图3(b))。
1.2.4 判断C和D点哪个位于上象限，哪个位于下象限。然后按下式求出新坐标系下的交叉点坐标：
x'xop=x'c-y'c×（x'c-x'd）/（y'c-y'd）
y'xop=0
然后把新坐标系下的坐标转换到原坐标系下。
1.2.5 一旦获得了交叉点的坐标，就使用线性内插法求出交叉点上的观测值。
（1）上述步骤就是全交叉点搜索法的基本原理。其优点在于，这种算法可以找出所有可能的交叉点，缺点在于其运算效率不如重叠层块法，计算速度取决于（M+1） ×M/2，其中M 为所有观测点的个数。
（2）获得了所有交叉点的坐标信息之后，就可以对每条测线进行合理的定权，
Wi=N/∑N j=1（Dij）2
Wi表示第 i条测线的权， Dij表示第i条测线上的第j 个交叉点的权。最后，对所有的交叉点观测值进行平差，
Vxop=（ViWi+VjWj）/（Wi+Wj）
其中，
Vi ，由第 条测线内插出的交叉点值；
Vj，由第 条测线内插出的交叉点值；
Wi，由第 条测线的权；
Wj，由第 条测线的权；
Vxop，平差后的交叉点观测值。
2. 重力异常数据
2.1 重力异常的概念。
重力异常是物理大地测量里的一个重要概念，它指的是观测点的实际重力值与大地水准面上相应点的正常重力值的差值。重力异常值是在大地水准面的确定中的初始观测值，在地球形状的研究中具有重要意义。
我们知道，地球外部的扰动位 T可以表示为，
T(r,θ,λ)=GM r∑∞ n=2〔R r〕n∑n m=0(nmcosmλ+nmsinmλ)nm(cosθ)
而重力异常则为，
Δg=T h
这里， Δg即为重力异常。 2.2 重力异常数据。
本实例所采用数据为在英国西部的一组船测重力数据。观测区域大概位于60.53 N~60.96 N和3.66 W~4.87 W (见图1)， 共包括120条测线(见图4(a))。每条测线上的相邻采样点间隔大约为20~30m(见图4(b))， 数据文件中给出了每个采样点上的当地坐标、大地坐标、重力异常Tze 和海深数据(bathy)，采样点总数约为310000个。格网化后的重力异常值见图5，格网大小为100m×100m 。
3. 重力异常数据的交叉点平差
3.1 重叠层块法的计算结果。
3.1.1 对观测区域的重力异常值的交叉点平差分别采用了重叠层块法和全交叉点搜索法。重叠层块法的程序采用的是GMT中的软件包x2sys，具体的操作步骤如下：
（1）提取原始观测数据中的当地坐标 (x,y)和重力异常数据tze ，并按不同的测线方向(东南——西北，东北——西南)保存为两个文件。
（2）定义数据头文件tze.def， 文件中规定了数据文件的格式及其它相关信息。
（3）使用x2sys_init命令初始化交叉点数据集，创建两个包含所有交叉点信息的文件，包括交叉点及其所在测线的信息。
（4）使用x2sys_cross进行交叉点坐标及交叉点上观测值的平差计算，x2sys_cross命令的参数包括第一步中保存的两个数据文件、第二步中的头文件和第三步中创建的文件。
3.1.2最终计算结果为一个四列数据的ASCII文件，分别为交叉点的当地坐标信息和交叉点上按不同测线方向分别进行平差之后的重力异常值。使用GMT计算得到的交叉点总共有1678个，每个点上都有两个重力异常值(经过交叉点的不同测线内插平差所得)。按 100m×100m 大小对整个区域不同方向测线得到的重力异常值(结果文件中第三列和第四列数据)进行格网化，然后求差，得出交叉点上的重力异常值之差，如图6所示。可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大不超过±0.03 mGal， 考虑到整个测区的重力异常值均方根(RMS)为6.32mGal， 所以，不同测线上的内插结果符合得是非常好的，也说明了重力异常值的观测结果的质量是很好的。
3.2 全交叉点搜索法的计算结果。
（1）全交叉点搜索法的计算软件采用的是文献(Hsu,1993)中公布的Fortran77源程序，包括两个文件：xoverh.f用来计算交叉点的位置，xcorr.f用来对观测数据进行平差并获取改正值，最后用经过改正后的数据内插计算交叉点位置处的重力异常值。与重叠层块法相同，同样可以按不同测线方向分别计算交叉点处的重力异常值。
（2）全交叉点搜索法计算得出的总交叉点个数为1691个，格网化后的计算结果如图7所示，可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大也不超过±0.03mGal，与重叠层块法的结果大致相同。
