由高考题引发的对函数极值点教学的一点思考

廖永明
对于一般函数的极值点,教学中多借助几何直观,用自然语言给出函数极值点的描述性定义:若函数f(x)图象在点P(x1,f(x1))处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),我们就称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1为函数f(x)的一个极大值点;类似的,若函数f(x)图象在点P(x2,f(x2))处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”(函数由单调递减变为单调递增),我们就称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2为函数f(x)的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件,揭示了一般函数极值点的本质特征:极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1].
在教学中,教师一定会对极值与最值加以区别,由定义我们不难发现函数的极值其实是一种局部的最值,即:如果函数y=f(x)在点x0的附近有定义,并且x0为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点),那么y=f(x0)的值比在点x0附近所有各点的函数值都大(或都小).事实上,反过来也是成立的,即:如果函数y=f(x)在点x0的附近有定义,并且y=f(x0)的值比在点x0附近所有各点的函数值都大(或都小),那么我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值),x0为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点).这甚至可以作为函数极值点的第二种定义,在日常教学中教师往往会注意强调前者,后者却容易被忽视.但最近几年的高考题却出现了重点考查后者的函数极值概念题.如2013年浙江省高考理科数学第8题.
对于一般函数的极值点,教学中多借助几何直观,用自然语言给出函数极值点的描述性定义:若函数f(x)图象在点P(x1,f(x1))处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),我们就称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1为函数f(x)的一个极大值点;类似的,若函数f(x)图象在点P(x2,f(x2))处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”(函数由单调递减变为单调递增),我们就称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2为函数f(x)的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件,揭示了一般函数极值点的本质特征:极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1].
在教学中,教师一定会对极值与最值加以区别,由定义我们不难发现函数的极值其实是一种局部的最值,即:如果函数y=f(x)在点x0的附近有定义,并且x0为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点),那么y=f(x0)的值比在点x0附近所有各点的函数值都大(或都小).事实上,反过来也是成立的,即:如果函数y=f(x)在点x0的附近有定义,并且y=f(x0)的值比在点x0附近所有各点的函数值都大(或都小),那么我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值),x0为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点).这甚至可以作为函数极值点的第二种定义,在日常教学中教师往往会注意强调前者,后者却容易被忽视.但最近几年的高考题却出现了重点考查后者的函数极值概念题.如2013年浙江省高考理科数学第8题.
对于一般函数的极值点,教学中多借助几何直观,用自然语言给出函数极值点的描述性定义:若函数f(x)图象在点P(x1,f(x1))处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),我们就称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1为函数f(x)的一个极大值点;类似的,若函数f(x)图象在点P(x2,f(x2))处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”(函数由单调递减变为单调递增),我们就称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2为函数f(x)的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件,揭示了一般函数极值点的本质特征:极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1].
在教学中,教师一定会对极值与最值加以区别,由定义我们不难发现函数的极值其实是一种局部的最值,即:如果函数y=f(x)在点x0的附近有定义,并且x0为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点),那么y=f(x0)的值比在点x0附近所有各点的函数值都大(或都小).事实上,反过来也是成立的,即:如果函数y=f(x)在点x0的附近有定义,并且y=f(x0)的值比在点x0附近所有各点的函数值都大(或都小),那么我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值),x0为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点).这甚至可以作为函数极值点的第二种定义,在日常教学中教师往往会注意强调前者,后者却容易被忽视.但最近几年的高考题却出现了重点考查后者的函数极值概念题.如2013年浙江省高考理科数学第8题.
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