3.3 不同方法计算结果的比较。
（1）由于重叠层块法与全交叉点搜索法的原理与算法不同，可以根据计算结果对两种不同方法进行比较。首先，在数值计算结果方面，两种方法计算得出的格网化后的重力异常值之差的差别很小，如图8所示，两种方法的最大差值在-0.015~+0.01之间，说明了两种不同方法的一致性和可靠性。
（2）在搜索的交叉点总个数方面，重叠层块法为1678个，全交叉点搜索法为1691个。后者比前者多出13个，说明后者在交叉点搜索方面的可靠性要优于前者。在计算时间方面，使用2.4GHz的Intel Core 2 Duo处理器，GMT的重叠层块法为不超过10秒，而全交叉点搜索法的计算时间约为5分钟，说明前者的计算效率要大大优于前者。
4结论
4.1 通过对交叉点平差的原理介绍及实例分析，我们可以得出如下结论：
（1）交叉点平差是一种可以有效检验观测数据质量，改进原始观测数据误差的方法。
（2）重叠层块交叉点平差法具有计算速度快，计算结果可靠等优点。又由于GMT自带的x2sys交叉点平差软件包，使用起来非常方便。
（3）相比于重叠层块法，全交叉点搜索法的特点是对交叉点的搜索效率高，但也正是由于其对搜索算法完美性的追求，导致了计算速度相对较慢。
（4）通过对两种方法的对比分析，两种方法的计算结果基本一致，符合得非常好。证明了本文实例中观测区域内的重力异常数据精度较高，观测结果可靠，也说明了本文介绍的两种方法的可靠性。
4.2 作为一种有效的数据检验和处理方法，交叉点平差法在各个领域都有着广泛的应用。随着对交叉点平差方法的进一步研究，例如计算效率的提高，不同内插方法使用和分析，交叉点平差方法的可靠性和稳定性会得到不断的提高，势必称为一种更加高效和受欢迎的数据分析处理工具。
参考文献
［1］ 管泽霖，管铮等. 局部重力场逼近理论和方法［M］ .测绘出版社， 1996.
［2］ 海斯卡涅，莫里斯. 物理大地测量学［M］ .测绘出版社， 1979.
［3］ P. Wessel, XOVER: A Cross-Over Error Detector for Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1989:15.
［4］ P. Wessel, Tools for Analysing Intersecting Tracks: The x2sys package, ［J］, Computer & Geosciences, 2010:36.
［5］ S.K. Hsu, XCORR: A Cross-Over Technique to Adjust Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1993:21.
［6］ N. Sneeuw, R. Bun, Physical Geodesy, ［G］, University of Stuttgart, 2006
［7］ N. Ghosh, S.A. Hall, Crossover analysis of magnetic data over the Colombian Basin, western Caribbean Sea,［G］ Arora, B.R. (Ed.), Geomagnetic Studies at Low Latitudes, Memoirs of the Geological Society of India, Geological Society of India, Bangalore, India, 1992:24.
［8］ M.R. Foster, W.R. Jines, K. Van der Weg, Statistical estimation of systematic errors at intersections of lines of aeromagnetic survey data.［J］ Journal of Geophysical Research, 1970:75 (8).
［9］ H. Huang, Airborne geophysical data leveling based on line-to-line correlations.［J］, Geophysics, 2008:73.
［10］ J. Klokocnik, F.G. Lemoine, J. Kostelecky, Reduction of crossover errors in the earth gravity model (EGM) 96,［J］, Marine Geodesy, 1998:21.
［文章编号］1619-2737（2014）06-15-8282.2 重力异常数据。
本实例所采用数据为在英国西部的一组船测重力数据。观测区域大概位于60.53 N~60.96 N和3.66 W~4.87 W (见图1)， 共包括120条测线(见图4(a))。每条测线上的相邻采样点间隔大约为20~30m(见图4(b))， 数据文件中给出了每个采样点上的当地坐标、大地坐标、重力异常Tze 和海深数据(bathy)，采样点总数约为310000个。格网化后的重力异常值见图5，格网大小为100m×100m 。
3. 重力异常数据的交叉点平差
3.1 重叠层块法的计算结果。
3.1.1 对观测区域的重力异常值的交叉点平差分别采用了重叠层块法和全交叉点搜索法。重叠层块法的程序采用的是GMT中的软件包x2sys，具体的操作步骤如下：
（1）提取原始观测数据中的当地坐标 (x,y)和重力异常数据tze ，并按不同的测线方向(东南——西北，东北——西南)保存为两个文件。
（2）定义数据头文件tze.def， 文件中规定了数据文件的格式及其它相关信息。
（3）使用x2sys_init命令初始化交叉点数据集，创建两个包含所有交叉点信息的文件，包括交叉点及其所在测线的信息。
（4）使用x2sys_cross进行交叉点坐标及交叉点上观测值的平差计算，x2sys_cross命令的参数包括第一步中保存的两个数据文件、第二步中的头文件和第三步中创建的文件。
3.1.2最终计算结果为一个四列数据的ASCII文件，分别为交叉点的当地坐标信息和交叉点上按不同测线方向分别进行平差之后的重力异常值。使用GMT计算得到的交叉点总共有1678个，每个点上都有两个重力异常值(经过交叉点的不同测线内插平差所得)。按 100m×100m 大小对整个区域不同方向测线得到的重力异常值(结果文件中第三列和第四列数据)进行格网化，然后求差，得出交叉点上的重力异常值之差，如图6所示。可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大不超过±0.03 mGal， 考虑到整个测区的重力异常值均方根(RMS)为6.32mGal， 所以，不同测线上的内插结果符合得是非常好的，也说明了重力异常值的观测结果的质量是很好的。
3.2 全交叉点搜索法的计算结果。
（1）全交叉点搜索法的计算软件采用的是文献(Hsu,1993)中公布的Fortran77源程序，包括两个文件：xoverh.f用来计算交叉点的位置，xcorr.f用来对观测数据进行平差并获取改正值，最后用经过改正后的数据内插计算交叉点位置处的重力异常值。与重叠层块法相同，同样可以按不同测线方向分别计算交叉点处的重力异常值。
（2）全交叉点搜索法计算得出的总交叉点个数为1691个，格网化后的计算结果如图7所示，可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大也不超过±0.03mGal，与重叠层块法的结果大致相同。
3.3 不同方法计算结果的比较。
（1）由于重叠层块法与全交叉点搜索法的原理与算法不同，可以根据计算结果对两种不同方法进行比较。首先，在数值计算结果方面，两种方法计算得出的格网化后的重力异常值之差的差别很小，如图8所示，两种方法的最大差值在-0.015~+0.01之间，说明了两种不同方法的一致性和可靠性。
（2）在搜索的交叉点总个数方面，重叠层块法为1678个，全交叉点搜索法为1691个。后者比前者多出13个，说明后者在交叉点搜索方面的可靠性要优于前者。在计算时间方面，使用2.4GHz的Intel Core 2 Duo处理器，GMT的重叠层块法为不超过10秒，而全交叉点搜索法的计算时间约为5分钟，说明前者的计算效率要大大优于前者。
4结论
4.1 通过对交叉点平差的原理介绍及实例分析，我们可以得出如下结论：
（1）交叉点平差是一种可以有效检验观测数据质量，改进原始观测数据误差的方法。
（2）重叠层块交叉点平差法具有计算速度快，计算结果可靠等优点。又由于GMT自带的x2sys交叉点平差软件包，使用起来非常方便。
（3）相比于重叠层块法，全交叉点搜索法的特点是对交叉点的搜索效率高，但也正是由于其对搜索算法完美性的追求，导致了计算速度相对较慢。
（4）通过对两种方法的对比分析，两种方法的计算结果基本一致，符合得非常好。证明了本文实例中观测区域内的重力异常数据精度较高，观测结果可靠，也说明了本文介绍的两种方法的可靠性。
4.2 作为一种有效的数据检验和处理方法，交叉点平差法在各个领域都有着广泛的应用。随着对交叉点平差方法的进一步研究，例如计算效率的提高，不同内插方法使用和分析，交叉点平差方法的可靠性和稳定性会得到不断的提高，势必称为一种更加高效和受欢迎的数据分析处理工具。
参考文献
［1］ 管泽霖，管铮等. 局部重力场逼近理论和方法［M］ .测绘出版社， 1996.
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［6］ N. Sneeuw, R. Bun, Physical Geodesy, ［G］, University of Stuttgart, 2006
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［8］ M.R. Foster, W.R. Jines, K. Van der Weg, Statistical estimation of systematic errors at intersections of lines of aeromagnetic survey data.［J］ Journal of Geophysical Research, 1970:75 (8).
［9］ H. Huang, Airborne geophysical data leveling based on line-to-line correlations.［J］, Geophysics, 2008:73.
［10］ J. Klokocnik, F.G. Lemoine, J. Kostelecky, Reduction of crossover errors in the earth gravity model (EGM) 96,［J］, Marine Geodesy, 1998:21.
［文章编号］1619-2737（2014）06-15-8282.2 重力异常数据。
本实例所采用数据为在英国西部的一组船测重力数据。观测区域大概位于60.53 N~60.96 N和3.66 W~4.87 W (见图1)， 共包括120条测线(见图4(a))。每条测线上的相邻采样点间隔大约为20~30m(见图4(b))， 数据文件中给出了每个采样点上的当地坐标、大地坐标、重力异常Tze 和海深数据(bathy)，采样点总数约为310000个。格网化后的重力异常值见图5，格网大小为100m×100m 。
3. 重力异常数据的交叉点平差
3.1 重叠层块法的计算结果。
3.1.1 对观测区域的重力异常值的交叉点平差分别采用了重叠层块法和全交叉点搜索法。重叠层块法的程序采用的是GMT中的软件包x2sys，具体的操作步骤如下：
（1）提取原始观测数据中的当地坐标 (x,y)和重力异常数据tze ，并按不同的测线方向(东南——西北，东北——西南)保存为两个文件。
（2）定义数据头文件tze.def， 文件中规定了数据文件的格式及其它相关信息。
（3）使用x2sys_init命令初始化交叉点数据集，创建两个包含所有交叉点信息的文件，包括交叉点及其所在测线的信息。
（4）使用x2sys_cross进行交叉点坐标及交叉点上观测值的平差计算，x2sys_cross命令的参数包括第一步中保存的两个数据文件、第二步中的头文件和第三步中创建的文件。
3.1.2最终计算结果为一个四列数据的ASCII文件，分别为交叉点的当地坐标信息和交叉点上按不同测线方向分别进行平差之后的重力异常值。使用GMT计算得到的交叉点总共有1678个，每个点上都有两个重力异常值(经过交叉点的不同测线内插平差所得)。按 100m×100m 大小对整个区域不同方向测线得到的重力异常值(结果文件中第三列和第四列数据)进行格网化，然后求差，得出交叉点上的重力异常值之差，如图6所示。可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大不超过±0.03 mGal， 考虑到整个测区的重力异常值均方根(RMS)为6.32mGal， 所以，不同测线上的内插结果符合得是非常好的，也说明了重力异常值的观测结果的质量是很好的。
3.2 全交叉点搜索法的计算结果。
（1）全交叉点搜索法的计算软件采用的是文献(Hsu,1993)中公布的Fortran77源程序，包括两个文件：xoverh.f用来计算交叉点的位置，xcorr.f用来对观测数据进行平差并获取改正值，最后用经过改正后的数据内插计算交叉点位置处的重力异常值。与重叠层块法相同，同样可以按不同测线方向分别计算交叉点处的重力异常值。
（2）全交叉点搜索法计算得出的总交叉点个数为1691个，格网化后的计算结果如图7所示，可以看出，交叉点上不同方向测线内插得出的重力异常值之差最大也不超过±0.03mGal，与重叠层块法的结果大致相同。
3.3 不同方法计算结果的比较。
（1）由于重叠层块法与全交叉点搜索法的原理与算法不同，可以根据计算结果对两种不同方法进行比较。首先，在数值计算结果方面，两种方法计算得出的格网化后的重力异常值之差的差别很小，如图8所示，两种方法的最大差值在-0.015~+0.01之间，说明了两种不同方法的一致性和可靠性。
（2）在搜索的交叉点总个数方面，重叠层块法为1678个，全交叉点搜索法为1691个。后者比前者多出13个，说明后者在交叉点搜索方面的可靠性要优于前者。在计算时间方面，使用2.4GHz的Intel Core 2 Duo处理器，GMT的重叠层块法为不超过10秒，而全交叉点搜索法的计算时间约为5分钟，说明前者的计算效率要大大优于前者。
4结论
4.1 通过对交叉点平差的原理介绍及实例分析，我们可以得出如下结论：
（1）交叉点平差是一种可以有效检验观测数据质量，改进原始观测数据误差的方法。
（2）重叠层块交叉点平差法具有计算速度快，计算结果可靠等优点。又由于GMT自带的x2sys交叉点平差软件包，使用起来非常方便。
（3）相比于重叠层块法，全交叉点搜索法的特点是对交叉点的搜索效率高，但也正是由于其对搜索算法完美性的追求，导致了计算速度相对较慢。
（4）通过对两种方法的对比分析，两种方法的计算结果基本一致，符合得非常好。证明了本文实例中观测区域内的重力异常数据精度较高，观测结果可靠，也说明了本文介绍的两种方法的可靠性。
4.2 作为一种有效的数据检验和处理方法，交叉点平差法在各个领域都有着广泛的应用。随着对交叉点平差方法的进一步研究，例如计算效率的提高，不同内插方法使用和分析，交叉点平差方法的可靠性和稳定性会得到不断的提高，势必称为一种更加高效和受欢迎的数据分析处理工具。
参考文献
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［3］ P. Wessel, XOVER: A Cross-Over Error Detector for Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1989:15.
［4］ P. Wessel, Tools for Analysing Intersecting Tracks: The x2sys package, ［J］, Computer & Geosciences, 2010:36.
［5］ S.K. Hsu, XCORR: A Cross-Over Technique to Adjust Track Data, ［J］, Computer & Geosciences, 1993:21.
［6］ N. Sneeuw, R. Bun, Physical Geodesy, ［G］, University of Stuttgart, 2006
［7］ N. Ghosh, S.A. Hall, Crossover analysis of magnetic data over the Colombian Basin, western Caribbean Sea,［G］ Arora, B.R. (Ed.), Geomagnetic Studies at Low Latitudes, Memoirs of the Geological Society of India, Geological Society of India, Bangalore, India, 1992:24.
［8］ M.R. Foster, W.R. Jines, K. Van der Weg, Statistical estimation of systematic errors at intersections of lines of aeromagnetic survey data.［J］ Journal of Geophysical Research, 1970:75 (8).
［9］ H. Huang, Airborne geophysical data leveling based on line-to-line correlations.［J］, Geophysics, 2008:73.
［10］ J. Klokocnik, F.G. Lemoine, J. Kostelecky, Reduction of crossover errors in the earth gravity model (EGM) 96,［J］, Marine Geodesy, 1998:21.
［文章编号］1619-2737（2014）06-15-828
